NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 9 समांतर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल (Areas of Parallelograms and Triangles) प्रश्नावली – 9.3

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 9 समांतर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल (Areas of Parallelograms and Triangles) 

TextbookNCERT
Class 9th
Subject गणित (Mathematics)
Chapter9th
Chapter Nameसमांतर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल (Areas of Parallelograms and Triangles)
MathematicsClass 9th गणित 
Medium Hindi
SourceLast Doubt

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 9 समांतर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल (Areas of Parallelograms and Triangles) प्रश्नावली – 9.3 समांतर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्या है?

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 9 समांतर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल (Areas of Parallelograms and Triangles) 

Chapter – 9

समांतर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल

प्रश्नावली – 9.3

प्रश्न 1. आकृति 9.23 में, Δ ABC की एक माध्यिका AD पर स्थित E कोई बिंदु है दर्शाइए कि ar(ABE) = ar(ACE) है।

अध्याय 9.1
हल: ज्ञात है: Δ की एक माध्यिका AD है और E, AD का एक बिंदु है।
सिद्ध करना है: ar(ΔABE) = ar(ΔACE)
प्रमाण: ΔABC में AD एक माध्यिका है।
∴ ar(ΔABD) = ar(ΔACD)…(i) [∴ माध्यिका एक त्रिभुज को दो समान क्षेत्रफलों वाली त्रिभुजों में विभाजित करती है।]
इसी प्रकार ΔEBC में, ED एक माध्यिका है।
∴ ar(ΔEBD) = ar(ΔECD)…(ii)
(i) में से (ii) को घटाने पर 
ar(ΔABD) = ar(ΔEBD) = ar(ΔACD) – ar(ΔECD)
अत: ar(ΔABE) = ar(ΔACE)

प्रश्न 2. AABC में, E माध्यिका AD का मध्य – बिंदु है। दर्शाइए कि ar(BED) = 1/4 ar(ABC)

हल:
अध्याय 9.1

AD की माध्यिका ΔABC है। इसलिए, यह ΔABC को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करेगा।
∴ क्षेत्रफल (ΔABD) = क्षेत्रफल (ΔACD)
⇒ क्षेत्रफल (ΔABD) = 1/2 क्षेत्र (ΔABC)… (1)
ΔABD में, E, का मध्य-बिंदु AD है। इसलिए, BE माध्यिका है।
∴ क्षेत्रफल (ΔBED) = क्षेत्रफल (ΔABE)
क्षेत्रफल (ΔBED) = 1/2 क्षेत्र (ΔABD)
क्षेत्रफल (ΔBED) = 1/2 × 1/2 क्षेत्र (ΔABC) [समीकरण (1) से]
क्षेत्रफल (ΔBED) = 1/4 क्षेत्र (ΔABC)

प्रश्न 3. दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों के बाँटते है।

हल: 
अध्याय 9.1
दिया है: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसके दो विकर्ण AC तथा BD हैं। जो एक दुसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते है।
सिद्ध करना है: ar(AOB) = ar(BOC) = ar(COD) = ar(AOD)
प्रमाण: ΔABC की भुजा AC का O मध्य-बिंदु है।
इसलिए OB एक माध्यिका है।
अत: ar(AOB) = ar(BOC) ……. (i) (त्रिभुज कि माध्यिका उसे दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बाँटता है)
इसीप्रकार, ΔACD की भुजा AC का O मध्य-बिंदु है।
इसलिए OD एक माध्यिका है।
अत: ar(AOD) = ar(COD) ……. (ii)
अब और ΔBCD में भुजा BD की मध्य-बिंदु O है अत: OC एक माध्यिका है।
अत : ar(BOC) = ar(COD) ……. (iii)
समीकरण (i), (ii) तथा (iii) से हमें प्राप्त होता है।
ar(ΔAOB) = ar(ΔBOC) = ar(ΔCOD) = ar(ΔAOD)

प्रश्न 4. आकृति 9.24 में ,ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज है यदि रेखाखड़ CD रेखाखड़ AB से बिंदु O पर समद्विभाजित होता है, तो दर्शाइए कि ar(ABC) = ar(ABD) है।

