NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 5 यूक्लिड ज्यामिति का परिचय (Introduction to Euclid’s Geometry) Examples in Hindi

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 5 यूक्लिड ज्यामिति का परिचय (Introduction to Euclid’s Geometry)

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 5 यूक्लिड ज्यामिति का परिचय (Introduction to Euclid’s Geometry) Examples in Hindi यूक्लिड की ज्यामिति क्या है?, यूक्लिड ज्यामिति की कितनी अवधारणाएं हैं?, ज्यामिति का जनक कौन है?, यूक्लिड ज्यामिति क्या है?, यूक्लिडियन ज्यामिति की खोज किसने की थी?, यूक्लिड ने ज्यामिति का आविष्कार कैसे किया?, यूक्लिड ज्यामिति का गणित में क्या महत्व है?, ज्यामिति कितने प्रकार के होते हैं?, यूक्लिडियन ज्यामिति कैसे सीखें?, यूक्लिड ज्यामिति का जनक क्यों है?, यूक्लिड ने ज्यामिति कब बनाई?, यूक्लिड क्यों प्रसिद्ध है?, यूक्लिड का मतलब क्या होता है?, यूक्लिड के ग्रंथ का नाम क्या है?, यूक्लिड की शिक्षा क्या है?, यूक्लिड का दूसरा नाम क्या है?, यूक्लिड ज्यामिति में कितने अध्याय हैं?, यूक्लिड में कितने अध्याय हैं ?, यूक्लिड के तत्वों में कितने रूप होते हैं?, यूक्लिड कब जीवित था आदि आगे पढ़ेंगे |

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 5 यूक्लिड ज्यामिति का परिचय (Introduction to Euclid’s Geometry)

Chapter – 5

यूक्लिड ज्यामिति का परिचय

Examples

उदाहरण 1 : यदि A, B और C एक रेखा पर स्थित तीन बिंदु हैं और B बिंदुओं A और C के बीच में स्थित है (देखिए आकृति 5.7), तो सिद्ध कीजिए कि AB + BC = AC है।

हल : उपरोक्त आकृति में, AB+ BC के साथ AC संपाती है।

साथ ही, यूक्लिड का अभिगृहीत ( 4 ) कहता है कि वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती हों एक दूसरे के बराबर होती हैं। अतः यह सिद्ध किया जा सकता है कि

AB + BC = AC

है। ध्यान दीजिए कि इस हल में यह मान लिया गया है कि दो बिंदुओं से होकर एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है।

उदाहरण 2 : सिद्ध कीजिए कि एक दिए हुए रेखाखंड पर एक समबाहु त्रिभुज की रचना की जा सकती है।

हल : उपरोक्त कथन में, एक दी हुई लम्बाई का एक रेखाखंड, मान लीजिए, AB दिया है [ देखिए आकृति 5.8 (i)]।

यहाँ आपको कुछ रचना करने की आवश्यकता है। यूक्लिड की अभिधारणा ( 3 ) का प्रयोग करके, आप बिंदु A को केन्द्र और AB त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींच सकते हैं [देखिए आकृति 5.8 (ii)] । इसी प्रकार, B को केन्द्र मानकर और BA त्रिज्या लेकर एक अन्य वृत्त खींचा जा सकता है। ये दोनों वृत्त मान लीजिए बिंदु C पर मिलते हैं। अब रेखाखंडों AC और BC खींच कर A ABC बनाइए [ देखिए आकृति 5.8 (iii) ] ।

इसलिए, आपको सिद्ध करना है कि यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है; अर्थात् AB = AC = BC है।

अब, AB = AC है, क्योंकि ये एक वृत्त की त्रिज्याएँ हैं। (1)

इसी प्रकार, AB = BC (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ) (2)

उपरोक्त दोनों तथ्यों और यूक्लिड के पहले अभिगृहीत (वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर होती हैं एक दूसरे के बराबर होती हैं) से आप निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि

AB = BC = AC है।

अत:, A ABC एक समबाहु त्रिभुज है।

ध्यान दीजिए कि यहाँ यूक्लिड ने बिना कहीं बताए, यह मान लिया है कि केन्द्रों A और B को लेकर खींचे गए वृत्त परस्पर एक बिंदु पर मिलेंगे।

अब हम एक प्रमेय सिद्ध करेंगे जो विभिन्न परिणामों में अनेक बार अधिकांशतः प्रयोग की जाती है:

• प्रश्नावली – 5.1

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