NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 2 बहुपद (Polynomials) प्रश्नावली – 2.4 in Hindi

May 30, 2022

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 2 बहुपद (Polynomials)

Textbook	NCERT
Class	9^th
Subject	गणित (Mathematics)
Chapter	2^nd
Chapter Name	बहुपद (Polynomials)
Category	Class 9th गणित
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 2 बहुपद (Polynomials)

Chapter – 2

बहुपद

प्रश्नावली – 2.4

प्रश्न 1. निम्नलिखित उत्पादों को खोजने के लिए उपयुक्त पहचान का प्रयोग करें:

(i) (x + 4) (x + 10)

हल: हमारे पास, (x+ 4) (x + 10)
सर्वसमिका का उपयोग, (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab
हमारे पास, (x + 4) (x + 10)
⇒ x² + (4 + 10)x + (4 x 10)
⇒ x² + 14x + 40

(ii) (x + 8) (x – 10)

हल: हमारे पास, (x+ 8) (x -10)
सर्वसमिका का उपयोग, (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab
हमारे पास है, (x + 8) (x – 10)
= x² + [8 + (-10)] x + (8) (- 10)
= x² – 2x – 80

(iii) (3x + 4) (3x – 5)

हल: हमारे पास, (3x + 4) (3x – 5)
सर्वसमिका का उपयोग, (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab
हमारे पास है, (3x + 4) ( 3x – 5) = (3x)² + (4 – 5)x + (4) (- 5)
= 9x²– x – 20

(iv) (y²+ 3/2) (y²– 3/2)

हल: हमारे पास, (y² + 3/2) (y² – 3/2)
सर्वसमिका का उपयोग, (a + b)(a – b) = a² – b²
y² + 3/2) (y² – 3/2)
⇒ (y²)² – (3/2)²
⇒ y⁴ – 9/4

(v) (3 – 2x) (3 + 2x)

हल: हमारे पास, (3 – 2x) (3 + 2x)
सर्वसमिका का उपयोग, (a + b) (a – b) = a² – b²
(3 – 2x) (3 + 2x) = (3)² – (2x)²
= 9 – 4x²

प्रश्न 2. सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित उत्पादों का मूल्यांकन करें:

(i) 103 x 107

हल: हमारे पास, 103 x 107 = (100 + 3) (100 + 7)
= सर्वसमिका का उपयोग, [(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab]
= [(100 + 3) (100 + 7) = (100)² + (3 + 7)(100) + (3 x 7)]
= (100)² + (3 + 7)(100) + (3 x 7)
= 10000 + 1000 + 21
= 11021

(ii) 95 x 96

हल: हमारे पास, 95 x 96 = (100 – 5) (100 – 4)
= सर्वसमिका का उपयोग, [(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab]
= (100 – 5) (100 – 4) = (100)² + [(- 5) + (- 4)100] + (- 5 x – 4)
= 10000 + (-900) + 20 = 9120

(iii) 104 x 96

हल: हमारे पास 104 x 96 = (100 + 4) (100 – 4)
= सर्वसमिका का उपयोग, [(a + b) (a -b) = a² – b²]
[(a + b) (a – b) = a² – b²]
= 10000 – 16 का उपयोग करना = 9984

प्रश्न 3. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए:

(i) 9x²+ 6xy + y²

हल: हमारे पास 9x² + 6xy + y²
= सर्वसमिका का उपयोग, [a² + 2ab + b² = (a + b)²]
(3x)² + 2(3x)(y) + (y)²
= (3x + y)²
= (3x + y) (3x + y)

(ii) 4y²– 4y + 1

हल: हमारे पास, 4y² – 4y + 1²
सर्वसमिका का उपयोग, [a²– 2ab + b² = (a – b)²]
= (2y)² + 2(2y)(1) + (1)²
= (2y – 1)²
= (2y – 1)(2y – 1)

(iii) x² – y²/100

हल: हमारे पास, x² – y²/100
सर्वसमिका का उपयोग, [a²– b² = (a + b) (a – b)]
= (x + y/10) (x – y/10)

प्रश्न 4. उपयुक्त पहचान का प्रयोग करके निम्नलिखित का प्रसार कीजिए:

(i) (x + 2y + 4z)²

हल: (x + 2y + 4z)²
सर्वसमिका का उपयोग, [(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx]
= x² + (2y)² + (4z)² + 2(x)(2y) + 2(2y)(4z) + 2(4z)(x)
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8zx

