NCERT Solutions Class 8th Math Chapter – 3 चतुर्भुजों को समझना (Understanding Quadrilaterals) प्रश्नावली – 3.3

NCERT Solutions Class 8th Math Chapter – 3 चतुर्भुजों को समझना (Understanding Quadrilaterals)

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NCERT Solutions Class 8th Math Chapter – 3 चतुर्भुजों को समझना (Understanding Quadrilaterals)

Chapter – 3

चतुर्भुजों को समझना

प्रश्नावली – 3.3

1. ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। प्रत्येक कथन को परिभाषित या प्रयोग किए गए गुण द्वारा पूरा कीजिए:
(i) AD = ……
(ii) ∠DCB=……
(iii) OC = ……
(iv) m∠DAB + m∠CDA=……

हल:
(i) AD = BC (एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
(ii) ∠DCB = DAB (एक समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
(iii) OC = OA (एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं)
(iv) m DAB + m ∠CDA = 180°

2. निम्न समांतर चतुर्भुज में अज्ञात x, y , z के मानो को ज्ञात कीजिए :

हल:
(i)

y = 100° (एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण)
x + 100° = 180° (एक समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण)
x = 180° – 100° = 80°
x = z = 80° (एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण), x = 80°, y = 100° और z = 80°

(ii)
50° + x = 180° x = 180° – 50° = 130° (एक समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण) x = y = 130° (एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण)
x = z = 130° (संबंधित कोण ) )

(iii)
x = 90° (ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण)
x + y + 30° = 180° (एक त्रिभुज के कोण योग गुण)
90° + y + 30° = 180°
y = 180° – 120° = 60°
भी, y = z = 60° (वैकल्पिक कोण)

(iv)
z = 80° (संगत कोण) z = y = 80° (वैकल्पिक कोण) x + y = 180° (आसन्न कोण)
⇒ x + 80° = 180° ⇒ x = 180° – 80° = 100°

(v) 
x=28^o
y = 112o z = 28^o

3. क्या एक चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज हो सकता है यदि
(i) ∠D+∠B=180^∘∠D+∠B=180^∘ ?
(ii) AB = DC = 8 cm , AD = 4 cm और BC = 4.4 cm ?
(iii) ∠A=70^∘∠A=70^∘ और ∠C=65^∘∠C=65^∘ ?

हल:
(i) हाँ, एक चतुर्भुज ABCD एक समांतर चतुर्भुज होता है यदि ∠D + B = 180° है, लेकिन इसे
कुछ शर्तों को भी पूरा करना चाहिए जो हैं:
(a) आसन्न कोणों का योग 180° होना चाहिए।
(b) विपरीत कोण बराबर होना चाहिए।

(ii) नहीं, विपरीत भुजाओं की लंबाई समान होनी चाहिए। यहाँ, AD BC

(iii) नहीं, सम्मुख कोण समान माप के होने चाहिए।

4. एक चतुर्भुज की कच्ची ( Rough) आकृति खींचिए जो समांतर चतुर्भुज न हो परन्तु जिसके दो सम्मुख कोणों की माप बराबर हो।

ABCD एक चतुर्भुज की आकृति है जो एक समांतर चतुर्भुज नहीं है लेकिन इसके ठीक दो विपरीत
कोण हैं जो समान माप के B = D हैं। यह एक समांतर चतुर्भुज नहीं है क्योंकि A C.

