NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 12 हीरोन सूत्र (Heron’s formula) प्रश्नावली -12.2

1. एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है, जिसमे ∠C = 90^∘, AB = 9m, BC =12m, CD = 5m और AD = 8m है। इस पार्क का कितना क्षेत्रफल है?

हल: दिया है: चतुर्भुज ABCD, जिसमें ∠C = 90º, AB = 9m, BC = 12m, CD = 5m तथा AD = 8m हैं।
विकर्ण BD, चतुर्भुज ABCD को दो त्रिभुजों ∆ BCD तथा ∆ ABD में विभाजित करता है

समकोण Δ BCD में,
BD² = BC² + CD²

[पाइथागोरस प्रमेय से]

BD² = 12² + 5²
BD² = 144 + 25
BD² = 169
BD = √169
BD = 13m

समकोण Δ BCD का क्षेत्रफल = 1/2 आधार × ऊंचाई
= ½ × BC × CD
= ½ × 5 × 12
समकोण Δ BCD का क्षेत्रफल = 30 m²……..(1)

∆ ABD में,
माना a = 9m , b = 8,m c = 13 m

त्रिभुज का अर्द्ध परिमाप, s = (a + b + c)/2
s = (9 + 8 + 13)/2
s = 30/2
s = 15m

हीरोन के सूत्र से, त्रिभुज का क्षेत्रफल , A = √[s (s – a) (s – b) (s – c)]
A = √15(15 – 9) (15 – 9) (15 – 13)
A = √15 × 6 × 7× 2
A = √(5×3) × (3×2) × (7×2)
A = √(3 × 3) × (2 × 2) × 7× 5
A = 3 × 2√35
A = 6√35
A = 6 × 5.9
[√6 = 5.9..]

A = 35.5 m² (लगभग) …………..(2)

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = समकोण Δ BCD का क्षेत्रफल + Δ ABD का क्षेत्रफल
= 30 + 35.5
[समी (1) तथा (2) से]
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 65.5 m²

अतः , पार्क (चतुर्भुज ABCD) का क्षेत्रफल 65.5m² है।

2. एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें AB = 3cm, BC = 4cm, CD = 4cm, DA = 5cm और AC = 5cm है।

हल: Δ ABC में,
AC² = AB² + BC²

[पाइथागोरस प्रमेय से]

5² = 3² + 4²
25 = 25

अतः Δ ABC समकोण त्रिभुज,जिसमें ∠B = 90º है।

Δ ABC का क्षेत्रफल = 1/2 आधार × ऊंचाई
= ½ × AB × BC
= ½ × 3 × 4
= 6 cm²
समकोण ΔABC का क्षेत्रफल = 6 cm² ……..(1)

Δ ACD में,

दिया है: AC (a) = 5cm, CD (b) = 4cm, DA (c) = 5cm
त्रिभुज का अर्द्ध परिमाप, s = (a + b + c)/2
s = (5 + 5 + 4)/2
s = 14/2
s = 7 cm

हीरोन के सूत्र से, Δ ACD का क्षेत्रफल, A = √[s (s – a) (s – b) (s – c)]
A = √7(7 – 5) (7 – 5) (7 – 4)
A = √7 × 2 × 2 × 3
A = 2√21 cm²
[√21 = 4.6]
A = 2 × 4.6
A = 9.2 cm² (लगभग) ……………….(2)

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = समकोण Δ ABC का क्षेत्रफल + Δ ACD का क्षेत्रफल
= 6 + 9.2
[समी (1) तथा (2) से]
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 15.2 cm²

अतः , चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 15.2 cm² है।

3. राधा ने एक रंगीन कागज से एक हवाईजहाज का चित्र बनाया, जैसा की आकृति 12.15 में दिखाया गया है। प्रयोग किये गए कागज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

हल: भाग I के लिए (त्रिभुज)
माना समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएं a = 5cm , b = 5cm c = 1 cm

