NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 5 वर्ग और वर्गमूल (Squares and Square Roots) Examples in Hindi

June 7, 2023

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 5 वर्ग और वर्गमूल (Squares and Square Roots)

Textbook	NCERT
Class	8^th
Subject	गणित (Mathematics)
Chapter	5^th
Chapter Name	वर्ग और वर्गमूल (Squares and Square roots)
Category	Class 8th गणित
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 5 वर्ग और वर्गमूल (Squares and Square Roots) Examples in Hindi जिसमे हम वर्ग और वर्गमूल में क्या अंतर है?, वर्गमूल निकालने का सूत्र क्या है?, वर्ग और वर्गमूल कैसे लिखते हैं?, 2 का वर्गमूल कैसे निकालते हैं?, वर्ग कैसे निकाला जाता है?, वर्ग की पहचान कैसे करें?, 45 का वर्गमूल कैसे निकाले?, वर्गमूल क्या है उदाहरण?, आज हम इन सारे Examples को हल करेगें।

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 5 वर्ग और वर्गमूल (Squares and Square Roots)

Chapter – 5

वर्ग और वर्गमूल

Examples

उदाहरण 1. निम्नलिखित संख्याओं का वर्ग गुणा किए बिना ज्ञात कीजिए:

(i) 39
(ii) 42

हल: (i) 39² = (30 + 9)²= 30 (30 + 9) + 9 (30 + 9)
= 30² + 30 × 9 + 9 × 30 + 9²
= 900 + 270 + 270 + 81 = 1521

(ii) 42² = (40 + 2)2 = 40 (40 + 2) + 2 (40 + 2)
= 40² + 40 × 2 + 2 × 40 + 2²
= 1600 + 80 + 80 + 4 = 1764

उदाहरण 2. एक पाइथागोरस त्रिक लिखिए जिसकी सबसे छोटी संख्या 8 है।

हल: साधारण रूप 2m, m² – 1, m² + 1 से हम पाइथागोरस त्रिक पा सकते हैं।
पहले हम लेते हैं m² – 1 = 8

अतः m² = 8 + 1 = 9
m = 3

इसलिए,
2m = 6 और m² + 1 = 10
अतः 6, 8, 10 एक त्रिक है लेकिन 8 सबसे छोटी संख्या नहीं है।
इसलिए हम लेते हैं 2m = 8

तब,
m = 4
m² – 1 = 16 – 1 = 15

और,
m + 1 = 16 + 1 = 17
अतः 8, 15, 17 एक ऐसा त्रिक है जहाँ 8 सबसे छोटी संख्या है।

उदाहरण 3. एक पाइथागोरस त्रिक ज्ञात कीजिए जिसकी एक संख्या 12 है।

हल: यदि हम लेते हैं
m² – 1 = 12
m² = 12 + 1 = 13

तब,
यहाँ m का मान पूर्णांक नहीं होगा।

अतः हम कोशिश करते हैं
m² + 1 = 12

पुन: m² = 11 जो m के लिए पूर्णांक मान नहीं देगा।

अतः हमें लेना चाहिए
2m = 12
m = 6

तब,
इस प्रकार
m² – 1 = 36 – 1 = 35 और m² + 1 = 36 + 1 = 37

अतः आवश्यक त्रिक है 12, 35, 37

नोट: इस रूप का उपयोग करते हुए सभी पाइथागोरस त्रिक प्राप्त नहीं कर सकते हैं। उदाहरण के लिए दूसरी त्रिक 5, 12, 13 में भी 12 एक सदस्य हैं।

उदाहरण 4. 6400 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए?

हल: लिखिए 6400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
अतः √6400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 = 80

उदाहरण 5. क्या 90 एक पूर्ण वर्ग है?

हल: हम 90 = 2 x 3 x 3 x 5 रखते हैं।
अभाज्य गुणनखंड में 2 और 5 युग्म में नहीं हैं।
अतः 90 एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है। जिसे यथार्थ रूप में हम इस प्रकार भी देख सकते हैं
क्योंकि इसमें केवल 1 शून्य है।

उदाहरण 6. क्या 2352 एक पूर्ण वर्ग संख्या है? यदि नहीं तो 2352 का सबसे छोटा गुणज प्राप्त कीजिए जो कि पूर्ण वर्ग संख्या हो तथा नयी संख्या का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

हल: हम जानते हैं कि 2352 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 × 7
अभाज्य गुणनखंड के अनुसार 3 के युग्म नहीं हैं अतः 2352 एक पूर्ण वर्ग नहीं है। यदि 3 का एक जोड़ा बनाते हैं तब संख्या पूर्ण वर्ग हो जाएगी। अतः 2352 को 3 से गुणा करने पर हम पाएँगे:

2352 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7

अब प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड युग्म में हैं। अत: 2352 × 3 = 7056 एक पूर्ण वर्ग संख्या है। और 2352 का सबसे छोटा गुणज 7056 है जो एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
और √7056 = 2 × 2 x 3 x 7 = 84

उदाहरण 7. सबसे छोटी संख्या प्राप्त कीजिए जिसे 9408 से भाग देने पर भागफल एक पूर्ण वर्ग संख्या हो जाए। उस भागफल का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

हल: 9408 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 × 7

यदि हम 9408 को 3 से भाग देते हैं।
तब, 9408 ÷ 3 = 3136 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 7 जो कि एक पूर्ण वर्ग संख्या हैं। (क्य?)

