NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 6 घन और घनमूल (Cubes and Cube Roots) Example

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 6 घन और घनमूल (Cubes and Cube Roots)

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 6 घन और घनमूल (Cubes and Cube Roots)

Chapter – 6

घन और घनमूल

Example

उदाहरण 1. क्या 243 एक पूर्ण घन है ?

हल : 243 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3
यहाँ 3 का एक त्रिक बनाने के बाद 3 x 3 शेष रहता है। अत:, 243 एक पूर्ण घन नहीं है।

उदाहरण 2. क्या 392 एक पूर्ण घन है? यदि नहीं, तो ऐसी सबसे छोटी प्राकृत संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 392 को गुणा करने पर गुणनफल एक पूर्ण घन प्राप्त हो जाए।

हल : 392 = 2 × 2 × 2 × 7× 7
अभाज्य गुणनखंड 7 तीन के समूह में नहीं आ रहा है। अतः 392 एक पूर्ण घन नहीं है। इसे पूर्ण घन बनाने के लिए, एक और 7 की आवश्यकता है। इस स्थिति में,
392 × 7 = 2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 7 = 2744, जो एक पूर्ण घन है।

उदाहरण 3. क्या 53240 एक पूर्ण घन है? यदि नहीं, तो 53240 को किस सबसे छोटी प्राकृत संख्या से भाग दिया जाए कि भागफल एक पूर्ण घन प्राप्त हो?

हल : 53240 = 2 × 2 × 2 × 11 × 11 × 11 × 5
यहाँ अभाज्य गुणनखंड में 5 तीन के समूह में नहीं आ रहा है। अतः 53240 एक पूर्ण घन नहीं है। उपरोक्त गुणनखंडन में 5 केवल एक बार आया है। यदि हम दी हुई संख्या को 5 से भाग दें, तो भागफल के अभाज्य गुणनखंडन में 5 नहीं आएगा।
इस प्रकार, 53240 : 5 = 2 × 2 × 2 × 11 × 11 × 11
अतः वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या 5 है जिससे 53240 को भाग देने पर भागफल एक पूर्ण घन प्राप्त होगा।
उस स्थिति में, पूर्ण घन 10648 होगा।

उदाहरण 4. क्या 1188 एक पूर्ण घन है? यदि नहीं, तो किस सबसे छोटी प्राकृत संख्या से 1188 को भाग दिया जाए कि भागफल एक पूर्ण घन प्राप्त हो जाए?

हल : 1188 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 11
अभाज्य गुणनखंड 2 और 11 तीन-तीन के समूहों में नहीं आ रहे हैं। अतः 1188 एक पूर्ण घन नहीं है। 1188 के उपरोक्त गुणनखंडन में, अभाज्य 2 केवल दो बार आ रहा है और अभाज्य 11 एक बार। अतः यदि हम 1188 को 2 × 2 × 11 = 44 से भाग दें, तो भागफल के अभाज्य गुणनखंडन में 2 और 11 नहीं आएँगे।
अत: वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या 44 है, जिससे घन प्राप्त होगा। साथ ही, परिणामी पूर्ण घन = 1188 1188 को भाग देने पर भागफल एक पूर्ण 44 = 27 (=33)

उदाहरण 5. क्या 68600 एक पूर्ण घन है? यदि नहीं, तो वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 68,600 को गुणा करने पर एक पूर्ण घन प्राप्त हो जाए?

हल : हमें प्राप्त है: 68,600 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7× 7×7
इस गुणनखंडन में, 5 की कोई त्रिक (triplet) नहीं है। अत: 68,600 एक पूर्ण घन नहीं है। इसे पूर्ण घन बनाने के लिए, हम इसे 5 से गुणा करते हैं।
इस प्रकार,
68,600 x 5 = 2x2x2x5x5x5x7x7x7
= 3,43,000 जो एक पूर्ण घन है।
ध्यान दीजिए कि 343 एक पूर्ण घन है। उदाहरण 5 से, हम जानते हैं कि 3,43,000 भी एक पूर्ण घन है।

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