NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 8 चतुर्भुज (Quadrilaterals) प्रश्नावली – 8.1 In Hindi

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 8 चतुर्भुज (Quadrilaterals)

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NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 8 चतुर्भुज (Quadrilaterals)

Chapter – 8

चतुर्भुज

प्रश्नावली – 8.1

प्रश्न 1. यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हो, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।

हल: मान लीजिए कि,
ABCD एक ऐसा समांतर चतुर्भुज है।
AC = BD है।
∆ABC और ∆DCB में,
AC = DB [दिया गया है]
AB = DC [एक समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ]
BC = CB [उभयनिष्ठ]
ABC ≅ DCB [SSS सर्वांगसमता द्वारा]
∠ABC = ∠DCB [CPCT द्वारा] …(1)
अब, AB || DC और BC एक तिर्यक रेखा है। [ABCD एक समांतर चतुर्भुज है]
∠ABC + ∠DCB = 180° …(2) [सह-अंतः कोण]
(1) और (2) से, हमारे पास ABC = DCB = 90°
अर्थात ABCD एक है समांतर चतुर्भुज जिसका कोण 90° के बराबर है। ABCD एक आयत है।

प्रश्न 2. दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते है और परस्पर समकोण पर समद्विभजित करते है।

हल:

दिया है: ABCD एक वर्ग है।
जिसके विकर्ण AC तथा BD एक दुसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते है।
सिद्ध करना है:
(i) AO = CO तथा BO = DO
(ii) AOB = 90^o
प्रमाण: ΔAOB तथा ΔCOD में
AB = CD (वर्ग की भुजा)
∠BAO = ∠DCO (एकांतर कोण)
∠AOB = ∠COD (शिर्षाभिमुख कोण)
ΔAOB ≅ ΔCOD [ASA सर्वांगसमता नियम]
∴ AO = CO तथा BO = DO (By CPCT) …..(1)
पुन: ΔAOB तथा ΔBOC में
AB = BC (वर्ग की भुजा)
BO = BO (उभयनिष्ठ)
AO = CO [By CPCT (1) से]
ΔAOB ≅ ΔBOC [SSS सर्वांगसमता नियम]
​अत: ∠AOB = ∠COB (By CPCT) …..(2)
अब ∠AOB + ∠COB = 180^o (रैखिक युग्म)
⇒ ∠AOB + ∠AOB = 180^o [By CPCT (2) से]
⇒ 2∠AOB = 180^o

प्रश्न 3. समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC कोण A को समद्विभजित करता है। दर्शाइए कि
(i) यह ∠C को भी समद्विभजित करता है।
(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है।

हल: दिया है: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
जिसका विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है:
(i) AC, ∠C को भी समद्विभाजित करता है।
(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है।
प्रमाण:
(i) ΔABC तथा ΔDAC में,
∠BAC = ∠BAC (दिया है)
∠B = ∠D (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते है )
AC = AC (उभयनिष्ठ)
अत: ASA सर्वांगसमता नियम से
ΔABC ≅ ΔDAC
∴ ∠BCA = ∠DCA (By CPCT)
अत: विकर्ण AC, ∠C को समद्विभाजित करता है।​
(ii) पुन: AB = AD (By CPCT) ……. (1)
चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ AB = CD (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा) ……(2)
और
BC = AD (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा) ……(3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) से
AB = BC = CD = AD

प्रश्न 4. ABCD एक आयत है जिसमे विकर्ण AC दोनों कोणों A और C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि
(i) ABCD एक वर्ग है।
(ii) विकर्ण BD दोनों कोणों B और D को समद्विभजित करता है।
हल: दिया है: ABCD एक आयत है।
जिसमें विकर्ण AC दोनों कोण A और C को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है:
(i) ABCD एक वर्ग है।
(ii) विकर्ण BD दोनों कोण B और D को समद्विभाजित करता है।

प्रमाण:
(i) चूँकि ABCD एक आयत है।
∴ AB = CD ……(1) (आयत की सम्मुख भुजा)
और AD = BC …… (2) (आयत की सम्मुख भुजा)
अब, ΔABC तथा ΔACD में,
∠BAC = ∠DAC (दिया है)
चूँकि AC कोण A और C को समद्विभाजित करता है।
AC = AC (उभयनिष्ठ)
∠B = ∠D (प्रत्येक 90^o ) आयत के कोण
ΔABC ≅ ΔACD [AAS सर्वांगसमता नियम]
∴ AB = AD ……..(3) (By CPCT सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग)
समीकरण (1), (2) और (3) से
AB = BC = CD = AD
चूँकि ABCD एक आयत है और इसकी प्रत्येक भुजा बराबर भी है।
अत: ABCD एक वर्ग है।
(ii) चूँकि ABCD एक वर्ग है और एक वर्ग के विकर्ण सम्मुख कोणों को समद्विभाजित करते हैं।
अत: BD, B और D को भी समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 5. समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित है कि DP = BQ है। दर्शाइए कि
(i) ΔAPD ≅ ΔCQB
(ii) AP = CQ
(iii) ΔAQB ≅ ΔCPD
(iv) AQ = CP
(v) APCQ एक समांतर है।

