NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 9 क्षेत्रमिति (Mensuration) प्रश्नावली 9.1

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 9 क्षेत्रमिति (Mensuration)

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NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 9 क्षेत्रमिति (Mensuration)

Chapter – 9

क्षेत्रमिति

प्रश्नावली 9.1

1. एक मेज के ऊपरी पृष्ठ (सतह) का आकार समलंब जैसा है। यदि इसकी समांतर भुजाएँ 1 m और 1.2 m है तथा इन समांतर भुजाओ के बीच की दुरी 0.8 m है, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: समलम्ब चतुर्भुज की एक समानांतर भुजा (a) = 1 m
और दूसरी भुजा (b) = 1.2 m और
ऊँचाई (h) = 0.8 m
तालिका की ऊपरी सतह का क्षेत्रफल = (½)×(a+b)h
= (½)×(1+1.2)0.8
= (½)×2.2×0.8 = 0.88
तालिका की ऊपरी सतह का क्षेत्रफल 0.88 m² है।

2. एक समलंब का क्षेत्रफल 34 cm² है और इसकी ऊँचाई 4 cm है। समांतर भुजाओ में से एक की 10 cm लंबाई है। दूसरी समांतर भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल: मान लीजिए कि दूसरी समानांतर भुजा की लंबाई b है।
एक समांतर भुजा की लंबाई, a = 10 सेमी
ऊँचाई, (h) = 4 सेमी और
एक समलम्ब का क्षेत्रफल 34 सेमी²
है, समलम्ब का क्षेत्रफल = (1/2)×(a+b)h
34 = ½(10+b)×4
34 = 2×(10+b)
सरलीकरण के बाद, b = 7
इसलिए एक और आवश्यक समानांतर भुजा 7 सेमी है।

3. एक समलंब के आकार के खेत ABCD की बाड़ की लंबाई 120 cm है। यदि BC = 48 m, CD = 17 m और AD = 40 m है, तो इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। भुजा AB समांतर भुजाओ AD तथा BC पर लंब है।

हल:

दिया गया है: BC = 48 m, CD = 17 m,
AD = 40 m और परिमाप = 120 m
समलंब ABCD का परिमाप
= AB+BC+CD+DA
120 = AB+48+17+40
120 = AB = 105
AB = 120–105 = 15 मीटर

अब, क्षेत्र का क्षेत्रफल = (½)×(BC+AD)×AB
= (½)×(48 +40)×15
= (½)×88×15
= 660
इसलिए, क्षेत्रफल क्षेत्र ABCD है 660m²।

4. एक चतुर्भुज आकार के खेत का विकर्ण 24 m है और शेष सम्मुख शीर्षो से इसे विकर्ण पर खींचे गए लंब 8 m एवं 13 m है। खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

विचार करें, h1 = 13 m, h2 = 8 m और AC = 24 m
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल + त्रिभुज ADC का क्षेत्रफल
= ½(bh1)+ ½(bh2)
= ½ ×b(h1+h2)= (½)×24×(13+8)
= (½)×24×21 = 252
इसलिए, क्षेत्र का आवश्यक क्षेत्रफल 252 वर्ग मीटर है।

5. किसी समचतुर्भुज के विकर्ण 7.5 cm एवं 12 cm है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: दिया गया है: d1 = 7.5 cm और d2 = 12 cm
हम जानते हैं कि, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = (½ )×d¹×d²
= (½)×7.5×12 = 45
इसलिए, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 45 cm² है।

6. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा 6 cm और शीर्षलंब 4 cm है। यदि एक विकर्ण की लंबाई 8 cm है तो दूसरे विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल: चूँकि समचतुर्भुज भी एक प्रकार का समांतर चतुर्भुज होता है।
समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र = आधार×ऊंचाई
मानों को रखने पर, हमें
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 6×4 = 24
24 cm² होता है
साथ ही समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र = (½)×d¹d²
मानों को रखने पर हमें
24= (½)×8×d²
d² = 6
इसलिए, दूसरे विकर्ण की लंबाई 6 सेमी है।

7. किसी भवन के फर्श में समचतुर्भुज के आकार की 3000 टाइलें हैं और इनमे से प्रत्येक के विकर्ण 45 cm एवं 30 cm लंबाई के हैं 4 रुपये प्रति वर्ग मीटर की दर से इस फर्श को पॉलिश करने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल: एक विकर्ण की लंबाई, d1 = 45 सेमी और d² = 30 सेमी
∵ एक टाइल का क्षेत्रफल = (½)d¹d²
= (½)×45×30 = 675
एक टाइल का क्षेत्रफल 675 cm²
है 3000 टाइलों का क्षेत्रफल
= 675 ×3000 = 2025000 cm²
= 2025000/10000
= 202.50 m2 [∵ 1m2 = 10000 cm²]
प्रति वर्ग मीटर
फर्श को चमकाने की लागत = 4 फर्श को चमकाने की लागत प्रति 202.50 वर्ग मीटर = 4×202.50 = 810
इसलिए कुल फर्श को चमकाने की लागत रु। 810.

