NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 7 त्रिभुज (Triangles) Examples In Hindi

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 7 त्रिभुज (Triangles)

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 7 त्रिभुज (Triangles) Examples In Hindi इसमें हम, त्रिभुज का सूत्र क्या होता है?,त्रिभुज की खोज किसने की थी?,त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निकाला जाता है?,त्रिभुज का क्षेत्रफल और परिमाप का सूत्र क्या है?,त्रिभुज और सूत्र कितने प्रकार के होते हैं?,त्रिभुज सिद्धांत क्या है?,त्रिभुज की माध्यिका कितनी होती है?,त्रिभुज में कितने तत्व होते हैं?,त्रिभुज के शीर्ष की संख्या कितनी होती है?,त्रिभुज का जनक कौन है?,त्रिभुज की सबसे अच्छी परिभाषा कौन सी है?,त्रिभुज के बिंदु को क्या कहते हैं?,त्रिभुज की कितनी भुजाएँ होती हैं?,त्रिभुज में कितने वर्गाकार कोने होते हैं?,त्रिभुज पर AB और C क्या है?,, गणित में त्रिभुज कितने प्रकार के होते हैं? इत्यादि के बारे में जानेंगे।

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 7 त्रिभुज (Triangles)

Chapter – 7

त्रिभुज

Examples

उदाहरण 1 : आकृति 7.8 में OA = OB और OD = OC है। दर्शाइए कि

(i) Δ AOD = A BOC और (ii) AD || BC है।

हल : (i) Δ AOD और Δ BOC में,

OA = OB
OD = OC ( दिया है)

साथ ही, क्योंकि ∠ AOD और ∠ BOC शीर्षाभिमुख कोणों का एक युग्म है, अतः

∠ AOD = ∠ BOC

इसलिए, Δ AOD = Δ BOC (SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा )

(ii) सर्वांगसम त्रिभुजों AOD और BOC में, अन्य संगत भाग भी बराबर होंगे।
अत:, ∠ OAD = ∠ OBC है । परन्तु ये रेखाखंडों AD और BC के लिए एकांतर कोणों का एक युग्म बनाते हैं।

अतः, AD || BC है।

उदाहरण 2 : AB एक रेखाखंड है और रेखा / इसका लम्ब समद्विभाजक है। यदि / पर स्थित P कोई बिंदु है, तो दर्शाइए कि P बिंदुओं A और B से समदूरस्थ (equidistant) है।

हल : 1 LAB है और AB के मध्य – बिंदु C से होकर जाती है (देखिए आकृति 79 ) | आपको दर्शाना है PA = PB है। इसके लिए 4 PCA और A PCB पर विचार कीजिए। हमें प्राप्त है :

AC = BC (C, AB का मध्य-बिंदु है)
∠ PCA = ∠ PCB = 90° (दिया है)
PC = PC (उभयनिष्ठ)
अतः, A PCA = A PCB  (SAS नियम)

इसलिए, PA = PB (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ )

आइए अब दो त्रिभुजों की रचना करें जिनकी दो भुजाएँ 4 cm और 5 cm हैं और एक कोण 50° है तथा साथ ही यह कोण बराबर भुजाओं के बीच अंतर्गत कोण नहीं है
(देखिए आकृति 7.10 ) । क्या ये त्रिभुज सर्वांगसम हैं?

ध्यान दीजिए कि ये दोनों त्रिभुज सर्वांगसम नहीं हैं।

त्रिभुजों के कुछ अन्य युग्म लेकर इस क्रियाकलाप को दोहराइए। आप देखेंगे कि दोनों त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए यह आवश्यक है कि बराबर कोण बराबर भुजाओं के अंतर्गत कोण हो ।

अत:, SAS नियम तो सत्य है, परन्तु ASS या SSA नियम सत्य नहीं है।

अब, ऐसे दो त्रिभुजों की रचना करने का प्रयत्न करिए, जिनमें दो कोण 60° और 45° हों तथा इन कोणों की अंतर्गत भुजा 4 cm हो ( देखिए आकृति 7.11)।

इन दोनों त्रिभुजों को काटिए और एक त्रिभुज को दूसरे के ऊपर रखिए। आप क्या देखते हैं? देखिए कि एक त्रिभुज दूसरे त्रिभुज को पूर्णतया ढक लेता है, अर्थात् दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं। कुछ और त्रिभुजों को लेकर इस क्रियाकलाप को दोहराइए। आप देखेंगे कि त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए, दो कोणों और उनकी अंतर्गत भुजा की समता पर्याप्त है।

यह परिणाम कोण-भुजा-कोण (Angle-Side-Angle) कसौटी है और इसे ASA सर्वांगसमता कसौटी लिखा जाता है। आप पिछली कक्षाओं में, इसकी सत्यता की जाँच कर चुके हैं। आइए इस परिणाम को सिद्ध करें।

चूँकि इस परिणाम को सिद्ध किया जा सकता है, इसलिए इसे एक प्रमेय (theorem) कहा जाता है। इसे सिद्ध करने के लिए, हम SAS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करेंगे।

उदाहरण 3 : रेखाखंड AB एक अन्य रेखाखंड CD के समांतर है और 0 रेखाखंड AD का मध्य-बिंदु है (देखिए आकृति 7.15 ) । दर्शाइए कि (i) AAOB = ADOC (ii) O रेखाखंड BC का भी मध्य-बिंदु है।

हल : (i) A AOB और DOC पर विचार कीजिए ।
∠ ABO = ∠ DCO ( एकांतर कोण और तिर्यक रेखा BC के साथ AB || CD)
∠ AOB = ∠ DOC ( शीर्षाभिमुख कोण)
OA = OD ( दिया है)
अतः, Δ AOB ≅ Δ DOC (AAS नियम)

(ii) OB = OC (CPCT)
अर्थात् O, रेखाखंड BC का भी मध्य-बिंदु है।

• प्रश्नावली – 7.1
• प्रश्नावली – 7.2
• प्रश्नावली – 7.3

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