अध्याय 9.1
हल: ΔACD पर विचार करें।
रेखाखंड CD को AB द्वारा O पर समद्विभाजित किया जाता है। इसलिए, AO की माध्यिका है
ΔACD.
∴  क्षेत्रफल (ΔACO) = क्षेत्रफल (ΔADO) … (1)
ΔBCD को ध्यान में रखते हुए, BO माध्यिका है।
∴ क्षेत्रफल (ΔBCO) = क्षेत्रफल (ΔBDO) … (2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं
क्षेत्रफल (ΔACO) + क्षेत्रफल (ΔBCO) = क्षेत्रफल (ΔADO) + क्षेत्रफल (ΔBDO)
⇒ क्षेत्रफल (ΔABC) = क्षेत्रफल (ΔABD)

प्रश्न 5. D , E , और F क्रमश : त्रिभुज ABC की भुजाओ BC , CA और AB के मध्य – बिंदु है। दर्शाइए कि

(i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) ar(DEF) =  1/4 ar (ABC)
(iii) ar (BDEF) = 1/4 ar (ABC)
अध्याय 9.1
हल: (i) In ΔABC,
E और F क्रमशः भुजा AC और AB के मध्य-बिंदु हैं।
इसलिए, EF || BC और EF = 1/2 BC (मध्य-बिंदु प्रमेय)
हालाँकि, BD = 1/2 BC (D, BC का मध्य-बिंदु है)
इसलिए, BD = EF and BD || EF
अत: BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) ऊपर प्राप्त परिणाम का उपयोग करते हुए, यह कहा जा सकता है कि चतुर्भुज BDEF, DCEF, AFDE समांतर चतुर्भुज हैं।
हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔBFD) = क्षेत्रफल (ΔDEF) (समांतर चतुर्भुज BD के लिए)
क्षेत्रफल (ΔCDE) = क्षेत्रफल (ΔDEF) (समानांतर चतुर्भुज DCEF के लिए)
क्षेत्रफल (ΔAFE) = क्षेत्रफल (ΔDEF) (समानांतर चतुर्भुज AFDE के लिए)
क्षेत्रफल (ΔAFE) = क्षेत्रफल (ΔBFD) = क्षेत्रफल (ΔCDE) = क्षेत्रफल (ΔDEF)
भी,
क्षेत्रफल (ΔAFE) + क्षेत्रफल (ΔBDF) + क्षेत्रफल (ΔCDE) + क्षेत्रफल (ΔDEF) = क्षेत्रफल (ΔABC)
क्षेत्र (ΔDEF) + क्षेत्र (ΔDEF) + क्षेत्र (ΔDEF) + क्षेत्र (ΔDEF) = क्षेत्र (ΔABC)
4 क्षेत्रफल (ΔDEF) = क्षेत्रफल (ΔABC)
क्षेत्रफल (ΔDEF) = 1/4 क्षेत्र (ΔABC)
(iii) क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BDEF) = क्षेत्रफल (ΔDEF) + क्षेत्रफल (ΔBDF)
क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BDEF)
= क्षेत्रफल (ΔDEF) + क्षेत्रफल (ΔDEF)
⇒ क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BDEF)
= 2 क्षेत्रफल (ΔDEF)
= क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BDEF)= क्षेत्रफल2×1/4 क्षेत्रफल(ΔABC)
= क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BDEF) = 1/2 क्षेत्र (ΔABC)

प्रश्न 6. आकृति 9.25 में चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB =OD है । यदि AB = CD है, तो दर्शाइए कि
(i) ar(DOC) = ar(AOB)
(ii) ar (DCB) = ar (ACB)
(iii) DA || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

