NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 12 गुणनखंड (Factorisation) Examples in Hindi

July 10, 2023

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 12 गुणनखंड (Factorisation)

Textbook	NCERT
Class	8^th
Subject	गणित (Mathematics)
Chapter	12^th
Chapter Name	गुणनखंड (Factorisation)
Category	Class 8th गणित (Mathematics)
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 12 गुणनखंड (Factorisation) Examples in Hindi 12 का गुणनखंड क्या है, गुणनखंड होता क्या है,20 का गुणनखंड क्या है, 30 का गुणनखंड क्या है, 40 का गुणनखंड क्या है, 32 का गुणनखंड क्या है, 9 का गुणनखंड क्या है, 15 का गुणनखंड क्या है, 60 का गुणनखंड क्या है आदि के बारें में हम विस्तार से पढ़ेंगे साथ -साथ हम NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 12 गुणनखंड (Factorisation) Examples करेंगे।

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 12 गुणनखंड (Factorisation)

Chapter – 12

गुणनखंड

Examples

उदाहरण 1 : 12a²b + 15ab² के गुणनखंड कीजिए।

हल : हम पाते हैं :
12a²b = 2 × 2 × 3 × a × a × b
15ab² = 3 × 5 × a × b × b
इन दोनों पदों में 3, a और b सार्व गुणनखंड हैं

अतः
12a²b + 15ab² = (3 × a × b × 2 × 2 × a) + (3 × a × b × 5 × b)
= 3 × a × b × [(2 × 2 × a ) + (5 × b)]
=3ab × (4a + 5b) (पदों को मिलाने पर)
= 3ab (4a + 5b) (वांछित गुणनखंड रूप)

उदाहरण 2 : 10x² – 18x² + 14x² + के गुणनखंड कीजिए।

हल :
10x² = 2 × 5 × x × x
18x³ = 2 × 3 × 3 × x × x × x
14x⁴ = 2 × 7 × x × x × x × x
इन तीनों पदों में सार्व गुणनखंड 2, x और x हैं।

अतः
10x² – 18x³ + 14x⁴ = (2 × x × x × 5 ) – (2 × x × x × 3 × 3 × x)
+ (2 × x × x × 7 × x × x )
= 2 × x × x × [(5 – (3 × 3 × x) + (7 × x × x)]

उदाहरण 3 : 6xy – 4y + 6 – 9x के गुणनखंड कीजिए।

हल :
चरण 1 जाँच कीजिए कि क्या सभी पदों में कोई सार्व गुणनखंड है। यहाँ कोई नहीं है।
चरण 2 समूहन के बारे में सोचिए । ध्यान दीजिए कि पहले दो पदों में सार्व गुणनखंड 2y है।

अतः,
6xy – 4y = 2y (3x – 2)
(a)
अंतिम दो पदों के बारे में क्या कहा जा सकता है? उन्हें देखिए। यदि आप इनका क्रम बदलकर – 9x + 6, लिख लें, तो गुणनखंड (3x – 2) आ जाएगा।

अतः
– 9x + 6 = −3 (3x) +3 (2)
(b)
चरण 3
(a) और (b) को एक साथ रखने पर,
6xy – 4y + 6 – 9x = 6xy – 4y – 9x + 6
= 2y (3x – 2) – 3 (3x – 2)
= (3x – 2) (2y – 3)
इस प्रकार, (6xy – 4y + 6 – 9x ) के गुणनखंड ( 3x – 2) और (2y – 3) हैं।

उदाहरण 4 : x² + 8x + 16 के गुणनखंड कीजिए।

हल : इस व्यंजक को देखिए। इसके तीन पद हैं। अतः इसमें सर्वसमिका III का प्रयोग नहीं किया जा सकता है। साथ ही, इसके पहले और तीसरे पद पूर्ण वर्ग हैं तथा बीच वाले पद का चिह्न धनात्मक है। अतः यह a²+ 2ab + b² के रूप का है, जहाँ a = x और b = 4 हैं।

इस प्रकार,
a² + 2ab + b² = x2 + 2 (x) (4) + 4²
= x² + 8x + 16

क्योंकि
a² + 2ab + b²= (a + b)²,

तुलना करने पर,
x² + 8x + 16 = (x + 4)² (वांछित गुणनखंडन)

