NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 9 समांतर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल (Areas of Parallelograms and Triangles) प्रश्नावली – 9.2

हल: AB = CD = 16 cm (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा बराबर होती है) , CF = 10 cm तथा  AE = 8 cm
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × शीर्षलंब
= 16 × 8
= 128 cm²
तथा ar(समांतर चतुर्भुज ABCD) = AD × CF
128 = AD × 10
[समी (1) से ]  
AD = 128/10 cm
AD = 12.8 cm

प्रश्न 2. यदि E, F, G और H क्रमश: समांतर चतुर्भुज ABCD कि भुजाओ के मध्य – बिंदु है, तो दर्शाइए कि ar(EFGH) = 1/2 ar (ABCD) ar है।

हल:

HF से जुड़ें।
समांतर चतुर्भुज ABCD में,
AD = BC और एडी || BC (एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समानांतर होती हैं)
AB = CD (एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
1/2 AD = 1/2 BC और AH || BF के
AH = BF और AH || BF (∵ H और F AD और BC के मध्य-बिंदु हैं)
अत: ABFH एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि HEF और समांतर चतुर्भुज ABFH एक ही आधार HF और समान समानांतर रेखाओं AB और HF के बीच स्थित हैं,
क्षेत्रफल (ΔHEF) = 1/2 क्षेत्र (ABFH) … (1)
इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि
क्षेत्रफल (ΔHGF) = 1/2क्षेत्र (HDCF) … (2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं
क्षेत्र(ΔHEF) + क्षेत्र (ΔHGF) = 1/2 क्षेत्र (ABFH) + 1/2 क्षेत्र (HDCF)
= 1/2 [क्षेत्रफल (ABFH) + क्षेत्रफल (HDCF)]
क्षेत्रफल (EFGH) = 1/2 क्षेत्र (ABCD)

प्रश्न 3. P और Q क्रमशः समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजााओं DC और AD पर स्थित बिंदु है। दर्शाइए कि ar (APB) = ar (BQC) है।

हल: 

दिया है: Pऔर Q क्रमशः समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिन्दु हैं।
सिद्ध करना है: ar (APB) = ar (BQC)
उपपत्ति: अब, समांतर चतुर्भुज ABCD तथा  ∆BQC समान आधार BC तथा समान समांतर रेखाओं BC तथा AD के मध्य स्थित है।
ar (∆BQC) = 1/2 ar(ABCD)………(1)
इसी प्रकार, समांतर चतुर्भुज ABCD तथा  ∆APB समान आधार AB तथा समान समांतर रेखाओं AB तथा CD के मध्य स्थित है।
ar(ΔAPB) = 1/2 ar(||gm ABCD)………(2)
समी (1) तथा (2) से,
ar(ΔAPB) = ar(ΔBQC)

प्रश्न 4. आकृति 9.16 में में , P समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि
(i) ar (APB) + ar (PCD) = 1/2 ar ( ABCD)
(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)

हल: ज्ञात है: ||gm ABCD के अभ्यंतर एक बिंदु P स्थित है।
सिद्ध करना है: (i) ar(ΔAPB) + ar(ΔPCD) = 1⁄2 ar(||gm ABCD)
(ii)  ar(ΔAPD) + ar(ΔPBC) = ar(ΔAPB) + ar(ΔPCD).
रचना: (i) P से होकर एक रेखा DC के समान्तर खींचों जो AD और BC को क्रमश: Q और R पर मिले।
प्रमाण: ΔAPB और ||gm ABRQ एक ही आधार AB और एक ही समान्तर रेखाओं AB और QR के बीच स्थित हैं।
∴ ar(APB) = 1⁄2 ar(ABRQ)…(i)
इस प्रकार  ar (PCD) = 1⁄2 ar(DCRQ)…(ii)
(i) और (ii) से
(i) ar(APB) + ar(PCD) = 1⁄2 ar(ABRQ) + 1⁄2 ar(DCRQ)
अत:
 ar(APB) + ar(PCD) = 1⁄2 ar(ABCD)
(ii) इसी प्रकार
 ar(APD) + ar(PBC) = 1⁄2 ar(ABCD)
अत:
ar(APB) + ar(PCD) = ar(APD) + ar(PBC)

प्रश्न 6. एक किसान के पास समांतर चतुर्भुज PQRS के रूप का एक खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिंदु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है? वह किसान खेत में गेहू और दाले बराबर – बराबर भागों में अलग – अलग बोना चाहती है। वह ऐसा कैसे करे?

हल: 

चित्र से यह देखा जा सकता है कि बिंदु A क्षेत्र को तीन भागों में विभाजित करता है। ये भाग आकार में त्रिभुजाकार हैं – ΔPSA, ΔPAQ, और ΔQRA
ΔPSA का क्षेत्रफल + ΔPAQ का क्षेत्रफल + ΔQRA का क्षेत्रफल = PQRS का क्षेत्रफल … (1)
हम जानते हैं कि यदि एक समांतर चतुर्भुज और एक त्रिभुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
∴ क्षेत्रफल (ΔPAQ) = 1/2क्षेत्र (PQRS) … (2)
समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं
क्षेत्रफल (ΔPSA) + क्षेत्रफल (ΔQRA) = 1/2 क्षेत्र (PQRS) … (3)
स्पष्ट रूप से, यह देखा जा सकता है कि किसान को त्रिकोणीय भाग PAQ में गेहूं और अन्य दो त्रिकोणीय भागों PSA और QRA में दालें या त्रिकोणीय भागों PSA और QRA में गेहूं और त्रिकोणीय भागों PAQ में दालें बोनी चाहिए।