त्रिभुज का अर्द्ध परिमाप, s = (a + b + c)/2
s = (5 + 5 + 1)/2
s = 11/2 cm
s = 5.5 cm

हीरोन के सूत्र से, त्रिभुज का क्षेत्रफल, A = √[s (s – a) (s – b) (s – c)]
A = √5.5(5.5 – 5) (5.5 – 5) (5.5 – 1)
A = √5.5 × 0.5 × 0.5 × 4.5
A = √5.5 × 0.5 × 0.5 × 4.5
A = 0.75√11
A = 0.75 × 3.32

त्रिभुज का क्षेत्रफल, A (भाग I) = 2.49 cm² (लगभग)

भाग II (आयात)
आयात की भुजाएं l = 6.5cm तथा b = 1 cm
आयात का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = l × b
आयात का क्षेत्रफल = 6.5 × 1
आयात का क्षेत्रफल (भाग II) = 6.5 cm²

भाग III (समद्विबाहु समलंब)
∆ AMD में,
AD = 1cm (दिया है)
AM + NB = AB – MN = 2 – 1 = 1 cm
AM + NB = 1 cm
∴ AM = 0.5cm
अब ,AD² = AM² + MD²

[पाइथागोरस प्रमेय से ]

MD² = 1² – 0.5²
MD² = 1- 0.25 = 0.75
MD = √0.75 = √75/100
MD = √3/4 cm

अब, समद्विबाहु समलंब का क्षेत्रफल = ½ (समांतर भुजाओं का योग) × ऊंचाई
= ½ × (AB + DC) × MD
= ½ × (2 + 1) × √3/4
= ½(3) ×√(3/4)
= ½ × 3 × √3 × 2
= (3/4)√3
= (3/4) × 1.73
[√3 = 1.73….]
= 1.30 cm² (लगभग)

अतः, समद्विबाहु समलंब का क्षेत्रफल (भाग III) = 1.30 cm²

भाग IV तथा V समकोण त्रिभुज है, जिसमें भुजाएं 6 cm तथा 1.5 cm है।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = 2 × (½ × 6 × 1.5)

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल (भाग IV तथा V ) = 9 cm²

प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल = भागों (I + II + III + IV & V) का क्षेत्रफल
= (2.49 + 6.5 + 1.30 + 9)
= 19.3 cm² (लगभग)

अतः, प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल 19.3 cm² (लगभग)

4. एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26cm, 28cm और 30 cm है। तथा समांतर चतुर्भुज 28 cm के आधार पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल: माना भुजाओं AB (a) = 26 cm, BC (b) = 28 cm, CA (c) = 30 cm के साथ ABC एक त्रिभुज है।
त्रिभुज का अर्द्ध परिमाप, s = (a + b + c)/2
s = (26 + 28 + 30)/2
s = 84/2
s = 42 cm

हीरोन के सूत्र से, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल , A = √[s (s – a) (s – b) (s – c)]

A = √42(42 – 26) (46 – 28) (46 – 30)
A = √42 × 16 × 14 × 12
A =√7 × 6 × 16 × 2 × 7 × 6 × 2
A = √(7×7) × (6 × 6) ×(16)× (2 × 2)
A = 7× 6 × 4 × 2
A = 336 cm²

माना समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई h है। आधार = 28 cm (दिया है)
हम जानते हैं कि,
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊंचाई
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल (दिया है)
28 × h = 336
h = 336/28
h = 12 cm

अतः , समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई 12cm है।

5. एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है| यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 मीटर है और बड़ा विकर्ण 48 मीटर है,तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा?