अध्याय 9.1
हल: हमारे पास एक चतुर्भुज ABCD है जिसके विकर्ण AC और BD प्रतिच्छेद करते हैं। हमारे पास यह भी है कि OB = OD, AB = CD आइए हम DE AC और BF ⊥ AC खींचते हैं।
अध्याय 9.1
(i) DEO और ∆BFO में, हमारे पास
DO = BO [दिया गया है]
DOE = BOF [लंबवत विपरीत कोण]
DEO = ∠BFO [प्रत्येक 90°]
DEO BFO [एक AS सर्वांगसमता द्वारा]
DE = BF [CPCT द्वारा]
और ar(∆DEO) = ar(∆BFO) …(1)
अब, DEC और BFA में, हमारे पास
DEC = BFA [प्रत्येक 90°]
DE = BF [सिद्ध किया गया है। ऊपर]
DC = BA [दिया गया]
DEC ∆BFA [RHS सर्वांगसमता द्वारा]
ar(∆DEC) = ar(∆BFA) …(2)
और ∠1 = ∠2 …(3) [CPCT द्वारा]
जोड़ना (1) और (2), हमारे पास
ar(∆DEO) + ar(∆DEC) = ar(∆BFO) + ar(∆BFA)
⇒ ar(∆DOC) = ar(∆AOB) है।
(ii) चूँकि, ar(∆DOC) = ar(∆AOB) [उपरोक्त सिद्ध]
दोनों पक्षों में ar(∆BOC) जोड़ने पर, हमें
ar(∆DOC) + ar(∆BOC) = ar(∆AOB) + प्राप्त होता है। ar(∆BOC)
ar(∆DCB) = ar(∆ACB)
(iii) चूँकि DCS और ACB दोनों एक ही आधार CB पर हैं और इनका क्षेत्रफल समान है।
वे एक ही समान्तर रेखाओं CB और DA के बीच स्थित हैं।
CB || DA
साथ ही ∠1 = 2, [By (3)]
जो एकांतर अंतः कोण हैं।
तो, AB || CD
अत: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रश्न 7. बिंदु D और E क्रमश: Δ ABC की भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित है कि ar(DBC) = ar(EBC) है। दर्शाइए कि DE।। BC है।

हल:
अध्याय 9.1
दिया है: बिंदु D और E क्रमश: DABC कि भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि ar(DBC) = ar(EBC) है।
सिद्ध करना है: DE || BC
प्रमाण: ΔDBC और ΔEBC एक ही आधार BC और क्षेत्रफल में बराबर है क्योंकि
ar(DBC) = ar(EBC) दिया है।
अत: प्रमेय 9.3 से
DE || BC

प्रश्न 8. XY त्रिभुज ABC की भुजा BC समांतर एक रेखा है। यदि BE ।। AC और CF ।। AB रेखा XY से क्रमश: E और F पर मिलती है, तो दर्शाइए कि: ar (ABE) = ar (ACF)

हल:
अध्याय 9.1
दिया जाता है कि
XY || BC ⇒ EY || BC
BE || AC ⇒ BE || CY
अत: EBCY एक समांतर चतुर्भुज है।दिया जाता है कि
XY || BC ⇒ XF || BC
FC || AB ⇒ FC || XB
अत: BCFX एक समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज EBCY और BCFX एक ही आधार BC पर और समान समांतर रेखाओं BC और EF के बीच स्थित हैं।
∴ क्षेत्रफल  (EBCY) = क्षेत्रफल (BCFX) … (1)
समांतर चतुर्भुज EBCY और AEB पर विचार करें
ये एक ही आधार BE पर स्थित हैं और एक ही समान्तर रेखाओं BE और AC के बीच स्थित हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔABE) = 1/2 क्षेत्रफल   (EBCY) … (2)
साथ ही, समांतर चतुर्भुज BCFX और ΔACF एक ही आधार CF पर और समान समांतर रेखाओं CF और AB के बीच स्थित हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔACF) = 1/2 क्षेत्रफल (BCFX) … (3)
समीकरण (1), (2), और (3) से, हम प्राप्त करते हैं
क्षेत्रफल (ΔABE) = क्षेत्रफल (ΔACF)

