NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 10 हीरोन का सूत्र (Heron’s formula) प्रश्नावली – 10.1

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 10 हीरोन का सूत्र (Heron’s formula)

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 10 हीरोन का सूत्र (Heron’s formula) प्रश्नावली – 10.1 जिसमें  हम हीरोन सूत्र, हीरोन के सूत्र से आप क्या समझते हैं, गणित में हीरोइन का सूत्र क्या है, गणित में हीरे का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र क्या है, त्रिभुज के क्षेत्रफल से संबंधित हीरोन के सूत्र में s क्या है, बहुलक का सूत्र क्या होता है, हीरा मापने की इकाई क्या है, हीरे का घनत्व कितना होता है, छेत्रफल का फार्मूला क्या है, बारंबारता बंटन क्या है, माध्य माध्यिका और बहुलक क्या है, माध्यिका कैसे ज्ञात किया जाता है, बहुलक के उद्देश्य क्या है, 6 संख्याओं का माध्यिका क्या है, आदि इसके बारे में हम विस्तार से पढ़ेंगे।

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 10 हीरोन का सूत्र (Heron’s formula)

Chapter – 10

हीरोन का सूत्र

प्रश्नावली – 10.1

1. एक यातायात संकेत बोर्ड पर’ आगे स्कूल है’ लिखा है और यह भुजा ‘a’ वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकर का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 cm है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?

हल: प्रश्न में त्रिभुज की भुजाएँ a, a, a दी गई है, इससे हम त्रिभुज का परिमाप निकाल सकते है:
परिमाप = a + a + a = 3a
3a =180cm a = 60cm इससे हमे त्रिभुज का
अर्धपरिमाप मिलेगा जो कि 3a/2 है अब हीरोन के सूत्र से, त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर

सकते है: → √s(s – a) (s – b) (s – c)
√13a/2 [3a/2 – a] [3a – a] [3a – a] s = अर्धपरिमाप = 3a/2 = 
√3a/2 (a/2) (a/2) (a/2) = √3a²/4 = √3(60)²/4 cm² = 900 √3cm²

2. किसी फ्लाई ओवर (flyover) की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रोयग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लंबाइयाँ 122 m, 22 m और 120 m है। इस विज्ञापन से प्रति वर्ष ₹5000 प्रति m² की प्राप्ति होती है। एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराए पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया?

हल: त्रिभुज की भुजाएँ (i.e., a, b, c) क्रमशः 122 मीटर, 22 मीटर और 120 मीटर हैं।
त्रिभुज का परिमाप = (122 + 22 + 120) m
2s = 264 m
s = 132 m
हीरोन के सूत्र से,

त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s (s – a) (s – b) (s – c)
दिए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल = [√132(132 – 122) (132 – 22) (132 – 120] m²
= [√132 (10) (110) (12)] m² = 132m²

प्रति वर्ष 1 वर्ग मीटर क्षेत्र का किराया = रु. 5000
प्रति माह 1 m2 क्षेत्र का किराया = रु. 5000/12
1320 वर्गमीटर क्षेत्र का 3 महीने के लिए किराया

= Rs (500/12 × 3 × 1320)

= Rs (5000 × 330)
= Rs 1650000
इसलिए, कंपनी को रुपये का भुगतान करना पड़ा। 1650000

3. किसी पार्क में एक फिसल पट्टी (Slide) बनी हुई है। इसकी पार्श्वीय दीवारों (side walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है उस पर ”पार्क को हरा -भरा और साफ़ रखिए” लिखा हुआ है। यदि इस दीवार की विमाएँ 15 m, 11m और 6 m है, तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: यह देखा जा सकता है कि रंग में रंगा जाने वाला क्षेत्र एक त्रिभुज है, जिसकी भुजाएँ 11m, 6m और 15m हैं।
ऐसे त्रिभुज का परिमाप = (11 + 6 + 15) m
2 s = 32 m
s = 16 m
हीरोन के सूत्र से,

त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s (s – a) (s – b) (s -c)
= [√16 (16 – 11) (16 – 6) (16 – 15)] m²
= (√16 × 5 × 10 × 1) m²
= 20√2m²

इसलिए, रंग में रंगा हुआ क्षेत्र है 20√2m²

4. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 cm और 10 cm तथा उसका परिमाप 42 cm है।

हल:  दिया है: त्रिभुज का परिमाप = 42 cm
माना एक त्रिभुज की दो भुजाएं, a = 18 cm, b = 10 cm तथा c cm है।
त्रिभुज का परिमाप = a + b + c
42 = 18 + 10 + c
42 = 28 + c
c = 42 – 28
c = 14 cm

तीसरी भुजा , c = 14 cm
त्रिभुज का अर्द्ध परिमाप,s = त्रिभुज का परिमाप/2
s = 42/2
s = 21 cm

हीरोन के सूत्र से, त्रिभुज का क्षेत्रफल , A = √[s (s – a) (s – b) (s – c)]
A = √21(21 – 18) (21 – 10) (21 – 14)
A = √21 × 3 × 11 × 7
A = √(21 × 21) × 11
A = 21√11
A = 21√11 cm²
अतः, त्रिभुज का क्षेत्रफल = 21√11 cm² है।
आशा है कि यह उत्तर आपकी मदद करेगा।

5. एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12:17:25 है और उसका परिमाप 450 cm है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

हल: ∴ मान लीजिए सेमी में त्रिभुज की भुजाएँ 12?, 17? और 25? हैं।
त्रिभुज का परिमाप = 540 cm [दिया है]
⇒ 12? + 17? + 25? = 540 cm
⇒ 54? = 540 cm
⇒ ? = 10 cm
अब त्रिभुज की भुजाएँ हैं:
12? = 12 X 10 = 120 cm
17? = 17 X 10 = 170 cm
और 25? = 25 X 10 = 250 cm
त्रिभुज का अर्ध – परिमाप; S = परिमाप/2
= 270 cm
हीरोन के सूत्र के प्रयोग से;
त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 2 X 3 X 5 X 10 X 30 cm²
= 9000 cm²
अतः, त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल 9000 cm² है।

6. एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 cm है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 cm लंबाई की है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

हल : समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = 30 cm
⇒ 12 cm + 12 cm + तीसरी भुजा = 30 cm
[∵ समद्विबाहु त्रिभुज में दो भुजाएँ बराबर होती हैं और यहां प्रत्येक बराबर भुजा 12 cm है।]
⇒ तीसरी भुजा = (30 – 12 – 12) cm
⇒ तीसरी भुजा = 6 cm
अब समद्विबाहु त्रिभुज का अर्धपरिमाप
S = परिमाप/2
⇒ S = 15 cm
हीरोन के सूत्र के प्रयोग से; त्रिभुज का क्षेत्रफल
अतः, समद्विबाहु त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल
= 9 √I5 cm

• Examples

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