उदाहरण 5 : 4y² – 12 y + 9 के गुणनखंड कीजिए।

हल : ध्यान दीजिए कि 4y² = (2y)2, 9 = 3² और 12 y = 2 x 3 x (2y)
अतः
4y²– 12y + 9 = (2y)² – 2 × 3 × (2y) + (3)²
= (2y – 3)² (वांछित गुणनखंडन)

उदाहरण 6 : 49p² – 36 के गुणनखंड कीजिए।

हल : यहाँ दो पद हैं। दोनों ही पूर्ण वर्ग हैं तथा दूसरा ऋणात्मक है अर्थात् यह व्यंजक (a² – b²) के रूप का है। यहाँ सर्वसमिका III का प्रयोग किया जाएगा।
49p² – 36 = (7p)² – (6)²
= (7p – 6) (7p + 6) (वांछित गुणनखंडन)

उदाहरण 7 : a² – 2ab + b² – c² के गुणनखंड कीजिए।

हल : दिए हुए व्यंजक के पहले तीन पदों से (a – b)² प्राप्त होता है। चौथा पद एक वर्ग है।
इसलिए इस व्यंजक को दो वर्गों के अंतर के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।

इस प्रकार a² – 2ab + b² – c² = (a-b)² – c² (सर्वसमिका II से)
= [(a – b) – c) ((a – b) + c)] (सर्वसमिका III से)
= (a – b – c) (a – b + c) (वांछित गुणनखंडन)

ध्यान दीजिए कि वांछित गुणनखंडन प्राप्त करने के लिए, हमने किस प्रकार एक के बाद एक दो सर्वसमिकाओं का प्रयोग किया है।

उदाहरण 8 : m⁴ – 256 के गुणनखंड कीजिए।

हल : हम देखते हैं कि
m⁴ = (m²)² और 256 = (16)²
अतः दिए हुए व्यंजक में सर्वसमिका III का प्रयोग होगा।

इसलिए
m⁴ = (m²)² और 256 = (16)²
= (m² –16) (m² +16) [(सर्वसमिका (III) से]
अब m² + 16 के आगे गुणनखंड नहीं किए जा सकते हैं, परंतु (m² – 16) के सर्वसमिका III के प्रयोग से और भी गुणनखंड किए जा सकते हैं।

अब
m² – 16 = m² – 4²
= (m – 4) (m + 4)

इसलिए
m² – 256 = (m – 4 ) ( m + 4 ) (m² + 16)

उदाहरण 9: x² + 5 x + 6 के गुणनखंड कीजिए।

हल : यदि हम सर्वसमिका (IV) के दाएँ पक्ष (RHS) से x² + 5x + 6 की तुलना करें, तो हम पाएँगे
कि ab = 6 और a + b = 5 है। यहाँ से हमें a और b ज्ञात करने चाहिए । तब (x + a) और (x + b) गुणनखंड होंगे।

यदि ab = 6 है, तो इसका अर्थ है कि a और b संख्या 6 के गुणनखंड हैं।
आइए, a = 6 और b = 1 लेकर प्रयास करें। इन मानों के लिए a + b = 7 है और 5 नहीं
है। इसलिए यह विकल्प सही नहीं है।
आइए a = 2 और b = 3 लेकर प्रयास करें। इसके लिए, a + b = 5 है, जो ठीक वही है जो
हम चाहते हैं।
तब, इस दिए हुए व्यंजक का गुणनखंड रूप (x +2) (x + 3) है।

उदाहरण 10 : y² − 7y + 12 के गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

हल : हम देखते हैं कि 12 = 3 x 4 और 3 + 4 = 7 है।

इसलिए,
y² − 7y + 12 = y² – 3y – 4y + 12
= y (y – 3) – 4 (y – 3) = (y – 3) (y – 4)

ध्यान दीजिए कि इस बार हमने a और b ज्ञात करने के लिए दिए हुए व्यंजक की तुलना सर्वसमिका IV से नहीं की। पर्याप्त अभ्यास के बाद, आपको दिए हुए व्यंजकों के गुणनखंड करने के लिए उनकी तुलना सर्वसमिकाओं के व्यंजकों से करने की आवश्यकता नहीं है तथा आप सीधे ही गुणनखंड कर सकते हैं जैसा हमने ऊपर किया है।

