NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 8 चतुर्भुज (Quadrilaterals) प्रश्नावली – 8.2 In Hindi

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 8 चतुर्भुज (Quadrilaterals)

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 8 चतुर्भुज प्रश्नावली – 8.2 हम इस अध्याय में चतुर्भुज, विकर्ण, चतुर्भुज के प्रकार, भुजा, समचतुर्भुज, आयत, वर्ग, समलंब इत्यादि के बारे में पढ़ेंगे और जानेने के साथ-साथ Class 9th Maths Chapter – 8 चतुर्भुज (Quadrilaterals) प्रश्नावली – 8.2 in hindi के सभी प्रश्न-उत्तर को हल करेंगे।

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 8 चतुर्भुज (Quadrilaterals)

Chapter – 8

चतुर्भुज

प्रश्नावली – 8.2

प्रश्न 1. ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA में मध्य – बिंदु है। AC उसका एक विकर्ण है। दर्शाइए कि
(i) SR ∣∣ AC और SR = 1⁄2 AC है।
(ii) PQ = SR है।
(iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।

हल: दिया है: ABCD एक समचतुर्भुज है।
जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है:
(i) SR ∣∣ AC और SR = 1⁄2 AC है।
(ii) PQ = SR है।
(iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
प्रमाण:
(i) ∆ACD में, SAD का मध्य-बिंदु है और R, CD का मध्य-बिंदु है।
SR = 1⁄2  AC और SR || AC …(1) [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा]
(ii) ABC में, P, AB का मध्य-बिंदु है और Q, BC का मध्य-बिंदु है।
PQ = 1⁄2 AC और PQ || AC …(2) [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा]
(1) और (2) से,
हम प्राप्त करते हैं PQ = 1⁄2  AC = SR और PQ || AC || SR
⇒ PQ = SR और PQ || SR
(iii) एक चतुर्भुज PQRS में,
PQ = SR और PQ || SR [सिद्ध]
PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रश्न 2. ABCD एक समचतुर्भुज है और P ,Q ,R और S क्रमश : भुजाओं AB , BC ,CD और DA के मध्य – बिंदु है। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।

हल: दिया है: ABCD एक समचतुर्भुज है।
और P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु है।
सिद्ध करना है: PQRS एक आयत है।
प्रमाण:

ABC में, P और Q क्रमशः AB और BC के मध्य-बिंदु हैं।
∴ PQ = 1⁄2  AC और PQ || AC …(1) [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा] 
ADC में, R और S क्रमशः CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।
SR = 1⁄2 AC और SR || AC …(2) [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा] 
(1) और (2) से,
PQ = 1⁄2  AC = SR और PQ || AC || SR
⇒ PQ = SR और PQ || SR
इसलिए PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
चूँकि ABCD एक समचतुर्भुज है।
इसलिए, ∠AOD = 90^०
या ∠MON = 90^० (समचतुर्भुज के विकर्ण एक दुसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं)
अब SR || AC और SP || BD है।
तो SMON भी एक समान्तर चतुर्भुज है।
इसलिए ∠MSN = ∠MON = 90^० (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
या ∠PSR = 90^०
अत: PQRS एक आयत है।

प्रश्न 3. ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओ AB, BC, CD और DA के मध्य – बिंदु है। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।

हल: दिया है: ABCD एक आयत है।
जिसमें P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: PQRS एक समचतुर्भुज।
रचना: A को C से मिलाया।
प्रमाण: ABC में, 
PQ = 1⁄2 AC और PQ || . है AC …(1) [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा]
इसी प्रकार, ADC में,
SR = 1⁄2 AC और SR || AC …(2)
(1) और (2) से,
PQ = SR और PQ || SR
∴ PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
अब, ΔPAS और ΔPBQ में,
∠A = B [प्रत्येक 90°]
AP = BP [P, AB का मध्य-बिंदु है]
AS = BQ [∵ 1⁄2 AD = 1⁄2 BC]
ΔPAS ≅ ΔPBQ [SAS सर्वांगसमता द्वारा]
PS = PQ [CPCT द्वारा]
साथ ही, PS = QR और PQ = SR [∵समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएं बराबर होती हैं]
तो, PQ = QR = RS = SP अर्थात, PQRS एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ समान हैं।
अत: PQRS एक समचतुर्भुज है।