(ii) (2x – y + z)²

हल: (2x – y + z)²
सर्वसमिका का उपयोग, [(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx]
(2x – y + z)² = (2x)² + (- y)² + z² + 2(2x)(- y) + 2(- y)(z) + 2(z)(2x)
= 4x² + y² + z² – 4xy – 2yz + 4zx

(iii) (- 2x + 3y + 2z)²

हल: (- 2x + 3y + 2z)²
सर्वसमिका का उपयोग, [(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx]
(- 2x + 3y + 2z)² = (- 2x)² + (3y)² + (2z)² + 2(- 2x)(3y) + 2(3y)(2z) + 2(2z)(- 2x)
= 4x² + 9y² + 4z² – 12xy + 12yz – 8zx

(iv) (3a – 7b – c)²

हल: (3a -7b – c)²
सर्वसमिका का उपयोग, [(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx]
(3a -7b- c)² = (3a)² + (- 7b)² + (- c)² + 2(3a)(- 7b) + 2(- 7b)(- c) + 2( – c)(3a)
= 9a² + 49b² + c² – 42ab + 14bc – 6ac

(v) (- 2x + 5y – 3z)²

हल: (- 2x + 5y – 3z)²
सर्वसमिका का उपयोग, [(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx]
(- 2x + 5y -3z)² = (- 2x)² + (5y)² + (-3z)² + 2(- 2x)(5y) + 2(5y)(-3z) + 2(- 3z)(- 2x)
= 4x² + 25y² + 9z² – 20xy – 30yz + 12zx

(vi) [ 1/4a – 1/2b + 1]²

हल: [ 1/4a – 1/2b + 1]²
सर्वसमिका का उपयोग, [(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx]
(1/4a) − (1/2b) + 1)²
= (1/4a)² + (- 1/2b)² + 1² + 2 × (1/4a)(- 1/2b) + 2(- 1/2b)(1) + 2(1)(4a)
= (1/16a²) + (1/4b²) + 1 − 1/4ab − b + 1/2a

प्रश्न 5. गुणनखंडन कीजिए:

(i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz

हल: 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz
= (2x)² + (3y)² + (- 4z)² + 2(2x)(3y) + 2(3y)(- 4z) + 2(- 4z)) (2x)
= (2x + 3y – 4z)² = (2x + 3y + 4z) (2x + 3y – 4z)

(ii) 2x² + y² + 8z² – 2√2xy + 4√2yz – 8xz

हल: 2x² + y² + 8z² – 2√2xy + 4√2yz – 8xz
= (- √2x)² + (y)² + (2√2z)² y + 2(- √2x)(y ) + 2(y)(2√2z) + 2(2√2z) (- √2x)
= (- √2x + y + 2 √2z)²
= (- √2x + y + 2 √2z) (- √2x + y + 2 √2z)

प्रश्न 6. निम्नलिखित घनों को विस्तृत रूप में लिखिए:

(i) (2x + 1)³

हल: सर्वसमिका का उपयोग, (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y)
= (2x + 1)³ = (2x)³ + (1)³+ 3(2x)(1)(2x + 1)
= 8x³ + 1 + 6x(2x + 1)
= 8x³ + 1 + 12x² + 6x
= 8x³ + 12x² + 6x + 1

(ii) (2a – 3b)³

हल: सर्वसमिका का उपयोग, (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy(x – y)
= (2a – 3b)³ = (2a)³ – (3b)³ – 3(2a)(3b)(2a – 3b)
= 8a³ – 27b³ – 18ab(2a – 3b)
= 8a³– 27b³ – 36a²b + 54ab²

(iii) (3/2x + 1)³

हल: सर्वसमिका का उपयोग, (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y)
= (3/2x + 1)³ = (3/2x)³ + (1)³ + 3(3/2x)(1)(3/2x + 1)
= 27/8x³ + 1 + 9/3x(3/2x + 1)
= 27/8x³ + 1 + 27/4x² + 9/3x
= 27/8x³ + 27/4x² + 9/3x + 1

(iv) (x – 2/3y)³

हल: सर्वसमिका का उपयोग, (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy(x – y)
= (x – 2/3y)³ = (x)³ – (2/3y)³ – 3(x)(2/3y)(x – 2/3y)
= x³ – 8/27y³ – 2xy(x – 2/3y)
= x³– 8/27y³ – 2x²y + 4/3xy²

प्रश्न 7. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का उपयोग करके निम्नलिखित का मूल्यांकन करें।

(i) (99)³

हल: 99 = (100 – 1)
= 99³ = (100 – 1)³
= सर्वसमिका का उपयोग, (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b)
(100)³ – 1³ – 3(100)(1)(100 – 1)
= 1000000 -1 – 300(100 – 1)
= 1000000 -1 – 30000 + 300
= 1000300 – 30001 = 970299

