NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 7 त्रिभुज (Triangles) प्रश्नावली 7.3

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 7 त्रिभुज (Triangles)

NCERT Solutions Class 9th Maths Chapter – 7 त्रिभुज (Triangles)

Chapter – 7

त्रिभुज

प्रश्नावली 7.3

प्रश्न 1. △ABC और △DBC एक ही आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D भुजा BC के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए आकृति)। यदि AD बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि

(i) △ ABD ≌ △ ACD
(ii) △ ABP ≌ △ ACP
(iii) AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है।
(iv) AP रेखाखंड BC का लंब समद्विभाजक है।

हल:

(i) ΔABD और ΔACD में,

AB = AC (दिया गया)

BD = CD (दिया गया)

AD = AD (सामान्य)

∴ ΔABD ≅ ΔACD   (द्वारा S.S.S सर्वांगसमता नियम)

⇒ ∠BAD = ∠CAD (By CPCT)

⇒ ∠BAP = ∠CAP …. (1)

(ii)  ΔABP और ΔACP में,

AB = AC (दिया गया)

∠BAP = ∠CAP [[समीकरण (1) से]]

AP = AP (सामान्य)

∴ ΔABP ≅ ΔACP  (द्वारा S.S.S सर्वांगसमता नियम)

⇒ BP = CP (By CPCT) … (2)

(iii) समीकरण (1) से,

∠BAP = ∠CAP

Hence, AP bisects ∠A.

In ΔBDP and ΔCDP,

BD = CD          (दिया गया)

DP = DP           (सामान्य)

BP = CP            [समीकरण (2) से]

∴ ΔBDP ≅ ΔCDP (द्वारा S.S.S सर्वांगसमता नियम)

⇒ ∠BDP = ∠CDP (By CPCT) … (3)

हंस, AP समद्विभाजित करते हैं ∠D.

(iv) ΔBDP ≅ ΔCDP

∴ ∠BPD = ∠CPD (By CPCT) …. (4)

∠BPD + ∠CPD = 180° (रैखिक जोड़ी कोण)

∠BPD + ∠BPD = 180°

2∠BPD = 180° [समीकरण से (4)]

∠BPD = 90° … (5)

समीकरण (2) और (5) से यह कहा जा सकता है कि AP, BC का लंब समद्विभाजक है।

प्रश्न 2. AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलंब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि:

(i) AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है।
(ii) AD कोण A को समद्विभाजित करता है।

हल:

∆ABD और ∆ACD में,

AB = AC [दिया है]

∠ADB = ∠ADC [प्रत्येक = 90°]

[∵ AD ⊥ BC (दिया है)]

AD = AD (उभयनिष्ठ]

∴ ∆ABD ≅ ∆ACD [RHS सर्वांगसमता नियम से]
इसलिए, BD = DC (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

⇒ AD; BC, को समद्विभाजित करती है। [भाग (I) सिद्ध हुआ है]
साथ ही, ∠BAD = ∠CAD [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]

⇒ AD, ∠A को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 3. एक त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AM क्रमशः एक-दूसरे त्रिभुज की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PN के बराबर है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि:

(i) ∆ABM ≅ ∆PQN
(ii) ∆ABC ≅ ∆PQR

हल:

AM, ∆ABC की माध्यिका है।
∴ …(Α)

PN, ∆PQR की माध्यिका है।
∴ …(B)

अब, BC = QR [दिया है]
BC = QR

इसलिए, BM = QN …(C)
[(Α) और (B) का प्रयोग करने पर]

(i) अब, ∆ABM और ∆PQN में,
AB = PQ [दिया है]
AM = PN [दिया है]
BM = QN

[भाग (C) में सिद्ध किया है।
∴ ∆ABM ≅ ∆PQN
[SSS सर्वांगसमता नियम से]

इसलिए, ∠B = ∠Q …(D)
[सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]

(ii) ∆ABC और ∆PQR में,
AB = PQ [दिया है]
∠B = ∠Q [भाग (D) प्रयोग करने पर]
BC = QR [दिया है]
∴ ∆ABC = ∆PQR
[SAS सर्वांगसमता नियम से]

प्रश्न 4. BE और CF एक त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्षलंब हैं। RHS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

हल:

ΔBEC और ΔCFB में,

∠BEC = ∠CFB  (प्रत्येक 90 डिग्री)

BC = CB (सामान्य)

BE = CF (दिया गया)

∴ ΔBEC ≅ ΔCFB (RHS सर्वांगसमता द्वारा)

⇒ ∠BCE = ∠CBF (By CPCT)

∴ AB = AC (एक त्रिभुज के समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)

अत: ΔABC समद्विबाहु है।

प्रश्न 5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। AP ⊥ BC खींच कर दर्शाइए कि ∠B = ∠C है।

हल: 

दिया है: ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है

जिसमें AB = AC

सिद्ध करना है : ∠B = ∠C

रचना: AP ⊥ BC खींचिए।

उपपत्ति: ∆ABP और ∆ACP में,

∠APB = ∠APC (प्रत्येक = 90°)[रचना से]

AB = AC [दिया है]

AP = AP [उभयनिष्ठ]

ΔABP ≅ ΔACP

[RHS सर्वांगसमता नियम से]
इसलिए, ∠B = ∠C

[सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]

• प्रश्नावली – 7.1
• प्रश्नावली – 7.2

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