NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 7 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 7.2

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 7 त्रिभुज (Triangles)

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 7 त्रिभुज 7.2 के हल हिंदी मीडियम में सीबीएसई और राजकीय बोर्ड शैक्षणिक सत्र 2023-2024 के लिए यहाँ से निशुल्क प्राप्त करें। प्रश्नों के हल की पीडीएफ और विडियो को डाउनलोड करके उसे ऑफलाइन भी प्रयोग किया जा सकता है। कक्षा 9 गणित की प्रश्नावली 7.2 में हम त्रिभुजों के गुणों पर आधारित प्रश्नों को हल करते हैं।

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 7 त्रिभुज (Triangles)

Chapter – 7

त्रिभुज

प्रश्नावली 7.2

प्रश्न 1. एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जिसमें AB = AC है, ∠B और ∠Cके समद्विभाजक परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। A और O को जोड़िए। दर्शाइए कि

(i) OB = OC
(ii) AO कोण A को समद्विभाजित करता है

हल:

(i) ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC
∠C = ∠B[त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं।]⇒ ∠OCA + ∠OCB = ∠OBA + ∠OBC

⇒ ∠OCB + ∠OCB = ∠OBC + ∠OBC

∵ OB, ∠B को समद्विभाजित करता है।

∴ ∠OBA = ∠OBC

और OC, ∠C को समद्विभाजित करता है।

∴ ∠OCA = ∠OCB

⇒ 2∠OCB = 2∠OBC

⇒ ∠OCB = ∠OBC

अब, △OBC में,

∠OCB = ∠OBC [ऊपर सिद्ध किया है]

∴ OB = OC

[समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ]

(ii) अब △AOB और △AOC में,

AB = AC [दिया है]

∠OBA = ∠OCA

∠B = ∠C

BO, ∠B और CO, ∠C को समद्विभाजित करता है।

∠OBA = ∠OCA

OB = OC [(I) में सिद्ध किया है]

∴ △AOB ≌ △AOC [SAS सर्वांगसमता नियम से]

⇒ ∠OAB = ∠OAC [सर्वांमसम त्रिभुजों के संगत भाग]
अतः, AO; ∠A को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 2. ΔABC में AD भुजा BC का लम्ब समद्विभाजक है। दर्शाइए कि ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है।

हल:

△ABD और △ACD में,

BD = CD                                     [∵ AD, BC को समद्विभाजित करता है। (दिया है)]

∠ADB = ∠ADC = प्रत्येक 90°             [∵ AD ⊥ BC (दिया है)]

AD = AD [उभयनिष्ठ]

∴ △ABD ≌ △ACD [SAS सर्वांगसम नियम से]

⇒ AB = AC [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]

इसलिए, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 3. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं AC और AB पर क्रमशः शीर्षलम्ब BE और CF खींचे गए हैं। दर्शाइए कि ये शीर्षलम्ब बराबर हैं।

हल:

△ABE और △ACF में,

∠A = ∠A [उभयनिष्ठ]

∠AEB = ∠AFC (प्रत्येक = 90°) [दिया है।
AB = AC [दिया है।

∴ △ABE ≌ △ACF [AAS सर्वांगसमता नियम से]

इसलिए BE = CF [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]

दूसरे शब्दों में समान भुजाओं पर खींचे गए शीर्षलंब समान होते हैं।

प्रश्न 4. ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB पर खींचे गए शीर्षलम्ब BE और CF बराबर है।दर्शाइए कि

(i) ΔABE ≅ ΔACF
(ii) AB = AC, अर्थात ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

हल:

△ABE और △ACF में,

∠A = ∠A [उभयनिष्ठ]

∠AEB = ∠AEC [प्रत्येक = 90°]

[∵ BE ⊥ AC और CF ⊥ AB (दिया है)]

BE = CF [दिया है।

(I) ∴ △ABE ≌ △ACF         [AAS सर्वांगसमता नियम से)

(Ii) इसलिए, AB = AC (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अर्थात्, △ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 5. ABC और DBC समान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज है। दर्शाइए कि ∠ABD = ∠ACD है।

हल:

समद्विबाहु △ABC में,

AB = AC [दिया है]

∴ ∠ACB = ∠ABC … (I)

[समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
साथ ही, समद्विबाहु △BCD में,

BD = DC

∴ ∠BCD = ∠CBD [समान भुजाओं के सम्मुख कोण]

(i) और (ii) के संगत पक्षों को जोड़ने पर

∠ACB + ∠BCD = ∠ABC + ∠CBD

⇒ ∠ACD = ∠ABD
या ∠ABD = ∠ACD (सीपीसीटी द्वारा)

प्रश्न 6. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। भुजा BA बिंदु D तक इस प्रकार बढ़ाई गई है कि AD = AB है। दर्शाइए कि ∠BCD एक समकोण है।

हल: 

समद्विबाहु त्रिभुज ABC में,

AB = AC

∴ ∠ACB = ∠ABC

AB= AC (दिया गया है)

∴ ∠ACB = ∠ABC (त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)

माना ∠ACB = ∠ABC x है। – (1)

ΔACD में,

AC = AD (चूँकि, AB = AC)

∴ ∠ADC = ∠ACD (त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)

माना ∠ADC = ∠ACD y है। – (2)

इस प्रकार, ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = x + y – (3)

ΔBCD में,

∠ABC + ∠BCD + ∠ADC = 180° (त्रिकोण का कोण योग गुण)

हमें प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए,

x + (x + y) + y = 180° [समीकरण (1), (2) और (3) से]

2 (x + y) = 180°

2(∠BCD) = 180° [समीकरण(3) से]

∠BCD = 90°

प्रश्न 7. ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें ∠A = 90∘ और AB = AC है ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।

हल:

$\Delta ABC$ में,
$AB=AC$ (दिया है)
$\Rightarrow \angle C=\angle B\left(1\right)$
पुनः $\angle A+\angle B+\angle C={180}^{\circ }$
$\Rightarrow {90}^{\circ }+\angle B+\angle C={180}^{\circ }(\because \angle A={90}^{\circ })$
$\Rightarrow \angle B+\angle C={90}^{\circ }$
$\Rightarrow \angle B+\angle B={90}^{\circ }$ [समीकरण (1) से ]
$\Rightarrow 2\angle B={90}^{\circ }\Rightarrow \angle B={45}^{\circ }$
$\angle B=\angle C={45}^{\circ }$

प्रश्न 8. दर्शाइए कि किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60∘ होता है।

हल:

AB = BC = AC

∴ ∠C = ∠A = ∠B (त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)

माना ∠A = ∠B = ∠C x है।

△ ABC में,

∠A + ∠B + ∠C = 180° (त्रिभुज के कोणों के योग का गुण)

⇒ x + x + x = 180°

⇒ 3x = 180°

⇒ x = 60°

∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°

इसलिए, एक समबाहु त्रिभुज में, सभी आंतरिक कोण 60° के होते हैं।

• प्रश्नावली – 7.1
• प्रश्नावली – 7.3

NCERT Solutions Class 9th Maths All Chapter in Hindi

You Can Join Our Social Account