(ii) (102)³

हल: 102 = 100 + 2
102³ = (100 + 2)³
= सर्वसमिका का उपयोग, (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
= (100)³ + (2)³ + 3(100)(2)(100 + 2)
= 1100000 + 8 + 600 (100 + 2)
= 1100000 + 8 + 60000 + 1200 = 1061208

(iii) (998)³

हल: 998 = 1000 – 2
(998)³ = (1000 – 2)³
= सर्वसमिका का उपयोग, (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b)
= (1000)³ – (2)³ – 3(1000)(2)(1000 – 2)
= 1000000000 – 8 – 6000(1000 – 2)
= 1000000000 – 8 – 6000000 +12000
= 994011992

प्रश्न 8. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड कीजिए :

(i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²

हल: 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
= सर्वसमिका का उपयोग, (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y)
= x = 2a, y = b
= (2a)³ + (b)³+ 3(2a)(b)(2a + b)
= (2a + b)³
= (2a + b) (2a + b)(2a + b)

(ii) 8a³ – b³– 12a²b + 6ab²

हल: 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
= सर्वसमिका का उपयोग, (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy(x – y)
= x = 2a, y = b
= (2a)³ – (b)³ – 3(2a)(b)(2a – b)
= (2a – b)³
= (2a – b) (2a – b) (2a – b)

(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²

हल: 27 – 125a³ – 135a + 225a²
= सर्वसमिका का उपयोग, (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy(x – y)
= x = 3, y = 5a
= (3)³– (5a)³ – 3(3)(5a)(3 – 5a)
= (3 – 5a)³
= (3 – 5a) (3 – 5a) (3 – 5a)

(iv) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²

हल: 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²
= सर्वसमिका का उपयोग, (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy(x – y)
= x = 4, y = 3b
= (4a)³– (3b)³ – 3(4a)(3b)(4a – 3b)
= (4a – 3b)³
= (4a – 3b) (4a – 3b) (4a – 3b)

(v) 27p3 – 1/216 – 9p2 + 1/4p

हल: 27p³ – 1/216 – 9p² + 1/4p
= सर्वसमिका का उपयोग, (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy(x – y)
= x = 3p, y = 1/6
= (3p)³– (1/6)³ – 3(3p)(1/6)(3p – 1/6)
= (3p – 1/6)³
= (3p – 1/6) (3p – 1/6) (3p – 1/6)

प्रश्न 9. सत्यापित करें:

(i) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)

हल: सर्वसमिका का उपयोग, (x + y)³ = x³+ y³ + 3xy(x + y)
x³ + y³ = (x + y)³– 3xy(x + y)
(x + y)³– 3xy(x + y)
(x + y) [ (x + y)² – 3xy ]
इसलिए, सत्यापित।

(ii) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)

हल: ∵ (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy(x – y)
(x – y)³ + 3xy(x – y) = x³ – y³
(x – y) [(x – y)² + 3xy)] = x³ – y³
⇒ (x – y) (x² + y² + xy) = x³ – y³
इसलिए, सत्यापित।

प्रश्न 10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड कीजिए

(i) 27y³ + 125z³

हल: हम जानते हैं कि
x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)
27y³ + 125z³ = (3y)³ + (5z)³
= (3y + 5z)[(3y)² – (3y)(5z) + (5z)²]
= (3y + 5z) (9y² – 15yz + 25z²)

(ii) 64m³ – 343n³[संकेत प्रश्न 9 देखें]

हल: हम जानते हैं कि,
x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
हमारे पास 64m³ – 343n³ = (4m)³ – (7n)³
= (4m – 7n) है। [(4m)² + (4m) (7n) + (7n)²]
= (4m – 7n) (16m² + 28mn + 49n²)

प्रश्न 11. 27x³ + y³ + z³ – 9xyz का गुणनखंड कीजिए।

हल: हमारे पास
27x³ + y³ + z³ – 9xyz = (3x)³ + (y)³ + (z)³ – 3(3x)(y)(z)
सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,
x³ + y³+ z³ – 3xyz = (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
हमारे पास है, (3x)³ + (y)³ + (z)³ – 3(3x)(y)(z)
= (3x + y + z)[(3x)³ + y³ + z³ – (3x × y) – (y × 2) – (z × 3x)]
= (3x + y + z) (9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3zx)

प्रश्न 12. सत्यापित करें कि
x³ + y³ + z³ – 3xyz = 1/2 (x + y + z) [(xy)² + (y – z)² + (z – x)²]

