NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 9 वृत्त (Circles) Examples In Hindi

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 9 वृत्त (Circles)

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 9 वृत्त (Circles) Examples In Hindi इसमें हम, वृत्त की खोज किसने की थी?, वृत्त के 5 गुण बताइए? इत्यादि के बारे में पढ़ेंगे और जानेने के साथ-साथ Class 9th Maths Chapter – 9 वृत्त (Circles) प्रश्नावली 9.2 in hindi के सभी प्रश्न-उत्तर को हल करेंगे।

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 9 वृत्त (Circles)

Chapter – 9

वृत्त

Examples

उदाहरण 1: यदि एक वृत्त की दो प्रतिच्छेदी जीवाएँ प्रतिच्छेद बिन्दु से जाने वाले व्यास से समान कोण बनाएँ, तो सिद्ध कीजिए कि वे जीवाएँ बराबर हैं।

हल: दिया है कि एक वृत्त, जिसका केन्द्र 0 है, की दो जीवाएँ AB और CD बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करती हैं।
E से जाने वाला PQ एक ऐसा व्यास है कि ∠AEQ = ∠DEQ है (देखिए आकृति 9.11)।

आपको सिद्ध करना है कि AB = CD है। जीवाओं AB और CD पर क्रमश: OL तथा OM
लम्ब खींचिए। अब,
∠LOE = 180° – 90° – ∠LEO = 90° – ∠LEO (त्रिभुज के कोणों के योग का गुण)
= 90° – ∠AEQ = 90° – ∠DEQ
= 90° – ∠MEO = ∠MOE
त्रिभुजों OLE तथा OME में,
∠LEO = ∠MEO (दिया है)
∠LOE = ∠MOE (ऊपर सिद्ध किया है )
EO = EO (उभयनिष्ठ)
अतः, ΔOLE ≅ ΔOME (क्यों?)
इससे प्राप्त होता है: OL = OM (CPCT)
इसलिए, AB = CD (क्यों?)

उदाहरण 2 : आकृति 9.19 में, AB वृत्त का एक व्यास है और CD त्रिज्या के बराबर एक जीवा है। AC और BD बढ़ाए जाने पर एक बिन्दु E पर मिलती हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠AEB = 60° है।

हल: OC, OD और BC को मिलाइए।
त्रिभुज ODC एक समबाहु त्रिभुज है। (क्यों?)
अतः, ∠COD = 60°
अब, ∠CBD = ∠COD (प्रमेय 10.8)
इससे प्राप्त होता है: ∠CBD = 30°
पुन:, ∠ACB = 90° (क्यों?)
इसलिए, ∠BCE = 180° – ∠ACB = 90°
जिससे ∠CEB = 90° – 30° = 60°, अर्थात् ∠AEB = 60° प्राप्त होता है।

उदाहरण 3: आकृति 9.20 में, ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है, जिसमें AC और BD विकर्ण हैं। यदि ∠DBC = 55° तथा ∠BAC = 45° हो, तो ∠BCD ज्ञात कीजिए।

हल: ∠CAD = ∠DBC = 55° (एक वृत्तखंड के कोण)
अत:, ∠DAB = ∠CAD + ∠BAC
= 55° + 45° = 100°
परन्तु, ∠DAB + ∠BCD = 180° (चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
इसलिए, ∠BCD = 180° – 100° = 80°

उदाहरण 4: दो वृत्त दो बिन्दुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। AD और AC दोनों वृत्तों के व्यास हैं (देखिए आकृति 9.21)। सिद्ध कीजिए कि B रेखाखंड DC स्थित हैं।

हल: AB को मिलाइए । अब,
∠ABD = 90° (अर्धवृत्त का कोण)
∠ABC = 90° (अर्धवृत्त का कोण)
इसलिए, ∠ABD + ∠ABC = 90° + 90° = 180°
अत:, DBC एक रेखा है। अर्थात् B रेखाखंड DC पर स्थित है।

उदाहरण 5: सिद्ध कीजिए कि किसी चतुर्भुज के अंतः कोणों के समद्विभाजकों से बना चतुर्भुज (यदि संभव हो) चक्रीय होता है।

हल: आकृति 9.22 में, ABCD एक चतुर्भुज है जिसके अंत: कोणों A, B, C और D के क्रमशः कोण समद्विभाजक AH, BF, CF और DH एक चतुर्भुज EFGH बनाते हैं।
अब, ∠FEH = ∠AEB = 180° – ∠EAB – ∠EBA (क्यों?)
= 180° (∠A + ∠B)
तथा ∠FGH = ∠CGD = 180° – ∠GCD – ∠GDC (क्यों ?)
= 180°- 1/2 (∠C + ∠D)
अतः, ∠FEH + ∠FGH = 180° – 1/2 (∠A + ∠B) + 180° – 1/2 (∠C+∠D)
= 360° – 1/2 (∠A + ∠B + ∠C + ∠D) = 360°- 1/2 × 360°
= 360° – 180° = 180°
इसलिए, प्रमेय 9.11 से चतुर्भुज EFGH चक्रीय है।

• प्रश्नावली – 9.1
• प्रश्नावली – 9.2
• प्रश्नावली – 9.3

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