NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 6 रेखाएँ और कोण (Lines and Angles) Examples In Hindi

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 6 रेखाएँ और कोण (Lines and Angles)

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 6 रेखाएँ और कोण (Lines and Angles) Examples In Hindi इसमें हम, कोण की परिभाषा क्या है?, रेखा और कोण का सूत्र क्या है?, रेखाएँ और कोण कैसे करते हैं?, रेखा गणित में क्या क्या आता है?, गणित का सूत्र क्या होता है? सरल रेखा क्या दर्शाती है?, एक बाहरी कोण क्या है?, गणित में कौन कितने प्रकार के होते हैं? इत्यादि के बारे में जानेंगे।

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 6 रेखाएँ और कोण (Lines and Angles)

Chapter – 6

रेखाएँ और कोण

Examples

उदाहरण 1: आकृति 6.9 में, रेखाएँ PQ और RS परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠POR : ∠ROQ = 5 : 7 है, तो सभी कोण ज्ञात कीजिए।

हल : ∠POR + ∠ROQ = 180° (रैखिक युग्म के कोण)
परन्तु, ∠POR : ∠ROQ = 5:7 (दिया है)
अतः, ∠POR = 5/12 x 180° = 75°
इसी प्रकार, ∠ROQ = 7/12 x 180° = 105°
अब ∠POS = ∠ROQ = 105°
और ∠SOQ = ∠POR = 75°

उदाहरण 2: आकृति 6.10 में, किरण OS रेखा POQ पर खड़ी है। किरण OR और OT क्रमशः ∠POS और ∠SOQ के समद्विभाजक हैं। यदि ∠POS = x है, तो ∠ROT ज्ञात कीजिए।

हल : किरण OS रेखा POQ पर खड़ी है।
अतः, ∠POS + ∠SOQ = 180°
परन्तु, ∠POS = x
अतः, x + SOQ = 180°
इसलिए, ∠SOQ = 180° – x
अब किरण OR, Z POS को समद्विभाजित करती है।
इसलिए, ∠ROS = 1/2 × ∠POS
= 1/2 × X= ×/2
इसी प्रकार, ∠SOT = 1/2 x ∠SOQ
= 1/2 x (180° – x)
= 90° – x/2
अब, ∠ROT= ∠ROS + ∠SOT
= x/2 + 90° – x/2
= 90°

उदाहरण 3: आकृति 6.11 में, OP, OQ, OR और OS चार किरणें हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠POQ + ∠QOR + ∠SOR + ∠POS = 360° है।

हल : आकृति 6.11 में, आपको किरणों OP, OQ, OR और OS में से किसी एक को पीछे एक बिंदु तक
बढ़ाए जाने की आवश्यकता है। आइए किरण OQ को एक बिंदु T तक पीछे बढ़ा दें ताकि TOQ एक रेखा
हो (देखिए आकृति 6.12)।

अब किरण OP रेखा TOQ पर खड़ी है।
अतः, ∠TOP + POQ = 180° (1) (रैखिक युग्म अभिगृहीत)
इसी प्रकार, किरण OS रेखा TOQ पर खड़ी है।
अत:, ∠TOS + ∠SOQ = 180° (2)
परन्तु ∠SOQ = ∠SOR + ∠QOR है।
अत:, (2) निम्न हो जाती है:

∠TOS + ∠SOR + ∠QOR = 180°
अब, (1) और (3) को जोड़ने पर आपको प्राप्त होगा:
∠TOP + ∠POQ + ∠TOS + ∠SOR + ∠QOR = 360°
परन्तु ∠TOP + ∠TOS = ∠POS है।

अत:, (4) निम्न हो जाती है :
∠POQ + ∠QOR + ∠SOR + ∠POS = 360°

उदाहरण 4 : आकृति 6.19 में, यदि PQ || RS, ∠MXQ = 135° और ∠MYR = 40° है, तो ∠XMY ज्ञात कीजिए।

हल : यहाँ हमें m से होकर, रेखा PQ के समांतर एक रेखा AB खींचने की आवश्यकता है, जैसा कि आकृति 6.20 में दिखाया गया है। अब, AB || PQ और PQ || RS है।

अतः, AB || RS है। (क्यों?)
अब, ∠QXM + ∠XMB = 180°
(AB || PQ, तिर्यक रेखा XM के एक ही ओर के अंतः कोण)
परन्तु, ∠QXM = 135° है। इसलिए,
135° + ∠XMB = 180°
अतः, ∠XMB = 45° (1)
अब, ∠BMY = ∠MYR (AB || RS, एकांतर कोण)
अतः, ∠BMY = 40° (2)

(1) और (2) को जोड़ने पर, आपको प्राप्त होगा :
∠XMB + ∠BMY = 45° + 40°
अर्थात, ∠XMY = 85°

उदाहरण 5: यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे कि संगत कोणों के एक युग्म के समद्विभाजक परस्पर समांतर हों, तो सिद्ध कीजिए कि दोनों रेखाएँ भी परस्पर समांतर होती हैं।

हल : आकृति 6.21 में, एक तिर्यक रेखा AD दो रेखाओं PQ और RS को क्रमश: बिंदुओं B और C पर प्रतिच्छेद करती है। किरण BE, ∠ABQ की समद्विभाजक है और किरण CG, ∠BCS की समद्विभाजक है तथा BE || CG है।

हमें सिद्ध करना है कि PQ || RS है।
यह दिया है कि किरण BE, ∠ABQ की समद्विभाजक है।

अतः, ∠ABE = 1/2 ∠ABQ (1)
इसी प्रकार किरण CG, ∠BCS की समद्विभाजक है।

अतः, ∠BCG = 1/2 ∠BCS (2)
परन्तु, BE || CG है और AD एक तिर्यक रेखा है।

अतः, ∠ABE = ∠BCG
(संगत कोण अभिगृहीत) (3)

(3) में, (1) और (2) को प्रतिस्थापित करने पर, आपको प्राप्त होगा:

1/2 ∠ABQ = 1/2 ∠BCS

अर्थात्, ∠ABQ = ∠BCS
परन्तु, ये तिर्यक रेखा AD द्वारा रेखाओं PQ और RS के साथ बनाए गए संगत कोण हैं और ये बराबर हैं।

अतः, PQ || RS
(संगत कोण अभिगृहीत का विलोम)

उदाहरण 6 : आकृति 6.22 में, AB || CD और CD || EF है। साथ ही, EA ⊥ AB है। यदि ∠BEF = 55° है, तो x, y और z के मान ज्ञात कीजिए।

हल : y + 55° = 180° (CD || EF, तिर्यक रेखा ED के एक ही ओर के अंत: कोण)
अतः, y = 180° – 55° = 125°
पुन:, x = y (AB || CD, संगत कोण अभिगृहीत)
इसलिए, x = 125°
अब चूँकि AB || CD और CD || EF है, इसलिए AB || EF है।
अतः, ∠EAB + ∠FEA = 180°
(तिर्यक रेखा EA के एक ही ओर के अंत: कोण)
इसलिए, 90°+ z + 55°= 180°
जिससे, z = 35° प्राप्त होता है।

• प्रश्नावली – 6.1
• प्रश्नावली – 6.2

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