NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 5 वर्ग और वर्गमूल (Squares and Square Roots) Exercise – 5.3 In Hindi

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 5 वर्ग और वर्गमूल (Squares and Square Roots)

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 5 वर्ग और वर्गमूल (Squares and Square Roots) Exercise – 5.3 In Hindi जिसमे हम वर्ग और वर्गमूल में क्या अंतर है?, वर्गमूल निकालने का सूत्र क्या है?, वर्ग और वर्गमूल कैसे लिखते हैं?, 2 का वर्गमूल कैसे निकालते हैं?, वर्ग कैसे निकाला जाता है?, वर्ग की पहचान कैसे करें?, 45 का वर्गमूल कैसे निकाले?, वर्गमूल क्या है उदाहरण?, आज हम इन सारे प्रश्न को हल करेगें।

NCERT Solutions Class 8th Maths Chapter – 5 वर्ग और वर्गमूल (Squares and Square Roots)

Chapter – 5

वर्ग और वर्गमूल

प्रश्नावली – 5.3

1. निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात करने के इकाई अंक की क्या संभावना हैं।

(i) 9801

हल: हम जानते हैं कि किसी संख्या के वर्ग का इकाई का अंक, जिसमें इकाई का
स्थान 1 होता है, 1 होता है और 9 भी 1 होता है [92 = 81 जिसका इकाई स्थान 1 होता है]
संख्या 9801 के वर्गमूल की इकाई का अंक 1 या 9 के बराबर होता है।

(ii) 99856

हल: हम जानते हैं कि किसी संख्या के वर्ग का इकाई का अंक
6 होता है, जिसका अंक 6 होता है और 4 भी 6 होता है [62=36 और 42=16, दोनों वर्गों का इकाई अंक 6 होता है]।
संख्या 99856 के वर्गमूल की इकाई का अंक 6 के बराबर होता है।

(iii) 998001

हल: हम जानते हैं कि किसी संख्या के वर्ग का इकाई का अंक, जिसका अंक इकाई का
स्थान 1 है, 1 है और 9 भी 1 है[92=81 जिसका इकाई स्थान 1 है]।
संख्या 998001 के वर्गमूल की इकाई का अंक 1 या 9 के बराबर होता है।

(iv) 657666025

हल: हम जानते हैं कि जिस संख्या का अंक
5 होता है, उसके वर्ग का इकाई का अंक 5 होता है।
संख्या 657666025 के वर्गमूल का इकाई का अंक 5 के बराबर होता है।

2. बिना गणना किए वह संख्या बताएँ जो वास्तव में पूर्ण वर्ग नहीं हैं।

हम जानते हैं कि 0, 2, 3, 7 और 8 अंकों से समाप्त होने वाली प्राकृत संख्याएँ पूर्ण वर्ग नहीं होती हैं।

(i) 153

हल: 153 = 3 पर समाप्त होता है।
153 एक पूर्ण वर्ग नहीं है

(ii) 257

हल: 257 = 7 पर समाप्त होता है
257 एक पूर्ण वर्ग नहीं है

(iii) 408

हल: 408 = 8 पर समाप्त होता है
408 पूर्ण वर्ग नहीं है

(iv) 441

हल: 441 = 1 पर समाप्त होता है
441 एक पूर्ण वर्ग है।

3. बार- बार घटाने की विधि से 100 और 169 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

हल: (i) 100

100 – 1 = 99
99 – 3 = 96
96 – 5 = 91
91 – 7 = 84
84 – 9 = 75
75 – 11 = 64
64 – 13 = 51
51 – 15 = 36
36 – 17 = 19
19 – 19 = 0

यहां, हमने दस बार घटाव किया है।
100 = 10

हल: (ii) 169

169 – 1 = 168
168 – 3 = 165
165 – 5 = 160
160 – 7 = 153
153 – 9 = 144
144 – 11 = 133
133 – 13 = 120
120 – 15 = 105
105 – 17 = 88
88 – 19 = 69
69 – 21 = 48
48 – 23 = 25
25 – 25 = 0

यहाँ, हमने तेरह बार घटाव किया है।
169 = 13

4. अभाज्य गुणनखंड विधि से निम्न संख्याओ का वर्गमूल ज्ञात कीजिए:

(i) 729

हल:

729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 1
729 = (3 × 3) × (3 × 3) × (3 × 3)
729 = (3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3)
729 = (3 × 3 × 3)²
729 = 3 × 3 × 3 = 27

(ii) 400

हल:

400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 1
400 = (2 × 2) × (2 × 2) × (5 × 5)
400 = (2 × 2 × 5) × (2 × 2 × 5)
400 = (2 × 2 × 5)²
400 = 2 × 2 × 5 = 20

(iii) 1764

हल:

1764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
1764 = (2 × 2) × (3 × 3) × (7 × 7)
1764 = (2 × 3 × 7) × (2 × 3 × 7)
1764 = (2 × 3 × 7)²
1764 = 2 × 3 × 7 = 42

(iv) 4096

हल:

4096 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
4096 = (2 ×2 ) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2)
4096 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2× 2) × (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)
4096 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2× 2)²
4096 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64

(v) 7744

हल:

7744 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11 × 11 × 1
7744 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (11 × 11)
7744 = (2 × 2 × 2 × 11) × (2 × 2 × 2 × 11)
7744 = (2 × 2 × 2 × 11)²
7744 = 2 × 2 × 2 × 11 = 88

(vi) 9604

हल:

9604 = 62 × 2 × 7 × 7 × 7 × 7
9604 = (2 × 2) × (7 × 7) × (7 × 7)
9604 = (2 × 7 ×7) × (2 × 7 ×7)
9604 = (2 × 7 × 7)²
9604 = 2 × 7 × 7 = 98

(vii) 5929

हल:

5929 = 7 × 7 × 11 × 11
5929 = (7 × 7) × (11 × 11)
5929 = (7 × 11) × (7 × 11)
5929 = (7 × 11)²
5929 = 7 × 11 = 77

(viii) 9216

हल:

9216 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 1
9216 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2 ) × ( 2 × 2 ) × ( 2 × 2 ) × ( 3 × 3 )
9216 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3) × (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3)
9216 = 96 × 96
9216 = (96)²
9216 = 96

(ix) 529

हल:

529 = 23 × 23
529 = (23)²
529 = 23

(x) 8100

हल:

8100 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 1
8100 = (2 × 2) × (3 × 3) × (3 × 3) × (5 × 5)
8100 = (2 × 3 × 3 × 5) × (2 × 3 × 3 × 5)
8100 = 90 × 90
8100 = (90)²
8100 = 90

5. निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे इस संख्या को भाग देने पर वह एक पूर्ण वर्ग बन जाए। इस तरह प्राप्त की गई संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।

(i) 252

हल:

252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
= (2 × 2) × (3 × 3) × 7
यहाँ, 7 को जोड़ा नहीं जा सकता।
पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए हम 252 को 7 से गुणा करेंगे।
नई संख्या = 252 × 7 = 1764

(ii) 180

हल:

180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
= (2 × 2) × (3 × 3) × 5
यहाँ, 5 को जोड़ा नहीं जा सकता।
पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए हम 180 को 5 से गुणा करेंगे।
नई संख्या = 180 × 5 = 900

(iii) 1008

हल:

1008 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7
= (2 × 2) × (2 × 2) × (3 × 3) × 7
यहाँ, 7 को जोड़ा नहीं जा सकता।
हम एक पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए 1008 को 7 से गुणा करेंगे।
नई संख्या = 1008 × 7 = 7056

(iv) 2028

हल:

2028 = 2 × 2 × 3 × 13 × 13
= (2 × 2) × (13 × 13) × 3
यहाँ, 3 को जोड़ा नहीं जा सकता।
हम एक पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए 2028 को 3 से गुणा करेंगे। नई संख्या = 2028 × 3 = 6084

(v) 1458

हल:

1458 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
= (3 × 3) × (3 × 3) × (3 × 3) × 2
यहाँ, 2 को जोड़ा नहीं जा सकता।
पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए हम 1458 को 2 से गुणा करेंगे। नई संख्या = 1458 × 2 = 2916

(vi) 768

हल:

768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
= (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × 3
यहाँ, 3 को जोड़ा नहीं जा सकता।
हम एक पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए 768 को 3 से गुणा करेंगे।
नई संख्या = 768 × 3 = 2304

6. निम्नलिखित संख्याओ में प्रत्येक में लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्याओ ज्ञात कीजिए जिससे इस संख्या को गुणा करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।

(i) 252

हल:

252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
= (2 × 2) × (3 × 3) × 7
यहाँ, 7 को जोड़ा नहीं जा सकता।
हम पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए 252 को 7 से भाग देंगे। नई संख्या = 252 ÷ 7 = 36

(ii) 2925

हल:

2925 = 3 × 3 × 5 × 5 × 13
= (3 × 3) × (5 × 5) × 13
यहाँ, 13 को जोड़ा नहीं जा सकता।
हम 2925 को 13 से भाग देकर पूर्ण वर्ग प्राप्त करेंगे। नई संख्या = 2925 ÷ 13 = 225

(iii) 396

हल:

396 = 2 × 2 × 3 × 3 × 11
= (2 × 2) × (3 × 3) × 11
यहाँ 11 को जोड़ा नहीं जा सकता।
हम 396 को 11 से भाग देकर पूर्ण वर्ग प्राप्त करेंगे। नई संख्या = 396 ÷ 11 = 36

(iv) 2645

हल:

2645 = 5 × 23 × 23
⇒ 2645 = (23 × 23) × 5
यहाँ, 5 को जोड़ा नहीं जा सकता।
हम 2645 को 5 से भाग देकर पूर्ण वर्ग प्राप्त करेंगे।
नई संख्या = 2645 ÷ 5 = 529

(v) 2800

हल:

2800 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7
= (2 × 2) × (2 × 2) × (5 × 5) × 7
यहाँ, 7 को जोड़ा नहीं जा सकता।
हम 2800 को 7 से भाग देकर पूर्ण वर्ग प्राप्त करेंगे। नई संख्या = 2800 ÷ 7 = 400

(vi) 1620

हल:

1620 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5
= (2 × 2) × (3 × 3) × (3 × 3) × 5
यहाँ, 5 को जोड़ा नहीं जा सकता।
हम 1620 को 5 से भाग देकर एक पूर्ण वर्ग प्राप्त करेंगे। नई संख्या = 1620 ÷ 5 = 324

7. एक विद्यालय में कक्षा VIII के सभी विद्यार्थियों ने प्रधानमन्त्री राष्ट्रीय राहत कोष में ₹ 2401 दान में दिए। प्रत्येक विद्यार्थी ने उतने ही रुपये दान में दिए जितने कक्षा में विद्यार्थी थे। कक्षा के विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल: प्रत्येक विद्यार्थी ने उतने रुपये दिए जितने कक्षा में विद्यार्थी है। हम कह सकते है की, कक्षा में विद्यार्थिओं की संख्या दान किए हुए राशि के वर्गमूल बराबर है।

कुल दान की गयी धनराशि = 2401

कक्षा में विद्यार्थिओं की संख्या = √2401

2401= 7 × 7 × 7 × 7

2401 = 7 × 7 = 49

अतः कक्षा में कुल 49 विद्यार्थियों की संख्या है।

8. एक बाग में 2025 पौधे इस प्रकार लगाए जाने हैं कि प्रत्येक पंक्ति में उतने ही पौधे हों, जितनी पंक्तियों की संख्या हों। पंक्तियों की संख्या और प्रत्येक पंक्ति के पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल: माना पंक्तियों की संख्या x है।
प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या = x
सभी छात्रों द्वारा कुल योगदान = x × x = x²
दिया गया,
x² = रु. 2025

x²  = 3 x 3 x 3 x 3 x 5 x 5
x²  = (3 × 3) × (3 × 3) × (5 × 5)
x² = (3 x 3 x 5) x (3 x 3 x 5)
x² = 45 x 45
x = √45×45
x = 45

अतः पंक्तियों की संख्या = 45 और प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या = 45

9. वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 4, 9 और 10 प्रत्येक से विभाजित हों जाए।

हल:

4, 9 और 10 का LCM (2 × 2 × 9 × 5) 180 है।
180 = 2 × 2 × 9 × 5
= (2 × 2) × 3 × 3 × 5
= (2 × 2) × (3 × 3) × 5
यहाँ, 5 को पेयर नहीं किया जा सकता है।
हम एक पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए 180 को 5 से गुणा करेंगे।
अत: 4, 9 और 10 से विभाज्य सबसे छोटी वर्ग संख्या = 180 × 5 = 900

10. वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो प्रत्येक 8 ,15 और 20 से विभाजित हों जाए।

हल:

8, 15 और 20 का एलसीएम (2 × 2 × 5 × 2 × 3) 120 है।
120 = 2 × 2 × 3 × 5 × 2
= (2 × 2) × 3 × 5 × 2
यहाँ 3, 5 और 2 को जोड़ा नहीं जा सकता।
हम एक पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए 120 को (3 × 5 × 2) 30 से गुणा करेंगे।
अत: 8, 15 और 20 से विभाज्य सबसे छोटी वर्ग संख्या =120 × 30 = 3600

• Examples
• प्रश्नावली 5.1
• प्रश्नावली 5.2
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