NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 9 क्षेत्रमिति (Mensuration) प्रश्नावली 9.3

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 9 क्षेत्रमिति (Mensuration)

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 9 क्षेत्रमिति (Mensuration) 

Chapter – 9

क्षेत्रमिति

प्रश्नावली 9.3

1. आपको एक बेलनाकार टैंक दिया हुआ है , निम्नलिखत में से किस स्थिति में आप उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे और किस स्थिति में आयतन :
(a) यह ज्ञात करने के लिए कि इसमें कितना पानी रखा जा सकता है।
(b) इसका प्लास्टर करने के लिए वांछित सीमेंट बोरियों की संख्या।
(c) इसमें भरे पानी से भरे जाने वाली छोटे टैंको की संख्या।

हल: हम एक क्षेत्र पाते हैं जब एक क्षेत्र एक सीमा से ढका होता है, जैसे कि एक सिलेंडर का बाहरी और आंतरिक सतह क्षेत्र, एक शंकु, एक गोला और एक दीवार या फर्श की सतह। जब पानी, दूध, कॉफी, चाय आदि किसी वस्तु द्वारा स्थान की मात्रा घेर ली जाती है, तो हमें उस वस्तु का आयतन ज्ञात करना होता है।

(a) वॉल्यूम (b) सतह क्षेत्र (c) वॉल्यूम

2.बेलन A का व्यास 7 cm और ऊँचाई 14 cm है। बेलन B का व्यास 14 cm और ऊँचाई 7 cm है। परिकलन किए बिना क्या आप बता सकते है कि इन दोनों में किसका आयतन अधिक है। दोनों बेलनों का आयतन ज्ञात करते हुए इसका सत्यापन कीजिए। जाँच कीजिए कि क्या अधिक आयतन वाले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी अधिक है।

हल:  हाँ, हम कह सकते हैं कि बेलन B का आयतन अधिक है, क्योंकि बेलन B की त्रिज्या बेलन A की त्रिज्या से अधिक है।
बेलन A और B का आयतन ज्ञात कीजिए । बेलन A का
व्यास = 7 सेमी
बेलन A की त्रिज्या = 7/2 सेमी
बेलन A की ऊँचाई = 14 सेमी
बेलन A का आयतन = πr2h
= (22/7)×(7/2)×(7/2)×14 = 539
बेलन A का आयतन 539 cm³
अब, बेलन B का व्यास = 14 सेमी
बेलन B की त्रिज्या = 14/2 = 7 सेमी
और बेलन B की ऊँचाई = 7 सेमी
बेलन B का आयतन = πr2h
= (22/7)×7×7×7 = 1078
बेलन B का आयतन 1078 cm³ है

बेलन A और B का पृष्ठीय क्षेत्रफल
ज्ञात कीजिए। बेलन A का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r+h)
= 2 x 22/7 x 7/2 x (7/2 + 14) = 385 बेलन A का पृष्ठीय क्षेत्रफल 385
सेमी2
है। बेलन B = 2πr(r+h)
= 2×(22/7)×7(7+7) = 616
बेलन B का पृष्ठीय क्षेत्रफल 616 cm² है
हाँ, अधिक आयतन वाले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी अधिक होता है।

3. एक ऐसे घनाभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसके आधार का क्षेत्रफल 180 cm² और जिसका आयतन 900 Cm³ है ?

