NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 2 बहुपद (Polynomials) प्रश्नावली – 2.3

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 2 बहुपद (Polynomials)

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 2 बहुपद (Polynomials) हम इस अध्याय बहुपद के महत्वपूर्ण विषय के बारे में पढ़ेंगें जैसे की एक चर वाले बहुपद, शुन्य बहुपद, अचर बहुपद, एकपदी, द्विपद, त्रिपद, बहुपद की घाट, रैखिक बहुपद, द्विघाट बहुपद, त्रिघाटी बहुपद, शेषफल बहुपद, गुणनखंड, गुणज, अवरोही क्रम, गुणनखंड प्रमेय, बीजीय सर्वसमिकाएँ आदि के बारे में पढेंगे और जानेने के साथ-साथ NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 2  बहुपद प्रश्नावली – 2.3 in hindi के सभी प्रश्न-उत्तर को हल करेंगे।

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 2 बहुपद (Polynomials)

Chapter – 2

बहुपद

प्रश्नावली – 2.3

प्रश्न 1. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x + 1 है।

(i) x³ + x² + x + 1

हल: x + 1 = 0
⇒ x = – 1
मान लीजिए p(x) = x³ + x² + x + 1
p(-1) = (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1
⇒ -1 + 1 – 1 + 1
⇒ 0
अतः (x + 1),  x³ + x² + x + 1 का गुणनखंड है।

(ii) x⁴ + x³ + x² + x + 1

हल: x + 1 = 0
⇒ x = – 1
मान लीजिए p(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1
P(-1) = (-1)⁴+ (-1)³+ (-1)²+ (-1) + 1
⇒ 1 – 1 + 1 – 1 + 1
⇒ 1
अतः (x + 1),  x⁴ + x³ + x² + x + 1 का गुणनखंड नहीं है।

(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1

हल: x + 1 = 0
⇒ x = – 1
मान लीजिए p(x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
P(-1) = (-1)⁴ + 3(-1)³ + 3(-1)² + (-1) + 1
⇒ 1 – 3 + 3 – 1 + 1 
⇒ 1
अतः (x + 1), x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1 का गुणनखंड नहीं है।

(iv) x³ – x² – (2 +√2)x + √2

हल: x + 1 = 0
⇒ x = – 1
मान लीजिए, p(x) = x³ – x² – (2 + √2)x + √2
p(- 1) = (-1)³ – (-1)² – (2 + √2) (-1) + 2
⇒ -1 – 1 + 2 + √2 + 2
⇒ 2√2
अतः (x + 1),  x³ – x² – (2 + √2)x + √2 का गुणनखंड नहीं है।

प्रश्न 2. गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं:

(i) p(x) = 2x³ + x² − 2x − 1, g(x) = x + 1

हल: हमारे पास p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1 और g(x) = x + 1
⇒ x + 1 = 0
⇒ x = – 1
p(-1) = 2(-1)³ + (-1)² – 2 (-1) – 1 है।
⇒ 2(-1) + 1 + 2 – 1
⇒ -2 + 1 + 2 -1
⇒ 0
⇒ p(-1) = 0, इसलिए g(x), p(x) का एक गुणनखंड है।

(ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2

हल: हमारे पास p(x) =  x³ + 3x² + 3x + 1 और g(x) = x + 2
⇒ x + 2 = 0
⇒ x = – 2
p(-2) = (-2)³ + 3(-2)² + 3(-2) + 1
⇒ -8 + 12 – 6 + 1
⇒ -14 + 13
⇒ -1
⇒ p(-2) = -1, इसलिए g(x), p(x) का गुणनखंड नहीं है।

(iii) p(x) = x³ − 4x² + x + 6, g(x) = x − 3

हल: हमारे पास = x³ – 4x² + x + 6 और g(x) = x – 3
⇒ x – 3 = 0
⇒ x = 3
p(3) = (3)³ –  4(3)² + 3 + 6
⇒ 27 – 4(9) + 3 + 6
⇒ 27 – 36 + 3 + 6 
⇒ 0
p(3) = 0, इसलिए g(x), p(x) का एक गुणनखंड है।

प्रश्न 3. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x − 1), p(x) का एक गुणनखण्ड हो।

(i) p(x) = x²+ x + k

हल: यहाँ, p(x) = x² + x + k
⇒ x – 1 = 0
⇒ x = 1
क्योंकि, p(1) = (1)² + 1 + k = 0
⇒ k + 2 = 0
⇒ k = – 2

