NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes) प्रश्नावली – 13.2

1. ऊंचाई 14 cm वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88cm² है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए (π = 22/7)

हल: बेलन की ऊँचाई, h = 14cm
मान लीजिए कि बेलन का व्यास d है।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 88 cm²
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र 2πrh है।
अतः 2πrh = 88 cm² (बेलन के आधार की त्रिज्या है)
2 × (22/7) × r × 14 = 88 cm²
2r = 2 cm
d =2 cm
इसलिए, बेलन के आधार का व्यास है 2 cm

2. धातु की एक चादर से 1 m ऊंची और 140 cm व्यास के आधार वाली एक बंद बेलनाकार टंकी बनाई जाती है इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी?

हल: मान लीजिए कि एक बेलनाकार टैंक की ऊंचाई h है और r त्रिज्या है।
बेलनाकार टैंक की ऊँचाई, h = 1m
त्रिज्या = आधा व्यास = (140/2) cm = 70cm = 0.7m
आवश्यक शीट का क्षेत्रफल = टैंक की कुल सतह = 2πr(r + h)
= [2× (22/7) × 0.7(0.7+1)]
= 7.48 m²
इसलिए, शीट के 7.48 m² की आवश्यकता है।

3. धातु का एक पाइप 77 cm लंबा है इसके एक अनुप्रस्थकाट का आंतरिक व्यास 4 cm है और बाहरी व्यास 4.4 cm है है (देखिए आकृति 13.11)
ज्ञात कीजिए:
(i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

हल: माना (r) और (R) बेलनाकार पाइप की आंतरिक और बाहरी त्रिज्या
r = 4/2 cm = 2 cm
R = 4.4/2 cm = 2.2 cm
बेलनाकार पाइप की ऊंचाई, h = बेलनाकार पाइप की लंबाई = 77 cm
(i) पाइप की बाहरी सतह का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2×(22/7)×2×77 cm²
= 968 cm²
(ii) पाइप की बाहरी सतह का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πRh
= 2×(22/7)×2.2×77 cm²
= (22×22×2.2) cm²
= 1064.8 cm²
(iii) पाइप का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + पाइप के दोनों वृत्ताकार सिरों का क्षेत्रफल।
= 968+1064.8 + 2π(R – r)
= 2032.8 + 2×(22/7)×(2.2² – 2²)
= 2032.8 + 5.28
= 2038.08 cm²
इसलिए, बेलनाकार पाइप का कुल सतह क्षेत्र 2038.08 cm² है।

4. एक रोलर (roller) का व्यास 84 cm है और लंबाई 120 cm है। एक खेल के मैदान को एक बार समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं| खेल के मैदान का m² में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?

हल: माना रोलर की ऊंचाई h और त्रिज्या r है।
h = रोलर की लंबाई = 120 cm 
रोलर के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या r = (84/2) cm = 42 cm
रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2×(22/7)×42×120
= 31680 cm²
क्षेत्रफल क्षेत्र का = 500 × रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= (500×31680) cm²
= 15840000 cm²
= 1584 m²
अत: खेल के मैदान का क्षेत्रफल 1584 m² है।

5. किसी बेलनाकार स्तम्भ का व्यास 50 cm है और ऊंचाई 3.5 m है। रू12.50 प्रति m² की दर से इस स्तंभ के वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल: दिया गया है: ऊंचाई बेलनाकार स्तंभ h = 3.5 m
स्तंभ के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या = r = व्यास/2 = 50/2 = 25cm = 0.25m
स्तम्भ का वक्र स्तंभ = 2πrh
= 2×(22/7)×0.25×3.5
= 5.5 m²
पेंटिंग की लागत 1 m² क्षेत्रफल = रु. 12.50
पेंटिंग की लागत 5.5 m² क्षेत्र = रु. (5.5×12.50)
= रु. 68.75
स्तम्भ पर पेंट कराने का व्यय = ₹ 68.75

6. एक लंब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4m² है। यदि बेलन के आधार की त्रिज्या 0.7 m है, तो उसकी ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

हल: माना लम्बवृत्तीय बेलन की ऊँचाई h मीटर है।
बेलन की त्रिज्या (r) = 0.7 m
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × 22/7 × 0.7 × h
= 4.4h
परन्तु प्रश्न में दिया गया है कि बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4 m² है।
4.4 h = 4.4
h = 1m
अतः बेलन की ऊँचाई = 1m

