NCERT Solutions Class 8th Math Chapter – 11 सीधा और प्रतिलोम समानुपात (Direct and Inverse Proportions) प्रश्नावली – 11.1 in Hindi

1. एक रेलवे स्टेशन के निकट कार पार्किंग शुल्क इस प्रकार है

4 घंटों तक रू. 60
8 घंटों तक रू. 100
12 घंटों तक रू. 140
24 घंटों तक रू. 180
जांच कीजिए कि क्या कार पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के प्रत्यक्ष अनुपात में है।

हल:
शुल्क प्रति घंटा:
C 1 = 60/4 = रु. 15
C 2 = 100/8 = रु. 12.50
C 3 = 140/12 = रु. 11.67
C 4 = 180/24 = रु. 7.50
यहां, प्रति घंटे शुल्क समान नहीं हैं, अर्थात, C1 ≠ C2 ≠ C3 ≠ C4
इसलिए, पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के सीधे अनुपात में नहीं हैं।

2. एक पेंट के मूल मिश्रण के 8 भागों में लाल रंग के पदार्थ का 1 भाग मिलाकर मिश्रण तैयार किया जाता है। निम्नलिखित सारणी में मूल मिश्रण के वे भाग ज्ञात कीजिए जिन्हें मिलाए जाने की आवश्यकता है

हल: मान लीजिए कि लाल रंगद्रव्य के भागों और आधार के भागों का अनुपात a/b है।
स्थिति 1: यहाँ, a₁ = 1, b₁ = 8
a₁/b₁ = 1/8 = k (मान लीजिए)

स्थिति 2: जब a₂ = 4, b₂ = ?
b₂ = a₂/k = 4/(1/8) = 4×8 = 32

स्थिति 3: जब a₃ = 7, b₃ = ?
b₃ = a₃/k = 7/(1/8) = 7×8 = 56

स्थिति 4: जब a₄ = 12, b₄ = ?
b₄ = a₄/k = 12/(1/8) = 12×8 = 96

स्थिति 5: जब a₅ = 20, b₅ = ?
b₅ = a₅/k = 20/(1/8) = 20×8 = 160
सभी मामलों के परिणामों को मिलाएं, हमारे पास है

3. प्रश्न 2 में यदि लाल रंग के पदार्थ के 1 भाग के लिए 75 mL मूल मिश्रण की आवश्यकता है, तो मूल मिश्रण के 1800 ml में हमें कितना लाल रंग का पदार्थ मिलाना चाहिए?

हल: माना, 1800 mL में मिलाया गया लाल रंग का पदार्थ = x

क्योंकि लाल रंग का पदार्थ, मूल मिश्रण के प्रत्यक्ष अनुपात में है। अतः
∴ 1/75 = x/1800
⇒ 75 × x = 1 × 1800
⇒ 1 × 1800/75 = 24 भाग
अतः मूल मिश्रण के 1800 mL में हमें 24 भाग लाल रंग का पदार्थ मिलाना चाहिए।

4. किसी सॉफ्ट ड्रिंक फैक्ट्री में एक मशीन 840 बोतलें 6 घंटे में भरती है। वह मशीन पांच घंटें में कितनी बोतलें भरेगी?

हल: माना पाँच घंटे में भरी गई बोतलों की संख्या x है।
यहां घंटों और बोतलों का अनुपात सीधे अनुपात में है।
∴ 6/840 = 5/x
⇒ 6x = 5 × 840
⇒ x = 5 × 840/6 = 700
अत: मशीन पाँच घंटे में 700 बोतलें भर देगी।

5. एक बैक्टीरिया या जीवाणु के फोटोग्राफ को 50,000 गुना आवर्धित करने पर उसकी लंबाई 5 cm हो जाती है जैसा कि संलग्न चित्र में दिखाया गया है। इस बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाई क्या है? यदि फोटोग्राफ को केवल 20,000 गुना आवर्धित किया जाए, तो उसकी आवर्धित लंबाई क्या होगी?

हल: माना जीवाणुओं की बढ़ी हुई लंबाई x है।
बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाई = 5/500000 = 1/10000 सेमी = 10-4 सेमी

यहां बैक्टीरिया की लंबाई और बढ़ी हुई लंबाई सीधे अनुपात में होती है।
5/50000 = x/20000
⇒ x × 50000 = 5 × 20000
⇒ x = 5 × 20000/50000
⇒ x = 2 cm
अतः जीवाणुओं की बढ़ी हुई लंबाई 2 cm है।

6. एक जहाज के मॉडल में उसका मस्तूल 9 cm ऊंचा है जबकि वास्तविक जहाज का मस्तूल 12m ऊंचा है। यदि जहाज की लंबाई 28 m है तो उसके मॉडल की लंबाई कितनी है?