8. मोहन एक समलंब के आकार का खेत खरीदना चाहता हैं। इस खेत की नदी के साथ वाली भुजा सड़क के साथ वाली भुजा के समांतर हैं और लंबाई में दुगुनी हैं। यदि इस खेत का क्षेत्रफल 10,500 m² हैं और दो समांतर भुजाओ के बीच की लंबवत दुरी 100 m हैं, तो नदी वाली भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल: लंबवत दूरी (h) = 100 मीटर (दिया गया है)
समलम्बाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल = 10500 एम2 (दिया गया है)
माना सड़क के किनारे ‘x’ मीटर और नदी के किनारे = 2x मीटर
समलम्ब क्षेत्र का क्षेत्रफल = ( ½)×(a+b)×h
10500 = (½)×(x+2x)×100
10500 = 3×50
सरलीकरण के बाद, हमारे पास x = 70 है, जिसका अर्थ है कि नदी के किनारे 70 मीटर है
इसलिए, पक्ष नदी के किनारे = 2x = 2(70) = 140 मीटर।

9. एक ऊपर उठे हुए चबूतरे का ऊपरी पृष्ठ अष्टभुज के आकार का हैं। जैसा कि आकृति में दर्शाया गया हैं। अष्टभुजी पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: अष्टभुज जिसकी आठ बराबर भुजाएँ हैं, प्रत्येक 5 मी. (दिया गया है)
अष्टभुज को नीचे दी गई आकृति में दर्शाए अनुसार विभाजित करें, 2 समलंब जिनकी समानांतर और लंबवत भुजाएँ क्रमशः 11 मीटर और 4 मीटर हैं और तीसरी आयत है जिसकी लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 11 मीटर और 5 मीटर है।

अब, दो समलंबों का क्षेत्रफल = 2 [(½)×(a+b)×h]
= 2×(½)×(11+5)×4
= 4×16 = 64
दो समलंबों का क्षेत्रफल 64 m²
भी है, आयत का क्षेत्रफल = लंबाई×चौड़ाई
= 11×5 = 55
आयत का क्षेत्रफल 55 m²
है अष्टभुज का कुल क्षेत्रफल = 64+55
= 119 m²

10. एक पंचभुज आकार का बगीचा हैं जैसा कि आकृति में दर्शाया गया हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ज्योति और कविता ने इसे दो विभिन्न तरीको से विभाजित किया। दोनों तरीको का उपयोग करते हुए इस बगीचे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या आप इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने की कोई और विधि बता सकते हैं ?

दोनों तरीकों से इस पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या आप इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने का कोई अन्य तरीका सुझा सकते हैं?

यहाँ, BE पर लम्बवत AM खींचा गया है।
AM = 30–15 = 15 मीटर
पंचभुज का क्षेत्रफल = त्रिभुज ABE का क्षेत्रफल + वर्ग BCDE का क्षेत्रफल (ऊपर की आकृति से)
= (½)×15×15+(15×15)
= 112.5+225.0
= 337.5
इसलिए, कुल क्षेत्रफल पंचभुज के आकार के पार्क का = 337.5 m²

11. संलग्न पिक्चर फ्रेम के आरेख की बाहरी एवं अंत: विमाएँ क्रमश: 24 cm x 28cm  एवं 16 cm x 20 cm हैं। यदि फ्रेम कि प्रत्येक खंड की चौड़ाई समान हैं, तो प्रत्येक खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: दी गई आकृति को 4 भागों में विभाजित करें, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

यहाँ दी गई दो आकृतियाँ (I) और (II) विमाओं में समान हैं।
और आंकड़े (III) और (IV) भी आयामों में समान हैं।
आकृति का क्षेत्रफल (I) = समलम्ब का क्षेत्रफल
= (½)×(a+b)×h
= (½)×(28+20)×4
= (½)×48×4 = 96
आकृति का क्षेत्रफल (I) = 96 cm²
साथ ही, आकृति (II) का क्षेत्रफल = 96 cm²
अब, आकृति (III) का क्षेत्रफल = समलम्ब का क्षेत्रफल
= (½)×(a+b)×h
= (½)×(24+16)4
= (½)×40×4 = 80
आकृति (III) का क्षेत्रफल 80 cm² है
साथ ही, आकृति (IV) का क्षेत्रफल = 80 cm²