हल: RHS
=  1/2 (x + y + z)[(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
=  1/2 (x + y + 2)[(x² + y² – 2xy) + (y² + z² – 2yz) + (z² + x² – 2zx)]
=  1/2 (x + y + 2) (x² + y² + y² + z² + z² + x² – 2xy – 2yz – 2zx)
=  1/2 (x + y + z) [2 (x² + y² + z² – xy – yz – zx)]
= 2 x  1/2 x (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= x³ + y³ + z³ – 3xyz = LHS
इसलिए सत्यापित है।

प्रश्न 13. यदि x + y + z = 0, तो दर्शाइए कि x³ + y³ + z³ = 3 xyz

हल:
क्योंकि, x + y + z = 0
x + y = -z(x + y)³= (-z)³
⇒ x³ + y³ + 3xy(x + y) = -z³
⇒ x³ + y³ + 3xy(-z) = -z³ [x + y = -z]
⇒ x³ + y³ – 3xyz = -z³
⇒ x³ + y³ + z³ = 3xyz
इसलिए, यदि x + y + z = 0, फिर
x³ + y³ + z³ = 3xyz

प्रश्न 14. वास्तव में घनों की गणना किए बिना, निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए।
(i) (- 12)³ + (7)³ + (5)³

हल: हमारे पास, (-12)³ + (7)³ + (5)³
मान लीजिए x = -12, y = 7 और z = 5
फिर, x + y + z = – 12 + 7 + 5 = 0
हम जानते हैं कि यदि x + y + z = 0, तो x³ + y³ + z³ = 3xyz
(-12)³ + (7)³ + (5)³ = 3[(-12)(7)(5)]
= 3[-420] = -1260

(ii) (28)³ + (- 15)³ + (- 13)³

हल: हमारे पास, (28)³ + (-15)³ + (-13)³
मान लीजिए x = 28, y = -15 और z = -13 है।

तब, x + y + z = 28 – 15 – 13 = 0
हम जानते हैं कि यदि x + y + z = 0, तो x³ + y³ + z³ = 3xyz
(28)³ + (-15)³ + (-13)³ = 3(28)(-15)(-13)
= 3(5460) = 16380

प्रश्न 15. निम्नलिखित आयतों में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक दें, जिसमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं

(i) क्षेत्रफल 25a² – 35a + 12

हल: 25a² – 35a + 12 = 25a² – 20a – 15a + 12 = 5a (5a – 4) -3 (5a – 4) = (5a – 4) (5a – 3)
इस प्रकार, संभावित लंबाई और चौड़ाई (5a – 3) और (5a – 4) हैं।

(ii) क्षेत्रफल 35y² + 13y – 1

हल: 35y² + 13y -12 = 35y² + 28y – 15y – 12
= 7y(5y + 4) – 3(5y + 4) = (5 y + 4) (7y – 3)
इस प्रकार, संभावित लंबाई और चौड़ाई (7y – 3) और (5y + 4) है।

प्रश्न 16. उन घनाभों की विमाओं के लिए संभावित व्यंजक क्या हैं जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं?

(i) आयतन 3x² – 12x

हल: हमारे पास, 3x² – 12x = 3(x)² – 4x)
= 3 (x – 4)
∴ घनाभ की संभावित विमाएं 3, x और (x – 4) हैं।

(ii) आयतन 12ky² + 8ky – 20k

हल: 12ky² + 8ky – 20k
= 4[3ky² + 2ky – 5k] = 4[k(3y² + 2y – 5)]
= 4 x kx (3y² + 2y – 5)
= 4k[3y² – 3y + 5y – 5]
= 4k [3y (y – 1) + 5(y – 1)]
= 4k [(3y + 5) x (y – 1)]
= 4k x (3y + 5) x (y – 1)
इस प्रकार, घनाभ की संभावित विमाएँ 4k, (3y + 5) और (y -1) हैं।

NCERT Solutions Class 9th Maths All Chapter in Hindi

अध्याय – 1 संख्या पद्धति

अध्याय – 2 बहुपद

अध्याय – 3 निर्देशांक ज्यामिति

अध्याय – 4 दो चरों में रैखिक समीकरण

अध्याय – 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय

अध्याय – 6 रेखाएँ और कोण

अध्याय – 7 त्रिभुज

अध्याय – 8 चतुर्भुज

अध्याय – 9 वृत्त

अध्याय – 10 हीरोन का सूत्र

अध्याय – 11 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

अध्याय – 12 सांख्यिकी

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