(ii) p(x) = 2x²+ kx + √2

हल: यहाँ, p(x) = 2x² + kx + √2
⇒ x – 1 = 0
⇒ x = 1
क्योंकि, p(1) = 2(1)² + k(1) + √2 = 0
⇒ 2 + k + √2 = 0
⇒ k = -2 – √2
⇒ k = – (2 + √2)

(iii) p(x) = kx²– 2x + 1

हल: यहाँ, p(x) = kx² – 2x + 1
⇒ x – 1 = 0
⇒ x = 1
क्योंकि, p(1) = k(1)² – 2(1) + 1 = 0
⇒ k – 2 + 1 = 0
⇒ k = √2 -1

(iv) p(x) = kx²– 3x + k

हल: यहाँ, p(x) = kx² – 3x + k
⇒ x – 1 = 0
⇒ x = 1
क्योंकि, p(1) = k(1)² – 3(1) + k = 0
⇒ k – 3 + k = 0
⇒ 2k – 3 = 0
⇒ 2k = 3
⇒ k = 3/2

प्रश्न 4. गुणनखंड ज्ञात कीजिए:

(i) 12x²– 7x +1

हल: हमारे पास, 12x² – 7x + 1
⇒ 12x² – 4x- 3x + 1
⇒ 4x(3x – 1) -1(3x -1)
⇒ (3x -1) (4x -1)

(ii) 2x²+ 7x + 3

हल: हमारे पास, 2x² + 7x + 3
⇒ 2x² + x + 6x + 3
⇒ x(2x + 1) + 3(2x + 1)
⇒ (x + 3) (2x + 1)

(iii) 6x²+ 5x – 6

हल: हमारे पास, 6x² + 5x – 6
⇒ 6x²+ 9x – 4x – 6
⇒ 3x(2x + 3) – 2 (2x + 3)
⇒ (2x + 3) (3x – 2)

(iv) 3x²– x – 4

हल: हमारे पास, 3x² – x – 4
⇒ 3x² – 4x + 3x – 4
⇒ x (3x – 4) + 1 (3x – 4)
⇒ (3x – 4) (x + 1)

प्रश्न 5. गुणनखंड ज्ञात कीजिए:

(i) x³– 2x²– x  + 2

हल: हमारे पास, x³ – 2x² – x + 2
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमारे पास x³– x – 2x² + 2
= x(x² – 1) -2(x²– 1) = (x²– 1)(x – 2)
= [(x)²– (1)²] (x – 2)
= (x – 1)(x + 1)(x – 2)
[(a²– b²) = (a + b)(ab)]
इस प्रकार, x³– 2x²– x + 2 = (x – 1)(x + 1)(x – 2)

(ii) x³– 3x²– 9x – 5

हल: हमारे पास, x³– 3x²– 9x – 5
= x³ + x² – 4x² – 4x – 5x – 5
= x²(x + 1) – 4x(x + 1) – 5(x + 1)
= (x + 1) (x²– 4x – 5)
= (x + 1) (x²– 5x + x – 5)
= (x + 1) [x (x – 5) + 1 (x) – 5)]
= (x + 1)(x – 5)(x + 1)
इस प्रकार, x³ – 3x² – 9x – 5 = (x + 1)(x – 5)(x +1)

(iii) x³+ 13x²+ 32x + 20

हल: हमारे पास, x³+ 13x²+ 32x + 20
= x³ + x² + 12x² + 12x + 20x + 20
= x²(x + 1) + 12x(x +1) + 20 (x + 1)
= (x + 1)(x² + 12x + 20)
= (x + 1) (x² + 2x + 10x + 20)
= (x + 1) [x(x + 2) + 10(x + 2)]
= (x + 1) (x + 2) (x + 10)
इस प्रकार, x³ + 13x² + 32x + 20
= (x + 1) (x + 2) (x + 10)

(iv) 2y³+ y²– 2y – 1

हल: हमारे पास, 2y³ +  y² – 2y – 1
= 2y³ – 2y² + 3y² – 3y + y – 1
= 2y² (y – 1) + 3y(y – 1) + 1(y – 1)
= (y – 1) (2y² + 3y + 1)
= (y – 1) (2y² + 2y + y + 1)
= (y – 1) [2y (y + 1) + 1 (y + 1)]
= (y – 1) (y + 1) (2y + 1)
इस प्रकार, 2y³ + y² – 2y – 1
= (y – 1) (y + 1) (2y + 1)

• प्रश्नावली – 2.1
• प्रश्नावली – 2.2
• प्रश्नावली – 2.4

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