हल: दिया गया है, घनाभ का आधार क्षेत्रफल = 180 cm2 और घनाभ का आयतन = 900 cm³
हम जानते हैं कि, घनाभ का आयतन = lbh
900 = 180×h (मानों को प्रतिस्थापित करने पर)
h= 900/180 = 5
इसलिए घनाभ की ऊंचाई 5 सेमी है।

4. एक घनाभ की विमाएँ 60 cm x 54 cm x 30 cm हैं। इस घनाभ के अंदर 6 cm भुजा वाले कितने छोटे घन रखे जा सकते हैं।

हल: दिया गया है, घनाभ की लंबाई, l = 60 सेमी, घनाभ की चौड़ाई, b = 54 सेमी और
घनाभ की ऊंचाई, h = 30 सेमी
हम जानते हैं कि, घनाभ का आयतन = lbh = 60 × 54 × 30 = 97200 सेमी3
और घन का आयतन = (भुजा)3
= 6×6×6 = 216 सेमी3
साथ ही, छोटे घनों की संख्या = घनाभ का आयतन/घन का आयतन
= 97200/216
= 450
इसलिए, अभीष्ट घन 450 हैं।

5. एक ऐसे बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका आयतन 1.54 m³ और जिसके आधार का व्यास 140 cm हैं ?

हल: दिया गया है: बेलन का आयतन = 1.54 m³ और बेलन का व्यास = 140 cm
त्रिज्या (r)= d/2 = 140/2 = 70 cm
बेलन का आयतन = πr2h
1.54 = (22/7)×0.7×0.7×h
सरलीकरण के बाद, हमें h का मान मिलता है जो कि
h = (1.54×7)/(22×0.7×0.7)
h = 1
है, इसलिए बेलन की ऊंचाई 1 मीटर है।

6. एक दूध का टैंक बेलन के आधार का है जिसकी त्रिज्या 1.5 m और लंबाई 7 m है। इस टैंक में भरे जा सकने वाले दूध की मात्रा लीटर में ज्ञात कीजिए।

हल: दिया गया है, बेलनाकार टैंक की त्रिज्या, r = 1.5 m और बेलनाकार टैंक की ऊँचाई, h = 7 m
बेलनाकार टैंक का आयतन, V = πr2h
= (22/7)×1.5×1.5 ×7
= 49.5 cm3
= 49.5×1000 लीटर = 49500 लीटर
[∵ 1 m3= 1000 लीटर]
इसलिए, दूध की आवश्यक मात्रा 49500 लीटर है।

7. यदि किसी घन के प्रत्येक किनारे को दुगुना कर दिया जाए, तो
(i) इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितने गुना वृद्धि होगी ?
(ii) इसके आयतन में कितने गुना वृद्धि होगी ?

हल: (i) माना घन का किनारा “l” है।

घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए सूत्र, A = 6 l²
जब घन के किनारे को दोगुना कर दिया जाता है, तो
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल, मान लीजिए A’ = 6(2 l)2 = 6×4l² = 4(6 l²)
A’ = 4A
इसलिए , सतह क्षेत्र चार गुना बढ़ जाएगा।

(ii) घन का आयतन, V = l³

जब घन का किनारा दोगुना कर दिया जाता है, तो
घन का आयतन, मान लीजिए V’ = (2l)3 = 8(l3)
V’ = 8×V
इसलिए, आयतन 8 गुना बढ़ जाएगा।

8. एक कुंड के अंदर 60 लीटर प्रति मिनट की दुरी से पानी गिर रहा है। यदि कुंड का आयतन 108 m³ है, तो ज्ञात कीजिए कि इस कुंड को भरने में कितने घंटे लगेंगे ?

हल: दिया गया है, जलाशय का आयतन = 108 m³ घनाकार
जलाशय में पानी डालने की दर = 60 लीटर/मिनट
= 60/1000 m³ प्रति मिनट
चूंकि 1 लीटर = (1/1000)m³
= (60×60)/1000 m³ प्रति घंटा
इसलिए , (60×60)/1000 घन मीटर जलाशय में भरे हुए पानी में = 1 घंटा लगेगा
इसलिए जलाशय में भरा 1 घन मीटर पानी लगेगा = 1000/(60×60) घंटे
इसलिए, जलाशय में भरा 108 मीटर पानी लगेगा = (108) ×1000)/(60×60) घंटे = 30 घंटे  जलाशय को भरने में 30 घंटे का समय लगेगा।