हल: माना ABCD एक समचतुर्भुज है।
समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 2 × ∆ ABC का क्षेत्रफल
[विकर्ण AC समचतुर्भुज को दो बराबर क्षेत्रफल के त्रिभुजों में विभाजित करता है।]
त्रिभुज Δ ABC का अर्द्ध परिमाप, s = (a + b + c)/2
s = (30 + 30 + 48)/2m
s = 54m

हीरोन के सूत्र से, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल, A = √[s (s – a) (s – b) (s – c)]

A = √54(54 – 30) (54 – 30) (54 – 48)
A = √54 × 24 × 24 × 6
A = √9 × 6 × 24 × 24 × 6
A = √9 × (6 × 6) × (24 × 24
A = 3 × 6 × 24
A = 18 × 24

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल, A = 432 m²

घास के खेत (समचतुर्भुज ABCD) का क्षेत्रफल = 2 × ∆ ABC का क्षेत्रफल
= (2 × 432)

घास के खेत (समचतुर्भुज ABCD) का क्षेत्रफल = 864 m²
दिया है: गायों की संख्या = 18
प्रत्येक गाय के लिए घास के खेत का क्षेत्रफल = 864/18 = 48m²

अतः , प्रत्येक गाय के लिए घास के खेत का क्षेत्रफल 48m² है।

6. दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सीकर एक एक छाता बनाया गया है (देखिये आकृति 12.16)  प्रत्येक टुकड़े के माप 20 cm, 50 cm और 50 cm है। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है।

हल: एक छाते में भुजाओं 50cm, 50cm, 20cm के साथ प्रत्येक त्रिभुजाकार टुकड़ा एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

माना, a = 20cm , b = 50cm , c = 50cm
त्रिभुज का अर्द्ध परिमाप, s = (a + b + c)/2
s = (20 + 50 + 50) / 2
s = 120 / 2
s = 60cm

हीरोन के सूत्र से, प्रत्येक त्रिभुजाकार टुकड़े का क्षेत्रफल, A = √s (s – a)(s – b)(s – c)

A = √60 (60 – 20) (60 – 50) (60 – 50)
A = √60 (40) (10) (10)
A = √6 × 4 × (10 × 10) × (10 × 10)
A = 2 × 10 × 10 √6
A = 200√6cm²

चूंकि यहां 10 त्रिभुजाकार टुकड़े हैं, इनमें से 5 – 5 विभिन्न रंगों के हैं।
छाते में प्रत्येक रंग के कपड़े का कुल क्षेत्रफल = 5 × 200√6 = 1000√6 cm²

अतः ,छाते में प्रत्येक रंग के कपड़े का कुल क्षेत्रफल 1000√6 cm² हैं।

7. एक पतंग तीन  भिन्न – भिन्न शेडों (Shades) के कागजों से बनी है। इन्हे आकृति 12.17 में I,II और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32cm विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 cm, 6 cm और 8 cm भुजाओं का एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज प्रयुक्त किया है।

हल: चूंकि पतंग एक वर्ग के आकार में है।
वर्ग के प्रत्येक विकर्ण की लंबाई (AD & BC) = 32cm (दिया है)

हम जानते हैं कि एक वर्ग के विकर्ण परस्पर एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
OA = OD = ½ AD = ½ × 32 = 16cm

भाग 1 का क्षेत्रफल

त्रिभुज ∆ ABC का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई
= ½ × BC × AO
= ½ × 32 × 16
= 16 × 16
= 256 cm²

भाग I त्रिभुज ∆ ABC का क्षेत्रफल = 256 cm²
इसी प्रकार, भाग II त्रिभुज ∆ BDC का क्षेत्रफल = 256cm²

भाग III

∆ DEF में,
माना, DE (a) = 6 cm, DE(b) = 6 cm & EF (c) = 8 cm

त्रिभुज ∆ DEF का अर्द्ध परिमाप, s = (a + b + c)/2
s = (6 + 6 + 8)/2 cm = 20/2
s = 10cm

हीरोन के सूत्र से, त्रिभुज ∆DEF का क्षेत्रफल , A = √[s (s – a) (s – b) (s – c)]