अतः सबसे छोटी वांछित संख्या 3 है।
और, √3136 =2 × 2 × 2 × 7 = 56

उदाहरण 8. सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो प्रत्येक संख्या 6, 9 और 15 से विभाजित हो जाए।

हल: इसे दो चरण में हल कर सकते हैं। सबसे पहले छोटे उभयनिष्ठ गुणज को ज्ञात कीजिए और तब उसके बाद आवश्यक वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए। वह सबसे छोटी संख्या जिसमें 6, 9, 15 का भाग जाएगा, इनकी ल.स. है। 6, 9 और 15 LCM है 2 × 3 × 3 × 5 = 90

90 का अभाज्य गुणनखंडन 90 = 2 × 3 × 3 × 5 है। हम देखते हैं कि अभाज्य गुणनखंड 2 और 5 के युग्म नहीं हैं। अतः 90 एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त करने के लिए 90 के प्रत्येक गुणनखंड युग्म में होने चाहिए।

अत: हमें 2 और 5 का जोड़ा बनाने की आवश्यकता होगी। इसलिए 90 को 2 x 5, अर्थात् 10 से गुणा करना चाहिए। अतः वह वर्ग संख्या 90 × 10 = 900 है।

उदाहरण 9. वर्गमूल ज्ञात कीजिए:

(i) 729
(ii) 1296

हल: (i)

इसलिए √729 = 27

(ii)

इसलिए √1296 = 36

उदाहरण 10. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 5607 में से घटाने पर वह पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए। इस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।

हल: आइए, दीर्घ विभाजन विधि से √5607 ज्ञात करने का प्रयास करें। हमें 131 शेषफल प्राप्त होता है। यह दर्शाता है कि 74², 5607 से 131 कम है।

अर्थात यदि हम किसी संख्या में से उसका शेषफल घटा देते हैं तो हमें एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त होती है। अतः वांछित पूर्ण वर्ग संख्या है 5607 – 131 = 5476 और √5476 = 74

उदाहरण 11. चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या बताइए, जो पूर्ण वर्ग हो।

हल: चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 9999 है। हम दीर्घ विभाजन विधि द्वारा √19999 ज्ञात करते हैं, जिसका शेषफल 198 है। यह दर्शाता है 992, 9999 से 198 कम है।

इसका अर्थ है कि यदि हम किसी संख्या में से शेषफल घटाते हैं तो हमें एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त होती है। अत: वांछित पूर्ण वर्ग संख्या है 9999 – 198 = 9801
और √9801 = 99

उदाहरण 12. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 1300 में जोड़ने पर एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो। उस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।

हल: दीर्घ विभाजन विधि से √1300 ज्ञात करते हैं। यहाँ पर शेषफल 4 है। यह दर्शाता है की 36² < 1300 अगली पूर्ण वर्ग संख्या 37² = 1369

अतः अभीष्ट संख्या = 37² – 1300 1369 – 1300 = 69

उदाहरण 13. 12.25 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

हल:

अतः √12.25 = 3.5

उदाहरण 14. एक वर्गाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल 2304 m² है। इस वर्गाकार क्षेत्र की भुजा ज्ञात कीजिए।

हल: वर्गाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल = 2304 m²
इसलिए वर्गाकार क्षेत्र की भुजा = √2304 m²
हम पाएंगे कि √2304 = 48 m
इस प्रकार वर्गाकार क्षेत्र की भुजा 48m है।

उदाहरण 15. एक विद्यालय में 2401 विद्यार्थी हैं। पी. टी. अध्यापक उन्हें पंक्ति एवं स्तंभ में इस प्रकार खड़ा रखना चाहते हैं कि पंक्तियों की संख्या स्तंभ की संख्या के बराबर हो। पंक्तियों की संख्या ज्ञात करो।

हल: माना कि पंक्तियों की संख्या x है।

अत: स्तंभ की संख्या = x
इसलिए विद्यार्थियों की संख्या = x × x = x

अतः x² = 2401 अर्थात् x = √2401 = 49 होता है।
पंक्तियों की संख्या = 49