प्रश्न 4. ABCD एक समलंब है, जिसमें AB ।। DC है। साथ BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का मध्य-बिंदु है। E से होकर एक रेखा AB के समांतर खींची गई है BC को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि F भुजा BC का मध्य – बिंदु है।

हल: दिया है: ABCD एक समलंब है, 
जिसमें AB || DC है।
साथ ही, BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का मध्य-बिंदु है। 
E से होकर एक रेखा AB के समांतर खींची गई है, 
जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है: CF = BF
रचना: D को B से मिलाया जो EF को G पर प्रतिच्छेद करता है।
प्रमाण: DABD में,
AB || EF …..(i) (दिया है)
और E भुजा AD का मध्य-बिंदु है।
अत: मध्य-बिंदु प्रमेय 8.10 से
इसलिए बिंदु G भुजा BD का मध्य-बिंदु है
अब  AB || CD …….(ii) (दिया है)
समीकरण (i) तथा (ii) से
CD || EF और बिंदु G भुजा BD का मध्य-बिंदु है [समीकरण (i) से]
अत: मध्य-बिंदु प्रमेय 8.10 से DBCD में
F भुजा BC का मध्य-बिंदु है।
इसलिए CF = BF

प्रश्न 5. एक समांतर चतुर्भुज ABCD में E और F क्रमश: भुजाओ AB और CD में मध्य – बिंदु है। दर्शाइए कि रेखाखंड AF और EF विकर्ण BD को समत्रिभुजित करते है।

हल: दिया है: एक समांतर चतुर्भुज ABCD में E और F क्रमश: भुजाओं AB और CD के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है : DP = PQ = QB
प्रमाण: DABP में,
E भुजा AB का मध्य-बिंदु है और AF || EC दिया है।
अत: मध्य-बिंदु प्रमेय 8.10 से
Q भुजा PB का मध्य-बिंदु है।
अत: PQ = QB …….(i)
अब, DCDQ में,
F भुजा CD का मध्य-बिंदु है और AF||EC दिया है।
अत: मध्य-बिंदु प्रमेय 8.10 से
P भुजा DQ का मध्य-बिंदु है।
इसलिए,  DP = PQ ……..(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से
DP = PQ = QB

प्रश्न 6. ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। कर्ण AB के मध्य – बिंदु M से होकर BC के समांतर खींची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि
(i) D भुजा AC का मध्य – बिंदु है।
(ii) MD ⊥ AC है।
(iii) CM = MA = 1⁄2 AB है।

हल: दिया है: ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है।
कर्ण AB के मध्य-बिंदु M से होकर BC के समांतर खिंची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है:
(i) D भुजा AC का मध्य – बिंदु है।
(ii) MD ⊥ AC है।
(iii) CM = MA = 1⁄2 AB है।

(i) ACB में,
M, AB का मध्य-बिंदु है। [दिया गया]
MD || BC [दिया]
मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम का प्रयोग करते हुए,
D, AC का मध्य-बिंदु है।
(ii) चूंकि, MD || BC और AC एक तिर्यक रेखा है।
MDA = BCA [संगत कोण बराबर होते हैं]
BCA = 90° [दिया गया है]
MDA = 90°
⇒ MD ⊥ AC
(iii) ∆ADM और ∆CDM में,
∠ADM = ∠CDM [प्रत्येक 90° के बराबर]
MD = MD [सामान्य]
AD = CD [∵ D, AC का मध्य-बिंदु है]
∆ADM ≅ ∆CDM [SAS सर्वांगसमता द्वारा]
MA = MC [CPCT द्वारा] ..(1)
∵ M , AB का मध्य-बिंदु है [दिया गया]
MA = 1⁄2 AB …(2)
(1) और (2) से, हम CM है।
= MA=  1⁄2 AB

• Examples
• प्रश्नावली – 8.1

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