प्रश्न 9. समांतर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को एक बिंदु P तक बढ़ाया गया है। A से होकर CP के समांतर खींची गई रेखा बढ़ाई गई CB को Q पर मिलती है और फिर समांतर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है ( देखिए आक्रति 9.26 )। दर्शाइए कि ar(ABCD) = ar(PBQR) है।
अध्याय 9.1
हल: माना AC और PQ को मिलाएँ।
ΔACQ और ΔAQP एक ही आधार AQ पर हैं और समान समानांतर AQ और CP के बीच हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔACQ) = क्षेत्रफल (ΔAPQ)
⇒ क्षेत्रफल (ΔACQ) − क्षेत्रफल (ΔABQ) = क्षेत्रफल (ΔAPQ) − क्षेत्रफल (ΔABQ)
⇒ क्षेत्रफल (ΔABC) = क्षेत्रफल (ΔQBP) … (1)
चूँकि AC और PQ क्रमशः समांतर चतुर्भुज ABCD और PBQR के विकर्ण हैं,
∴ क्षेत्रफल (ΔABC) = 12 क्षेत्रफल (ABCD) … (2)
क्षेत्रफल (ΔQBP) = 12 क्षेत्रफल  (PBQR) … (3)
समीकरण (1), (2), और (3) से, हम प्राप्त करते हैं
12 क्षेत्रफल (ABCD) = 12 क्षेत्रफल (PBQR)
क्षेत्रफल (ABCD) = क्षेत्रफल (PBQR)
प्रश्न 10. एक समलंब ABCD, जिसमें AB ।। DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते है। दर्शाइए कि ar(AOD) = ar(BOC) है।
अध्याय 9.1
हल: यह देखा जा सकता है कि ΔDAC और ΔDBC एक ही आधार DC पर और समान समानांतर AB और CD के बीच स्थित हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔDAC) = क्षेत्रफल (ΔDBC)
⇒क्षेत्रफल  (ΔDAC) − क्षेत्रफल (ΔDOC)
= क्षेत्रफल (ΔDBC) − क्षेत्रफल (ΔDOC)
⇒ क्षेत्रफल (ΔAOD) = क्षेत्रफल (ΔBOC)
प्रश्न 11. आकृति 9.27 में ABCDE एक पंचभुज है । B से होकर AC के समांतर खींची गई रेखा बढ़ाई गई DC को F पर मिलती है दर्शाइए कि
(i) ar (ACB) = ar (ACF)
(ii) ar (AEDF) = ar (ABCDE)
अध्याय 9.1
हल:
(i) ΔACB और ΔACF एक ही आधार एसी पर झूठ बोलते हैं और बीच में होते हैं
वही समानांतर AC और BF
∴ क्षेत्रफल (ΔACB) = क्षेत्रफल (ΔACF)
(ii) यह देखा जा सकता है कि
क्षेत्रफल (ΔACB) = क्षेत्रफल (ΔACF)
⇒ क्षेत्रफल (ΔACB) + क्षेत्रफल (ACDE) = क्षेत्रफल (ACF) + क्षेत्रफल  (ACDE)
⇒ क्षेत्रफल (ABCDE) = क्षेत्रफल (AEDF)

प्रश्न 12. गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखंड था। उस गाँव कि ग्राम पंचायत ने उसके भूखंड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केंद्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबन्ध के साथ स्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के बदले उसी भूखंड के भूखंड के संलग्न एक भाग ऐसा दे दिया जाए कि उसका भूखंड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।

हल: हमारे पास एक चतुर्भुज ABCD के रूप में एक प्लॉट है।
आइए हम DF बनाते हैं || AC और AF और CF को मिलाइए।
Class 9 Maths Chapter - 9 समांतर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex-9.3
माना चतुर्भुज ABCD क्षेत्र की मूल आकृति है।
प्रस्ताव को निम्नानुसार लागू किया जा सकता है।
विकर्ण BD को मिलाइए और बिंदु A से होकर BD के समांतर एक रेखा खींचिए। इसे मिलने दें
ABCD की विस्तारित भुजा CD बिंदु E पर है। BE और AD को मिलाइए। उन्हें एक दूसरे को O पर काटने दें। फिर, AOB के हिस्से को मूल क्षेत्र से काटा जा सकता है ताकि क्षेत्र का नया आकार BCE हो। (रेखा – चित्र देखें)
हमें यह सिद्ध करना है कि AOB का क्षेत्रफल (जिस भाग को स्वास्थ्य केंद्र बनाने के लिए काटा गया था) DEO के क्षेत्रफल के बराबर है) मूल क्षेत्र के)
यह देखा जा सकता है कि ΔDEB और ΔDAB एक ही आधार BD पर स्थित हैं और समान समानांतर BD और AE के बीच स्थित हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔDEB) = क्षेत्रफल (ΔDAB)
⇒ क्षेत्र (ΔDEB) – क्षेत्र (ΔDOB) = क्षेत्र (ΔDAB) – क्षेत्र (ΔDOB)
⇒ क्षेत्रफल (ΔDEO) = क्षेत्रफल (ΔAOB)