उदाहरण 11 : z² – 4z – 12 के गुणनखंड प्राप्त कीजिए।

हल : यहाँ a b = -12 है। इसका अर्थ है कि a और b में से एक ऋणात्मक है। साथ ही, a + b =−4 है। इसका अर्थ है कि बड़े संख्यात्मक मान वाला ऋणात्मक है। हम a= – b = 3; लेकर प्रयास करते हैं। परंतु यह कार्य नहीं करेगा, क्योंकि a + b = 1 है। इनसे अगले संभव मान a = – 6 और b = 2 हैं, तब a + b = 4 है, जो हमें चाहिए।
अतः
z² – 4z – 12 = z² – 6z + 2z – 12
= z(z – 6) + 2 (z – 6)
= (z – 6) (z + 2)

उदाहरण 12 : 3m² + 9m + 6 के गुणनखंड प्राप्त कीजिए।

हल : हम देखते हैं कि 3 सभी पदों का एक सार्व गुणनखंड है।

अतः
3m² + 9m + 6 = 3 (m² + 3m + 2)

अब,
m² + 3m + 2 = m² + m + 2m + 2 (क्योंकि 2 = 1 x 2)
= m(m + 1) + 2(m + 1)
= (m + 1) (m + 2)

अतः
3m² + 9m + 6 = 3 (m + 1) (m + 2)

उदाहरण 13 : निम्नलिखित विभाजन कीजिए :
(i) -20x⁴ ÷ 10x²
(ii) 7x²y²z² ÷ 14xyz

हल :
(i) -20x⁴ = -2 × 2 × 5 × x × x × x × x
10x² = 2 × 5 × x × x
अतः
(-20x⁴) ÷ 10x² = -2 × 2 × 5 × x × x × x × x/2×5×x×x
= -2 × x × x = -2x²

(ii) 7 x²y²z² 14xyz
= 7× x × x × y × y × z ×

उदाहरण 14: उपरोक्त दोनों विधियों का प्रयोग करते हुए, 24(x²yz + xy²z + xyz²) को xyz से भाग दीजिए।

हल : 24 (x²yz + xy²z + xyz²)

= 2 x 2 x 2 x 3 x [( x X x X y X z) + (x X y X y X z) + (x X y X z X z)
= 2 X 2 X 2 X 3 X x X y X z X (x + y + z) (सार्व गुणनखंड बाहर लेने पर)
= 8 X 3 X xyz X (x + y + z)
अतः 24 (x²yz + xy²z + xyz²) ÷ 8xyz
= 8 X 3 X xyz X (x + y + z)/8 X xyz = 3 X (x + y + z) = 3 (x + y + z)

वैकल्पिक रूप में 24(x²yz + xy²z + xyz²) ÷ 8xyz = 24x²yz/8xyz + 24xy²z/8xyz + 24xyz²/8xyz

= 3x + 3y + 3z = 3(x + y + z)

उदाहरण 15: 44(x⁴ – 5x³ – 24x²) को 11x (x-8) से भाग दीजिए।

हल : 44(x⁴ – 5x³ – 24x²), के गुणनखंड करने पर हमें प्राप्त होता है:

44(x⁴ – 5x³ – 24x²) = 2 X 2 X 11 X x²(x² – 5x – 24)
(कोष्टक में से सार्व गुणनखंड x² बाहर करने पर)
= 2 X 2 X 11 X x2 (x² – 8x + 3x – 24)
= 2 X 2 X 11 X x2 [x(x – 8) + 3(x – 8)]
= 2 X 2 X 11 X x2 (x – 8) (x + 3)

44(x⁴ – 5x³ – 24x²) ÷ 11x (x – 8)

= 2 X 2 X 11 X x X x X (x + 3) X (x – 8)/11 X x X (x – 8)
= 2 X 2 X x (x + 3) = 4x(x + 3)

उदाहरण 16: z(5z2 – 80) को 5z(z+4) से भाग दीजिए।

हल : भाज्य = z(5z² – 80)
= z[(5 x z²) – (5 x 16)]
= z x 5 x (z² – 16)
5z x (z + 4) (z – 4) [सार्वसमिका a² – b² = (a + b) (a – b) को प्रयोग करने पर]

इस प्रकार, z(5z² – 80) ÷ 5z(z + 4) = 5z(z – 4) (z + 4)/5z(z + 4) = (z – 4)