NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 1 संख्या पद्धति (Number Systems) प्रश्नावली – 1.3

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 1 संख्या पद्धति (Number Systems)

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 1 संख्या पद्धति (Number Systems) हम इस अध्याय संख्या पद्धति के महत्वपूर्ण विषय के बारे में पढ़ेंगें जैसे की संख्या रेखा, पूर्ण संख्या, पूर्णांकों, परिमेय संख्या (Rational number), अपरिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याओं, वर्गमूल सर्पिल की रचना, सांत, अनवासनी आवर्ती, अनवासनी अनावर्ती आदि के बारे में पढेंगे और जानेने के साथ-साथ NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 1 संख्या पद्धति प्रश्नावली – 1.3 in Hindi के सभी प्रश्न-उत्तर को हल करेंगे। Class 9th Maths Chapter – 1 संख्या पद्धति प्रश्नावली – 1.3

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 1 संख्या पद्धति (Number Systems)

Chapter – 1

संख्या पद्धति

प्रश्नावली – 1.3

प्रश्न 1. निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है।

(i) 36/100

हल: 36/100 = 0.36 सांत दशमलव प्रसार है।

(ii) 1/11

हल: 1/11= 0.090909 का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती  है।

(iii) 4 × 1/8

हल: 33 को 8 से भाग देने पर, हमें 4×1/8  = 4.125 प्राप्त होता है। इस प्रकार, 4×1/8 का दशमलव प्रसार सांत है।

(iv) 3/13

हल: 3/13 = 0. 230769 इस प्रकार, 3/13 का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती  है।

(v) 2/11

हल: 2/11 = 0.1818… इस प्रकार, 2/11 का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती  है।

(vi) 329/400

हल: 329/400 = 0.8225 प्राप्त होगा। इस प्रकार, 329/400 का दशमलव प्रसार सांत है।

प्रश्न 2. आप जानते है कि 1/7 = 0.142857‾¯ है। वास्तव में, लंबा भाग दिए बिना क्या आप यह बता सकते हैं  कि 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 के दशमलव प्रसार क्या है? यदि हाँ, तो कैसे? [ संकेत: 1/7 का मान ज्ञात करते समय शेषफलो का अध्ययन सावधानी से कीजिए।

हल: हां, हम लंबा भाग दिए बिना दशमलव प्रसार बता सकते हैं ।
1/7= 0.142857 (142857 के ऊपर बार)
2/7 = 2 × 1/7 = 0.285714 (142857 के ऊपर बार)
3/7 = 3× 1/7 = 0.428571 (428571 के ऊपर बार)
4/7 = 4× 1/7= 0.571428 (571428 के ऊपर बार)
5/7 = 5× 1/7= 0. 714285 (714285 के ऊपर बार)
6/7 = 6× 1/7 = 0. 857142 (857142 के ऊपर बार)

प्रश्न 3. निम्नलिखित को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 हैं।

(i) 0.6¯

हल: मान लीजिए x = 0.6
x = 0.6666 …… (1)
दोनों तरफ 10 से गुणा करेंगे।
10 × x = 10 × 0.6666……
10x = 6.6666… …… (2) 
अब (2) से (1) को घटाने पर
10x = 6.6666……− x = 0.6666……
⇒ 9x = 6
⇒ x = 6/9
= 2/3
इस प्रकार, 0.6¯ = 2/3

(ii) 0.47¯

हल: मान लीजिए x = 0.47¯
x = 0.4777……….. (1)
दोनों तरफ 10 से गुणा करेंगे।
10 × x = 10 × 0.4777……….
10x = 4.777 …..… (2)
अब (2) से (1) को घटाने पर
10x = 4.777 …..… − x = 0.4777………..
⇒ 9x = 4.3
⇒ x = 43/90
इस प्रकार, 0.47¯ = 43/90

(iii) 0.001¯

हल: मान लीजिए x = 0. 001¯¯¯
x = 0. 001001001……….. (1)
दोनों तरफ 1000 से गुणा करेंगे।
1000 × x = 1000 × 0. 001001001………..
1000x = 1.00101 … (2)
अब (2) से (1) को घटाने पर
1000x = 1.00101 … − x = 0. 001001001………..
⇒ 999x = 1
⇒ x = 1/999
इस प्रकार, 0. 001¯¯¯ = 1/999

प्रश्न 4. 0.99999… को p / q के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्यचकित है ? अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिए।

हल: मान लीजिए x = 0.99999…….
x = 0.99999…….(1)
दोनों तरफ 10 से गुणा करेंगे।
10 × x = 10 × 0.99999…….
10x = 9.9999…… (2)
अब (2) से (1) को घटाने पर
10x = 9.9999…… − x = 0.99999…….
⇒ 9x = 9
⇒ x = 9/9
⇒ x = 1
इस प्रकार, 0.99999……. = 1

प्रश्न 5. 1/17 के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है? अपने उत्तर की जाँच करने के लिए विभाजन -क्रिया कीजिए।

हल: 1/17  = 0.0588235294117647………
1/17 के दशमलव प्रसार में दोहराए जाने वाले संख्या में 16 अंक हो सकती है।

प्रश्न 6. p/q (q ≠ 0) के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक है, जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है और जिसका सांत दशमलव निरूपण (प्रसार) है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते है कि q को कौन – सा गुण अवश्य संतुष्ट करना चाहिए?

हल: 9/2, 7/4, 12/5, 17/10, 2/5 इत्यादि परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण है जहाँ p और q पूर्णांक हैं जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है अर्थात ये सह-अभाज्य संख्याएं हैं और इनका सांत दशमलव प्रसार है।
9/2 = 4.5
7/4 = 1.75
12/5 = 2.4
17/10 = 1.7
2/5 = 0.4
सांत दशमलव प्रसार के लिए q का अभाज्य गुणनखंड 2ⁿ या 5ⁿ या 2^m × 5ⁿ के रूप का होना चाहिए।

प्रश्न 7. ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हो।

हल: √2 = 1.414213562 ………..
√3 = 1.732050808 …….
√5 = 2.23606797 …….

प्रश्न 8. परिमेय संख्याओं 5/7 और 9/11 के बीच की तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल: 5/7 = 0.714285……..
9/11 = 0.81818181……..
अर्थात 0.714285……. और 0.81818181…..  के बीच तीन अपरिमेय संख्याएँ है।
(i) 0.72010010001……..
(ii) 0.751121231234……….
(iii) 0.80145672434890……….

प्रश्न 9. बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन संख्याएं अपरिमेय है:

(i) √23

हल: √23 एक अपरिमेय संख्या है।

(ii) √225

हल: √225 = 15
अत: √225  एक परिमेय संख्या है।

(iii) 0.3796

हल: 0.3796 एक परिमेय संख्या है।

(iv) 7.478478…..

हल: 7.478478… एक परिमेय संख्या है।

(v) 1.101001000100001………

हल: 1.101001001000001… एक अपरिमेय संख्या है।

Examples

• प्रश्नावली – 1.1
• प्रश्नावली – 1.2
  
• प्रश्नावली – 1.4
• प्रश्नावली – 1.5

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