NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 9 वृत्त (Circles) प्रश्नावली 9.2 in Hindi

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 9 वृत्त (Circles)

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 9 वृत्त (Circles) प्रश्नावली – 9.2 वृत्त की सही परिभाषा क्या है?, वृत्त कितने प्रकार के होते हैं?, वृत्त का उदाहरण क्या है?, वृत्त का सूत्र क्या है?, वृत्त की खोज किसने की थी?, वृत्त के 5 गुण बताइए? इत्यादि के बारे में पढ़ेंगे और जानेने के साथ-साथ Class 9th Maths Chapter – 9 वृत्त (Circles) प्रश्नावली 9.2 in Hindi के सभी प्रश्न-उत्तर को हल करेंगे।

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 9 वृत्त (Circles)

Chapter – 9

वृत्त

प्रश्नावली 9.2

प्रश्न 1. 5 cm तथा 3 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिन्दुओं  पर प्रतिच्छेद करते हैं  तथा उनके केन्द्रों  के बीच की दूरी 4 cm है। उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल: हमारे पास दो प्रतिच्छेदी वृत्त हैं जिनके केंद्र क्रमशः O और O’ हैं। मान लीजिए PQ उभयनिष्ठ जीवा है।
दो प्रतिच्छेदी वृत्तों में, उनके केंद्रों को मिलाने वाली रेखा उभयनिष्ठ जीवा का लंब समद्विभाजक होती है। ∴ ∠OLP = ∠OLQ = 90° और PL = LQ
अब, दाएँ ΔOLP में,
PL² + OL² = 5²
⇒ PL² + (4 – x)² = 5²
⇒ PL² = 5² – (4 – x)²
⇒ PL² = 25 -16 – x² + 8x
⇒ PL² = 9 – x² + 8x …(i)
फिर से, दाएँ ΔO’LP में,
PL²  = PO’² – LO’²
= 3² – x² = 9 – x²  …(ii)
(i) और (ii) से हमें
9 – x² + 8x = 9 – x²
⇒ 8x = 0
⇒ x = 0
⇒ L और O’ मिलते हैं।
∴ PQ छोटे वृत्त का व्यास है।
⇒ PL = 3 cm
लेकिन PL = LQ
∴ LQ = 3 cm
∴ PQ = PL + LQ = 3cm + 3cm = 6cm
इस प्रकार, सामान्य जीवा की अभीष्ट लंबाई = 6 cm

प्रश्न 2. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खण्ड दूसरी जीवा के संगत खण्डों के बराबर हैं।

हल: दिया है: केंद्र O और बराबर जीवा AB और CD वाला एक वृत्त E पर प्रतिच्छेद करता है।
सिद्ध करने के लिए: AE = DE और CE = BE
रचना: OM ⊥ AB और ON ⊥ CD खींचिए।
और OE में जरिए।
प्रमाण: चूँकि AB = CD [दिया है]
OM = ON [समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर हैं]
अब, ∆OME और ∆ONE में,
∠OME = ∠ONE [प्रत्येक 90° के बराबर]
OM = ON [सिद्ध किया गया है, ऊपर]
OE = OE [सामान्य कर्ण]
∴ ∆OME ≅ ∆ONE [RHS सर्वांगसमता मानदंड द्वारा]
ME = NE [CPCT]AM को दोनों पक्षों में जोड़ने पर
AM + ME = AM + NE मिलता है
AE = DN + NE = DE
AB = CD ⇒ 1/2 AB = 1/2 DC
⇒ AM = DN
⇒ AE = DE …(i)
अब, AB – AE = CD – DE
⇒ BE = CE ……. (ii)
(i) और (ii) से, हमारे पास
AE = DE और CE = BE है।

प्रश्न 3. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाऍ वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करे, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिंदु को केंद्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओ से बराबर कोण बनाती है।

हल: दिया गया है: केंद्र 0 और बराबर जीवा AB और CD वाला एक वृत्त E पर प्रतिच्छेद करता है।
सिद्ध करने के लिए: ∠OEA = ∠OED रचना
निर्माण: OM ⊥ AB और ON ⊥ CD खींचिए।
और OE में जरिए।
प्रमाण: ∆OME और ∆ONE में,
OM = ON [समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं]
OE = OE [सामान्य कर्ण]
∠OME = ∠ONE [प्रत्येक 90° के बराबर]
∆OME ≅ ∆ONE [RHS सर्वांगसमता द्वारा मानदंड]
∠OEM = ∠OEN [CPCT]
∠OEA = ∠OED