A = √[10(10 – 6) (10 – 6) (10 – 8)]
A = √[10 × 4 × 4 × 2]
A = √[2 × 5 × 4 × 4 × 2]
A = √[(2 × 2) × (4 × 4) × 5]
A = 2 × 4√5
A = 8√5
A = 8 × 2.24
[√5= 2.24…]
A = 17.92 cm²

भाग III, त्रिभुज ∆ DEF का क्षेत्रफल,A = 17.92 cm²

अतः , शेड I का कागज प्रयुक्त किया गया है = 256 cm²
शेड II का कागज प्रयुक्त किया गया है = 256 cm²
शेड III का कागज प्रयुक्त किया गया है = 17.92 cm²

8. फर्श पर एक फूलों का डिजाइन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया है, जिनमे से प्रत्येक की भुजाएँ 9cm, 28cm और 35cm है (देखिये आकृति 12.18)। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति cm² की दर से पालिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल: दिया है: त्रिभुजाकार टाइलों की भुजाएं 9cm, 28cm तथा 35cm है।

प्रत्येक त्रिभुजाकार टाइल का अर्द्ध परिमाप, s = (a + b + c)/2
s = (28 + 9 + 35)/2
s = 36cm

हीरोन के सूत्र से, प्रत्येक त्रिभुजाकार टाइल का क्षेत्रफल , A = √[s (s – a) (s – b) (s – c)]

A = √[36(36 – 28) (36 – 9) (36 – 35)]
A = √[36 × 8 × 27 × 1]
A = 36√6
A = 36 × 2.45
[√6 = 2.45]
A = 88.20 cm²

प्रत्येक त्रिभुजाकार टाइल का क्षेत्रफल, A = 88.2 cm²
16 त्रिभुजाकार टाइलों का क्षेत्रफल = 16 × 88.2 = 1411.20 cm²

टाइलों का 50 पैसे प्रति cm² की दर से पॉलिश कराने का कुल व्यय = 50/100 × 1411.2 = ₹ 705.6

अतः , टाइलों का 50 पैसे प्रति cm² की दर से पॉलिश कराने का कुल व्यय = ₹ 705.6

9. एक खेत समलंब के आकार का है जिसकी समांतर भुजाएँ 25m और 10m हैं। इसकी असमांतर भुजाएं 14m और 13m है। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: यहां, ABCD एक समलंब है तथा AB || DC
C से होकर CM ⊥ AB and CE || AD.

दिया है: AB = 25m, CD = 10m, AD = 13 भी तथा BC = 14m
BE = AB – AE = 25 – 10 = 15m

Δ BCE में,
माना, BC(a) = 14m , CE (b) = 13m तथा BE (c) = 15m

त्रिभुज Δ BCE का अर्द्ध परिमाप, s = (a + b + c)/2
s = (15 + 13 + 14)/2
s = 21m

हीरोन के सूत्र से, त्रिभुज Δ BCE का क्षेत्रफल, A = √[s (s – a) (s – b) (s – c)]
A = √21(21 – 14) (21 – 13) (21 – 15)
A = √21 × 7 × 8 × 6
A = 84 m²

त्रिभुज Δ BCE का क्षेत्रफल = 84m²

त्रिभुज Δ BCE का क्षेत्रफल = 1/2 × BE × CM
84 m² = 1/2 × 15 × CM
84 × 2 = 15CM
⇒ CM = 168/15
⇒ CM = 56/5
CM = 11.2m

समलंब ABCD का क्षेत्रफल = ½(समांतर भुजाओं का योग) × (समांतर भुजाओं के बीच की दूरी)

= ½ (AB + CD) × CM
= ½ × (25 + 10) × 11.2
= ½ × 35 × 11.2
= 35 × 5.6
= 196 m²
समलंब ABCD का क्षेत्रफल = 196 m²

अतः, समलंब ABCD का क्षेत्रफल 196 m² है।