NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes) प्रश्नावली – 13.1

प्रश्न 1. 1.5m लंबा, 1.25m चौड़ा और 65cm गहरा प्लास्टिक का एक डिब्बा बनाया जाना है। इसे ऊपर से खुला रखना है।
प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानते हुए, निर्धारित कीजिए:
(i) डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल
(ii) इस शीट का मूल्य, यदि 1m² शीट का मूल्य ₹20 है।

हल: (i) यहाँ, लंबाई (L) = 1.5 m, चौड़ाई (B) = 1 .25 m
और ऊँचाई (H) = 65 cm =  65 100  m = 0.65 m यह ऊपर से खुला है।
∴ इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल = [पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल] + [आधार क्षेत्र] = [2(l  + b ) h] + [lb]
= [2(1.50 + 1.25)0.65] m² + [1.50 x 1.25] m²
= [2 x 2.75 x 0.65] m² + [1.875] m²
= 3.575 m² + 1.875 m²
= 5.45 m²
बॉक्स बनाने के लिए आवश्यक शीट का क्षेत्रफल = 5.45 m²

(ii) 1 m²  शीट की लागत = रु. 20
5.45 m²  शीट का मूल्य = रु. (20 x 5.45)
= रु. 109
अत: अभीष्ट शीट का मूल्य = रु. 109

प्रश्न 2. एक कमरे की लंव्यय चौबाई, ड़ाई और ई ऊंचामक्रशः 5 m, और 3 m है। ₹7.50 प्रति m² की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का ज्ञात कीजिए।

हल: कमरे की लंबाई (L) = 5 m
कमरे की चौड़ाई (B) = 4 m
कमरे की ऊंचाई (H) = 3 m
सफेदी के लिए क्षेत्र = [पार्श्व सतह क्षेत्र] + [छत का क्षेत्रफल] = [2(l + b)h] + [l x b]
= [2(5 + 4) x 3] m² + [5 x 4 ] m² 
= 54 m² + 20 m² 
= 74 m²
1m² क्षेत्र के लिए सफेदी की लागत = रु. 7.50
74 m² क्षेत्र के लिए सफेदी की लागत  = रु. (7.50 x 74) = रु. 555
इस प्रकार, सफेदी की अभीष्ट लागत = रु. 555

प्रश्न 3. किसी आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 m है। यदि ₹10 प्रति m² की दर से चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत ₹ 15000 है, तो इस हॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [संकेत : चारों डिब्बों का क्षेत्रफल = पाशर्व पृष्ठीय क्षेत्रफल]

हल: माना हॉल की ऊँचाई h मीटर है।
दिया है, हॉल का परिमाप = 250 m
हॉल की चारों दीवारों का क्षेत्रफल = हॉल का परिमाप x ऊँचाई 
= 250 x h = 250h m²
हॉल की दीवारों पर पेंट कराने का व्यय = हॉल की दीवारों का क्षेत्रफल x पेंट कराने की मूल्य-दर
= 250 h x 10 = 2,500 h
प्रश्नानुसार, पेंट कराने का व्यय = 15,000
2,500 h = 15,000
h = 15000/2500
h = 6 m
अत: हॉल की ऊँचाई = 6 m

प्रश्न 4. किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट 9.375m² के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस डिब्बे के पेंट से 22.5cm × 10cm × 7.5cm विमाओं वाली कितनी ईट पेंट की जा सकती हैं?

हल: पेंट किया जा सकने वाला कुल क्षेत्रफल = 9.375 m²
यहां, एक ईंट की लंबाई (L) = 22.5 cm
एक ईंट की चौड़ाई (B) = 10 cm
एक ईंट की ऊंचाई (H) = 7.5 cm
एक ईंट का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2[lb + bh + hl]
= 2[(225 x 1(0) + (10 x 7.5) + (7.5 x 22.5)] cm²
= 2[(225) + (75) + (168.75)] cm²
= 2[468.75] cm²
= 937.5 cm²
माना कि ईंटों की अभीष्ट संख्या n है।
कुल ईंटों का क्षेत्रफल = 937.5 n cm²
परन्तु प्रश्न में दिया गया है कि पेंट 9.375m² क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है।
937.5 n cm² = 9.375 m²
937.5 n cm² = 9.375 x 10,000 cm² (1 m² = 10,000 cm²)
937.5 n = 93,750
n = 93750/937.5
= 100
अतः ईंटों की अभीष्ट संख्या = 100

प्रश्न 5. एक घनाकार डिब्बे का एक किनारा 10 cm लंबाई का है तथा एक अन्य घनभाकार डिब्बे की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 12.5 cm, 10 cm और 8 cm है।
(i) किस डिब्बे का पाशर्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है?
(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और किता कम है?