हल: मान लीजिए मॉडल शिप की लंबाई x है।

यहां मस्तूल की लंबाई और जहाज की वास्तविक लंबाई सीधे अनुपात में हैं।
12/9 = 28/x
⇒ x × 12 = 28 × 9
⇒ x = 28 × 9/12
⇒ x = 21cm
इसलिए मॉडल जहाज की लंबाई 21 cm है।

7. मान लीजिए 2 kg चीनी में 9×10 ⁶क्रिस्टल हैं। निम्नलिखित चीनी में कितने चीनी के क्रिस्टल होंगें?

(i) 5 kg

हल: मान लीजिए चीनी के क्रिस्टल x हैं।

यहाँ, चीनी का भार और क्रिस्टल की संख्या सीधे अनुपात में हैं।
2/9 × 10⁶ = 5/x
⇒ x × 2 = 5 × 9 × 10⁶ 
⇒ x = 5 × 9 × 10⁶/2
⇒ 22.5 × 10⁶ = 2.25 × 10⁷
अतः शर्करा के क्रिस्टलों की संख्या 2.25 × 10⁷ है।

(ii) माना चीनी के क्रिस्टल x हैं।

हल:

यहाँ चीनी का भार और क्रिस्टलों की संख्या का सीधा अनुपात है।
2/9 × 10⁶ = 1.2/x
⇒ x × 2 = 1.2 × 9 × 10⁶ 
⇒ x = 1.2 × 9 × 10⁶/2
⇒ 0.6 × 9 × 10⁶ = 5.4 × 10⁶
अतः चीनी के क्रिस्टलों की संख्या 5.4×10⁶ है।

8. रश्मि के पास एक सड़क का मानचित्र है जिसके पैमाने में 1 cm की दूरी 18 km निरूपित करती है। वह उस सड़क पर अपनी गाड़ी से 72 km की दूरी तय करती है। उसके द्वारा तय की गई दूरी मानचित्र में क्या होगी?

हल: मान लीजिए कि मानचित्र में तय की गई दूरी x है।

यहाँ मानचित्र में तय की गई वास्तविक दूरी और दूरी का सीधा अनुपात है।
18/1 = 72/x
⇒ x × 18 = 72 × 1
⇒ x = 72 × 1/18
⇒ x = 4 cm
अत: मानचित्र में तय की गई दूरी 4 cm है।

9. एक 5 m 60 cm ऊंचे ऊर्ध्वाधर खंभे की छाया की लंबाई 3 m 20 cm है। उसी समय पर ज्ञात कीजिए।
(i) 10 m 50 cm ऊंचे एक अन्य खंभे की छाया की लंबाई
(ii) उस खंभे की ऊंचाई जिसके छाया की लंबाई 5 m है।

हल: यहाँ ध्रुव की ऊँचाई और छाया की लंबाई का सीधा अनुपात है।
और 1 m = 100 cm
5 m 60 cm = 5×100+60 = 560 cm
3 m 20 cm = 3×100+20 = 320 cm
10 m 50 cm = 10×100+50 = 1050 cm
5 m = 5 × 100 = 500 cm

(i) माना दूसरे ध्रुव की छाया की लंबाई x है।

560/320 = 1050/x
⇒ x × 560 = 1050 × 320
⇒ x = 1050 × 320/560
⇒ x = 600 cm = 6 m
अत: दूसरे खम्भे की छाया की लंबाई 6 m है।

(ii) माना खम्भे की ऊँचाई x है।

560/320 = x/500
⇒ x × 320 = 560 × 500
⇒ x = 560 × 500/520
⇒ x = 875 cm = 8 cm 75 m
अतः खम्भे की ऊँचाई 8 मी 75 सेमी है।

10. माल से लदा हुआ एक ट्रक 25 मिनट में 14 km चलता है। यदि चाल वही रहे तो वह 5 घंटे में कितनी दूरी तय कर पाएगा?

हल: माना 5 घंटे में तय की गई दूरी x m है।
1 घंटा = 60 m
इसलिए, 5 घंटे = 5×60 = 300 m

यहां तय की गई दूरी और समय सीधे अनुपात में है।
14/25 = x/300
⇒ 25x = 300(14)
⇒ 14 × 300/25
⇒ x = 168
अतः एक ट्रक 5 घंटे में 168 km की यात्रा कर सकता है।