हल: दिया है: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और DP = BQ है।
सिद्ध करना है :
(i) Δ APD ≅ Δ CQB
(ii) AP = CQ
(iii) Δ AQB ≅ Δ CPD
(iv) AQ = CP
(v) APCQ एक समान्तर चतुर्भुज है।
प्रमाण:
(i) चूंकि, AD || BC और BD एक तिर्यक रेखा है।
ADB = ∠CBD [वैकल्पिक अंतः कोण बराबर होते हैं]
ADP = CBQ
अब, APD और CQB में, हमारे पास
AD = CB है [एक समांतर चतुर्भुज ABCD की विपरीत भुजाएँ बराबर हैं]
PD = QB [दिया गया है]
ADP = ∠CBQ [सिद्ध]
APD ≅ ∆CQB [SAS सर्वांगसमता द्वारा]
(ii) चूंकि, APD ∆CQB [सिद्ध]
AP = CQ [CPCT द्वारा]
(iii) चूंकि, AB || CD और BD एक तिर्यक रेखा है।
ABD = ∠CDB
ABQ = CDP
अब, AQB और CPD में, हमारे पास
QB = PD [दिया गया है]
ABQ = CDP [सिद्ध]
AB = CD [ Y समांतर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं ]
AQB = ∆CPD [SAS सर्वांगसमता द्वारा]
(iv) चूंकि, AQB = ∆CPD [सिद्ध]
AQ = CP [CPCT द्वारा]
(v) एक चतुर्भुज PCQ में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। [सिद्ध]
PCQ एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रश्न 6. ABCD एक समांतर चतुर्भज है तथा AP और CQ शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर क्रमशः लम्ब हैं। दर्शाइए कि
(i) Δ APB ≅ Δ CQD
(ii) AP = CQहल:

दिया है: ABCD एक समांतर चतुर्भज है
तथा AP और CQ शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर क्रमशः लम्ब हैं।
सिद्ध करना है:
(i) Δ APB ≅ Δ CQD
(ii) AP = CQ
प्रमाण:
(i) Δ APB तथा  Δ CQD में,
AB = CD (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा)
∠ABP = ∠CDQ  (एकांतर अत: कोण)
∠APB = ∠CQD  (प्रत्येक 90^o)
Δ APB ≅ Δ CQD [ASA सर्वांगसमता नियम]
(ii) इसलिए, AP = CQ (By CPCT /सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग)

प्रश्न 7. ABCD एक समलंब है , जिसमे AB ।। DC और AD = BC है। दर्शाइए कि
(i) ∠A = ∠B
(ii) ∠C = ∠D
(iii) ΔABC ≅ ΔBAD
(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD है।

हल: दिया है: ABCD एक समलम्ब है,
जिसमें AB || DC और AD = BC है।
सिद्ध करना है:
(i) ∠ A = ∠ B
(ii) ∠ C = ∠ D
(iii) Δ ABC ≅ Δ BAD
(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD है।
रचना: AD के समांतर CE खिंचा
प्रमाण: AB || DC …..(1) (दिया है।)
AD || CE ……..(2) रचना से
समीकरण (1) तथा (2) से
AECD एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ AD = CE …….(3) [समांतर चतुर्भुज AECD की सम्मुख भुजा]
जबकि, AD = BC ……..(4) (दिया है।)
समीo (3) तथा (4) से
BC = CE
∴ ∠2 = ∠3 ……..(5) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
AB || CD दिया है और BC एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠2 = ∠5 …………..(6) [अंत: एकांतर कोण]
समीo (5) तथा (6) से हमें प्राप्त होता है।
∠3 = ∠5 ……..(7)
अब DBEC में,
बहिष्कोंण ∠1 = ∠3 + ∠4
या ∠1 = ∠5 + ∠4 समीo (7) से
या ∠B = ∠ECD ……..(8)
चूँकि, AECD एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ ∠A = ∠ECD ……..(9) [समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण]
समीo (8) और (9) से
∠A = ∠B ………(10) [Proved (i)]

(ii) पुन: ∠D = ∠E [समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण]
या ∠D = ∠3 ……..(11)
समीo (7) और (11) से
∠D = ∠5 या ∠D = ∠C [Proved (ii)]
(iii) ΔABC और ΔBAD में,
AD = BC (दिया है)
AB = AB (उभयनिष्ठ भुजा’)
∠A = ∠B समीo (10) से
ΔABC ≅ ΔBAD [SAS सर्वांगसमता नियम]
(iv) AC = BD (By CPCT)

• Examples
• प्रश्नावली – 8.2

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