प्रश्न 4. यदि एक रेखा दो संकेन्द्री वृत्तों (एक ही केंद्र वाले वृत्त )को , जिनका केंद्र O है , A , B , C और D पर प्रतिच्छेद करे, तो सिद्ध कीजिए AB = CD है (देखिए आकृति 9.12)।

हल: दिया है: उभयनिष्ठ केंद्र वाले दो वृत्त।
एक रेखा D बाहरी वृत्त को A और D पर और आंतरिक वृत्त को B और C पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करने के लिए: AB = CD
निर्माण: OM ⊥ l
प्रमाण: बाहरी वृत्त के लिए,
OM ⊥ l [निर्माण द्वारा]
AM = MD …(i) [केंद्र से जीवा पर लंबवत जीवा को समद्विभाजित करता है]
आंतरिक वृत्त के लिए, OM ⊥ l [निर्माण द्वारा]
∴ BM = MC …(ii) [केंद्र से जीवा पर लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है]
(ii) को (i) से घटाने पर हमें,
AM – BM = MD – MC प्राप्त होता है।
⇒ AB = CD

प्रश्न 5. एक पार्क में बने 5 m त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही है। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेकती है। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी 6 m हो, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है ?

हल: मान लीजिए कि रेशमा, सलमा और मनदीप की स्थितियों को क्रमशः A, B और C के रूप में दर्शाया गया है।
प्रश्न से, हम जानते हैं कि AB = BC = 6 cm.
अत: वृत्त की त्रिज्या अर्थात OA = 5 cm
अब एक लंब BM ⊥ AC खींचिए।
चूँकि AB = BC, ABC को एक समद्विबाहु त्रिभुज माना जा सकता है। M, AC का मध्य-बिंदु है। BM, AC का लम्ब समद्विभाजक है, और इस प्रकार यह वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
अब,
मान लीजिए AM = y और IF = x
तो, BM = (5-x) होगा।
ΔOAM में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,
OA ² = OM ² + AM ²
⇒ 5 ² = x ² +y ² ………….(i)
पुनः, ΔAMB में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर,
AB ² = BM ² + AM ²
⇒ 6 ² = (5-x)² + y² ………(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) से घटाने पर, हम पाते हैं
36-25 = (5-x) ² +y ²  -x ² -y ²
अब इस समीकरण को हल करने पर हमें x का मान इस प्रकार प्राप्त होता है
x = 7/5
x का मान समीकरण (i) में रखने पर, हम पाते हैं
⇒ y² + (49/25) = 25
⇒ y² = 25 – (49/25)
इसे हल करने पर हमें y का मान प्राप्त होता है
y = 24/5
इस प्रकार,
AC = 2 × पूर्वाह्न
= 2 × y
= 2×(24/5) m
AC = 9.6 m
अत:, रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी 9.6 m है।

प्रश्न 6. 20 m त्रिज्या का एक गोल पार्क (वृत्ताकार) एक कॉलोनी में स्थित है । तीन लड़के अंकुर , सैय्यद तथा डेविड इसकी परिसीमा पर बराबर दूरी पर बैठे है और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफ़ोन आपस में बात करने के लिए है । प्रत्येक फ़ोन की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए |

हल: सर्वप्रथम दिए गए कथनों के अनुसार आरेख खींचिए। आरेख इस प्रकार दिखेगा।
यहाँ, अंकुर, सैयद और डेविड की स्थितियों को क्रमशः A, B और C के रूप में दर्शाया गया है। चूँकि वे समान दूरी पर बैठे हैं, त्रिभुज ABC एक समबाहु त्रिभुज बनाएगा।
AD ⊥ BC निकाली गई है। अब AD, ΔABC की माध्यिका है और यह केंद्र O से गुजरती है।
साथ ही, O △ABC का केंद्रक है। OA त्रिभुज की त्रिज्या है।
OA = 2/3 AD
माना त्रिभुज की भुजा a m है तो BD = a/2 m.
ΔABD में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,
AB² = BD² + AD²
⇒ AD² = AB ² -BD ²
⇒ AD² = a² -(a/2) ²
⇒ AD ² = 3a ² /4
⇒ AD = √3a/2
OA = 2/3 AD
20 m = 2/3 × √3a/2
a = 20√3 m
अतः, खिलौने की डोरी की लम्बाई 20√3 m है।

• Examples
• प्रश्नावली – 9.1
  
• प्रश्नावली – 9.3

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