7. किसी वृत्ताकार कुएँ का आंतरिक व्यास 3.5 cm है और यह 10 m गहरा है| ज्ञात कीजिए:
(i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
(ii) ₹ 40 प्रति m² की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय।

हल: वृत्ताकार कुएँ की भीतरी त्रिज्या, r = 3.5/2m = 1.75m
वृत्ताकार कुएँ की गहराई, मान लीजिए h = 10m
(i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= (2 × (22/7) × 1.75 × 10)
= 110 m²
(ii) 1 m² क्षेत्र
पर पलस्तर करने की लागत = 40 रुपये 110 m² क्षेत्र के पलस्तर की लागत = रुपये (110×40)
= 4400 रुपये

8. गरम पानी द्वारा गरम रखने वाले एक संयंत्र में 28 m लंबाई और 5 cm व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयंत्र में गर्मी देने वाला कुल कितने पृष्ठ है?

हल: बेलनाकार पाइप की लंबाई = 28m
पाइप के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या = व्यास/2 = 5/2 cm = 2.5 cm = 0.025 m
पाइप की वक्र पृष्ठ = 2πrh
= 2×(22/7)×0.025×28 m²
= 4.4 m²

9.ज्ञात कीजिए:
(i) एक बेलनाकार पेट्रोल की बंद टंकी का पाशर्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, जिसका व्यास 4.2 m है और ऊंचाई 4.5 m है|
(ii) इस टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात (steel) लगा होगा, यदि कुल इस्पात का 1/12 भाग बनाने में नष्ट हो गया है?

हल: बेलनाकार टैंक की ऊँचाई, h = 4.5m
वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या r = (4.2/2)m = 2.1m
(i) बेलनाकार टैंक का पार्श्व या घुमावदार सतह क्षेत्र 2πrh
= 2×(22/7)×2.1×4.5 m²
= (44×0.3×4.5) m²
= 59.4 m²
(ii) टैंक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r+h)
= 2×(22/7)×2.1×(2.1+4.5)
= 44×0.3×6.6
= 87.12 m²
बता दें कि टैंक बनाने में वास्तव में एक m² स्टील शीट का उपयोग किया जाता है।
S(1 – 1/12) = 87.12 m²
A = 12⁄11 × 87.12m²
इसका तात्पर्य है, S = 95.04 m²

10. आकृति 13.12 में, आप एक लैंपशेड का फ्रेम देख रहे हैं| इसे एक सजावटी कपड़े से ढका जाना है। इस फ्रेम के आधार का व्यास 20 cm है और ऊंचाई 30 cm है| प्रेम के ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए दोनों ओर 2.5 cm अतिरिक्त कपड़ा भी छोड़ा जाना है| ज्ञात कीजिए कि लैंपशेड को ढकने के लिए कुल कितने कपड़े की आवश्यकता होगी।

हल: मान लीजिए h = लैम्पशेड के फ्रेम की ऊँचाई, 
बेलनाकार आकृति r = त्रिज्या
कुल ऊँचाई h = (2.5+30+2.5) cm = 35cm
r = (20/2) cm = 10cm
कपड़े का क्षेत्रफल = 2πrh
= (2×(22/7)×10×35) cm²
= 2200 cm²

11. किसी विद्यालय के विद्यार्थियों से एक आधार वाले बेलनाकार कलमदानों को गत्ते से बनाने और सजाने की प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया| प्रत्येक कलमदान को 3 cm त्रिज्या और 10.5 cm ऊंचाई का होना था| विद्यालय को इसके लिए प्रतिभागियों को गत्ता देना था| यदि इसमें 35 प्रतिभागी थे, तो विद्यालय को कितना गत्ता खरीदना पड़ा होगा?

हल: बेलनाकार पेनहोल्डर के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या, r = 3cm
पेनहोल्डर की ऊंचाई, h = 10.5cm
पेनहोल्डर का सतही क्षेत्रफल = पेन होल्डर का CSA + पेनहोल्डर के बेस का
क्षेत्रफल = 2πrh+πr²
= 2 × (22/7) × 3 ×10.5 + (22/7) × 3² 
= 1584/7
इसलिए, एक प्रतियोगी द्वारा उपयोग की जाने वाली कार्डबोर्ड शीट का क्षेत्रफल 1584/7 cm² है
इसलिए, 35 प्रतियोगियों द्वारा उपयोग की जाने वाली कार्डबोर्ड शीट का क्षेत्रफल = 35×1584/7 = 7920 cm²
इसलिए प्रतियोगिता के लिए 7920 cm² कार्डबोर्ड शीट की आवश्यकता होगी।