हल: किनारे वाले क्यूबिकल बॉक्स के लिए (L) = 10 cm
पाशर्व सतह क्षेत्र = 4a² = 4 x 10² cm²
= 400 cm²
कुल सतह क्षेत्र = 6a² = 6 x 10² cm²
= 600cm²
लंबाई (L) = 12.5 cm
चौड़ाई (B) = 10 cm
ऊंचाई (H) = 8 cm
पार्श्व सतह क्षेत्र = [2(l + b)h] 
= 2 [12.5 + 10] x 8 cm² 
= 360 cm²
कुल सतह क्षेत्र = 2 [lb+ bh + hl]
= 2 [(12.5 x 10) + (10 x 8) + (8 x 12.5)] cm²
= 2 [125 + 80 + 100] cm²
= 2 [305] cm²
= 610 cm²
(i) एक क्यूबिकल बॉक्स में पार्श्व सतह का क्षेत्रफल (400 – 360) cm² = 40 cm²
(ii) एक घनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल घनाभाकार डिब्बे से (610 – 600) cm² = 10 cm² कम है।

प्रश्न 6. एक छोटा पौधा घर (green house) संपूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों से (आधार भी सम्मिलित है) घर के अंदर ही बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है| यह पौधा घर 30 cm लंबा, 25 cm चौड़ा और 25 cm ऊंचा है।
(i) इससे प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल क्या है?
(ii) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता होगी?

हल: लंबाई (L) = 30 cm
चौड़ाई (B) = 25 cm
ऊंचाई (H) = 25 cm
(i) हर्बेरियम (कांच) का सतह क्षेत्र = 2 [lb+ bh + hl]
= 2 [(30 x 25) + (25 x 25) + (25 x 30)] cm²
= 2 [750 + 625 + 750] cm²
= 2 [2125] cm²
= 4250 cm²
इस प्रकार, कांच का अभीष्ट क्षेत्रफल = 4250 cm²
(ii) 12 किनारों की कुल लंबाई = 4(l + b + h)
= 4(30 + 25 + 25) cm
= 4 x 80 cm
= 320 cm
इस प्रकार, टेप की अभीष्ट लंबाई = 320 cm

प्रश्न 7. शांति स्वीट स्टॉल अपनी मिठाइयों को पैक करने के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का ऑर्डर दे रहा था। दो मापों के डिब्बों की आवश्यकता थी। बड़े डिब्बे की माप 25cm × 20cm × 5cm और छोटे डिब्बों की माप 15cm × 12cm × 5cm थी। सभी प्रकार की अतिव्यापिक्ता (overlaps) के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 5% के बराबर अतिरिक्त गत्ता लगेगा। यदि गत्ते की लागत ₹4 प्रति 1000cm² है, तो प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कितनी लागत आएगी?

हल: लंबाई (L) = 25 cm
चौड़ाई (B) = 20 cm
ऊंचाई (H) = 5 cm
बॉक्स का कुल सतह क्षेत्र = 2 [lb+ bh + hl]
= 2 [(25 x 20) + (20 x 5) + (5 x t25)] cm²
= 2 [500 + 100 + 125] cm²
= 2 [725] cm ²
= 1450 cm²
250 बक्सों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 250 x 1450 cm²  
= 362500 cm² 
छोटे बॉक्स के लिए: l = 15 cm, b = 12 cm, h = 5 cm
एक बॉक्स का कुल सतह क्षेत्र = 2 [lb + bh + hl]
= 2 [(15 x 12) + (12 x 5) + (5 x 15)] cm²
= 2 [180 + 60 + 75] cm² 
= 2 [315] cm² 
= 630 cm²
250 बक्से का कुल सतह क्षेत्र = (250 x 630) cm²
= 157500 cm²
अब, कुल दोनों प्रकार के बक्सों का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 362500 cm² + 157500 cm² 
= 520000 cm²  
अतिव्यापन का क्षेत्रफल = [कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल] का 5%
=  5/00 x 520000 cm² 
= 26000 cm²
आवश्यक कार्डबोर्ड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = [प्रत्येक प्रकार के 250 बक्सों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल] + [अतिव्यापी क्षेत्रफल]
= 520000 cm² + 26000 cm²
= 546000 cm²
1000 cm² कार्डबोर्ड की लागत = रु. 4
546000 cm² कार्डबोर्ड का मूल्य
= रु. 4 × 546000/1000
= रु. 2184

प्रश्न 8. परवीन अपनी कार खड़ी करने के लिए, एक संदूक के प्रकार के ढांचे जैसा एक अस्थाई स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहती है, जो कार को चारों ओर से और ऊपर से ढक ले (सामने वाला फलक लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है) यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपड़ा नगण्य होगा, आधार विमाओं 4m × 3m और ऊंचाई 2.5m वाले इस ढांचे को बनाने के लिए कितने तिरपाल के आवश्यकता होगी?

हल: लंबाई (L) = 4 m
चौड़ाई (b) = 3m
और ऊँचाई (h) = 2.5 m
आधार को छोड़कर घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = [पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल] + [छत का क्षेत्रफल]
= [2(l + b)h] + [lb]
= [2(4 + 3) x 2.5] m² + [4 x 3] m²
= 35 m² + 12 m²
= 47 m²
इस प्रकार, 47 m² तिरपाल की आवश्यकता होगी।