प्रश्न 13. ABCD एक समलंब है , जिसमें AB ।। DC है AC के समांतर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है सिद्ध कीजिए कि ar(ADX) = ar(ACY) है।

हल:
Class 9 Maths Chapter - 9 समांतर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex-9.3
यह देखा जा सकता है कि ΔADX और ΔACX एक ही आधार AX पर स्थित हैं और समान समानांतर AB और DC के बीच हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔADX) = क्षेत्रफल (ΔACX) … (1)
ΔACY और ΔACX एक ही आधार AC पर स्थित हैं और समान समानांतर AC और XY के बीच स्थित हैं।
∴ क्षेत्रफल (ΔACY) = क्षेत्रफल (ACX) … (2)
समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं
क्षेत्रफल (ΔADX) = क्षेत्रफल (ΔACY)

प्रश्न 14. आकृति 9.28 में, AP ।। BQ ।।CR है। सिद्ध कीजिए कि ar(AQC) = ar(PBR) है।
Class 9 Maths Chapter - 9 समांतर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex-9.3
हल: दिया है: दी गई आकृति में, AP || BQ || CR है।
सिद्ध करना है: ar(AQC) = ar(PBR)
प्रमाण: AP || BQ दिया है | अत: ΔABQ तथा ΔPQB एक ही आधार BQ
तथा AP || BQ के मध्य स्थित है।
∴ ar(ABQ) = ar(PQB) …….. (1) (एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं मध्य स्थित त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं)
इसीप्रकार, BQ || CR दिया है और ΔBQC तथा ΔBQR एक ही आधार BQ तथा BQ || CR के बीच स्थित है।
∴ ar(BQC) = ar(BQR) …….. (2)
समीकरण (1) तथा (2) जोड़ने पर
ar(ABQ) + ar(BQC) = ar(PQB) + ar(BQR)
या ar(AQC) = ar(PBR)

प्रश्न 15.चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते है कि ar(AOD) = ar(BOC) है सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलंब है।

हल:
Class 9 Maths Chapter - 9 समांतर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex-9.3
दिया जाता है कि
क्षेत्रफल (ΔAOD) = क्षेत्रफल (ΔBOC)
क्षेत्रफल (ΔAOD) + क्षेत्रफल (ΔAOB) = क्षेत्रफल (ΔBOC) + क्षेत्रफल (ΔAOB)
क्षेत्रफल (ΔADB) = क्षेत्रफल (ΔACB)
हम जानते हैं कि एक ही आधार पर एक दूसरे के बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुज समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित होते हैं।
इसलिए, ये त्रिभुज, ΔADB और ΔACB, एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
i.e., AB || CD
अत: ABCD एक समलंब है।

प्रश्न 16. आकृति 9.29 में ar(DRC) = ar(DPC) है और ar(BDP) = ar(ARC) है। दर्शाइए की दोनों चतुर्भुज ABCD और DCPR समलंब है।
Class 9 Maths Chapter - 9 समांतर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex-9.3
हल: दिया जाता है कि
क्षेत्रफल (ΔDRC) = क्षेत्रफल (ΔDPC)
चूंकि ΔDRC और ΔDPC एक ही आधार DC पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल समान हैं, इसलिए उन्हें समान समानांतर रेखाओं के बीच स्थित होना चाहिए।
∴ DC || RP
अत: DCPR एक समलंब है।
यह भी दिया गया है कि
क्षेत्रफल (ΔBDP) = क्षेत्रफल (ΔARC)
⇒ क्षेत्रफल (BDP) − क्षेत्रफल (ΔDPC) = क्षेत्रफल (ΔARC) − क्षेत्रफल (ΔDRC)
⇒ क्षेत्रफल (ΔBDC) = क्षेत्रफल (ΔADC)
चूँकि ΔBDC और ΔADC एक ही आधार CD पर हैं और उनका क्षेत्रफल समान है, उन्हें समान समानांतर रेखाओं के बीच स्थित होना चाहिए।
∴ AB || CD
अत: ABCD एक समलंब है।

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