5. किसी समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का अनुपात 3 : 2 है। समांतर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।

हल: मान लीजिए कि समांतर चतुर्भुज ABCD
में दो आसन्न कोणों A और ∠B की माप क्रमशः 3x और 2x है। A + ∠B = 180° 3x + 2x = 180° 5x = 180° x = 36° हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। A = C = 3x = 3 × 36° = 108° ∠B = ∠D = 2x = 2 × 36° = 72°

6. किसी समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों की माप बराबर है। समांतर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।

हल:
मान लीजिए ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग = 180°
A + ∠B = 180°
⇒ 2∠A = 180°
A = 90°
भी, 90° + B = 180°
B = 180° – 90° = 90°
A = C = 90°
B = D = 90°

7. संलग्न आकृति HOPE एक समांतर चतुर्भुज है। x, y और z कोणों की माप ज्ञात कीजिए। ज्ञात करने में प्रयोग किए गए गुणों को बताइए।

हल:
y = 40° (वैकल्पिक आंतरिक कोण)
P = 70° (वैकल्पिक आंतरिक कोण)
P = H = 70° (एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण)
z = H – 40° = 70° – 40° = 30°
H + x = 180°
70° + x = 180°
⇒ x = 180° – 70° = 110°

8. निम्न आकृतियाँ GUNS और RUNS समांतर चतुर्भुज हैं। । x तथा y ज्ञात कीजिए (लंबाई cm में है ):

हल:

(i) SG = NU और SN = GU (एक समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं) 3x = 18
x = 18/3
⇒ x =6

3y – 1 = 26 और,
3y = 26 + 1
⇒ y = 27/3=9
x = 6 और y = 9

(ii) 20 = y + 7 और 16 = x + y (एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं) y + 7 = 20
y = 20 – 7 = 13 और,
x + y = 16 ⇒
x + 13 = 16
x = 16 – 13 = 3
x = 3 और y = 13

9. दी गयी आकृति में RISK तथा CLUE दोनों समांतर चतुर्भुज हैं, x का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
K + R = 180° (एक समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं)
120° + R = 180°
R = 180° – 120° = 60°
भी, ∠R = SIL (संबंधित कोण) )
SIL = 60°
भी, ECR = ∠L = 70° (संबंधित कोण) x + 60° + 70° = 180° (एक त्रिभुज का कोण योग)
⇒ x + 130° = 180°
⇒ x = 180 ° – 130° = 50°

10. बताइए कैसे यह आकृति एक समलंब है। इसकी कौन सी दो भुजाएँ समांतर है ? (आकृति 3.26)

हल: जब एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि तिर्यक रेखा के एक ही तरफ आसन्न कोणों का योग 180° होता है तो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं। यहाँ, M + L = 100° + 80° = 180° अतः, MN | LK
चूंकि चतुर्भुज KLMN में समानांतर रेखा का एक जोड़ा है इसलिए यह एक समलम्ब है। एमएन और एलके समानांतर रेखाएं हैं।

11. आकृति 3.27 में m∠C ज्ञात कीजिए यदि AB || DC ? 

हल: m∠C + m∠B = 180° (अनुप्रस्थ के एक ही तरफ के कोण)
m∠C + 120° = 180°
m∠C = 180°- 120° = 60°

12. आकृति 3.34 में ∠P∠P तथा ∠S∠S की माप ज्ञात कीजिए यदि  SP || RQ  है| (यदि आप m∠R ज्ञात करते है, तो क्या m∠P  को ज्ञात करने की एक से अधिक विधि है ?)

हल:
∠P + Q = 180° (अनुप्रस्थ के एक ही ओर के कोण)
P + 130° = 180°
P = 180° – 130° = 50°
भी, R + S = 180° (अनुप्रस्थ के एक ही तरफ के कोण)
90° + ∠S = 180°
⇒ ∠S = 180° – 90° = 90°

इस प्रकार, P = 50° और ∠S = 90°
हां, एक से अधिक हैं एम∠पी खोजने की विधि।
PQRS एक चतुर्भुज है। सभी कोणों के मापों का योग 360° होता है।
चूँकि, हम Q, R और ∠S की माप जानते हैं।
Q = 130°, ∠R = 90° और ∠S = 90°
P + 130° + 90° + 90° = 360°
P + 310° = 360°
P = 360° – 310° = 50°

• Examples
• प्रश्नावली 3.1
• प्रश्नावली 3.2
• प्रश्नावली 3.4

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