NCERT Solutions Class 7th गणित Chapter – 9 परिमाप और क्षेत्रफल (Perimeter and Area) प्रश्नावली – 9.2 in Hindi

NCERT Solutions Class 7th गणित Chapter – 9 परिमाप और क्षेत्रफल (Perimeter and Area)

NCERT Solutions Class 7th गणित Chapter – 9 परिमाप और क्षेत्रफल (Perimeter and Area) प्रश्नावली 9.2 in Hindi हम इस अध्याय में एक त्रिभुज का क्षेत्रफल, परिमा, क्षेत्रफल, आधार, चतुर्भुज , ऊँचाई, अधिक कोण त्रिभुज (obtuse angled triangle), वृत्त (Circle), वृत्त की परिधि, वृत्त का क्षेत्रफल, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल और class क्लास आदि के बारे में पढ़ेंगे।

NCERT Solutions Class 7th गणित Chapter – 9 परिमाप और क्षेत्रफल (Perimeter and Area)

Chapter – 9

परिमाप और क्षेत्रफल

प्रश्नावली – 9.2

प्रश्न 1. निम्न त्रिज्याओं वाले वृत्तों की परिधि ज्ञात कीजिए (π = 22/7 लीजिए)

(a) 14 cm

हल: दिया है, वृत्त की त्रिज्या = 14 cm
वृत्त की परिधि = 2πr
⇒ 2 × (22/7) × 14
⇒ 2 × 22 × 2
⇒ 88 cm

(b) 28 mm

हल: दिया है, वृत्त की त्रिज्या = 28 cm
वृत्त की परिधि = 2πr
⇒ 2 × (22/7) × 28
⇒ 2 × 22 × 4
⇒ 176 cm

(c) 21 cm

हल: दिया है, वृत्त की त्रिज्या = 21 cm
वृत्त की परिधि = 2πr
⇒ 2 × (22/7) × 21
⇒ 2 × 22 × 3
⇒ 132 cm

प्रश्न 2. निम्न वृत्तों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। दिया गया है:

(a) त्रिज्या = 14mm (π = 22/7 लीजिए)

हल: दिया है, वृत्त की त्रिज्या = 14 mm
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
⇒ 22/7 × 14²
⇒ 22/7 × 196
⇒ 22 × 28
⇒ 616 mm²

(b) व्यास = 49 m

हल: दिया है, वृत्त का व्यास (d) = 49 m
त्रिज्या (r) = d/2
⇒ 49/2
⇒ 24.5 m

वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
⇒ 22/7 × (24.5)²
⇒ 22/7 × 600.25
⇒ 22 × 85.75
⇒ 1886.5 m²

(c) त्रिज्या = 5cm

हल: दिया है, वृत्त की त्रिज्या = 5 cm
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
⇒ 22/7 × 5²
⇒ 22/7 × 25
⇒ 550/7
⇒ 78.57 cm²

प्रश्न 3. यदि एक वृत्ताकार शीट की परिधि 154m हो तो इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए। शीट का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए)

हल: प्रश्नानुसार, वृत्त की परिधि = 154 m
वृत्त की परिधि = 2πr
154 = 2 × (22/7) × r
154 = 44/7 × r

r = (154 × 7)/44
r = (14 × 7)/4
r = (7 × 7)/2
r = 49/2
r = 24.5 m

अब,
वृत्त का क्षेत्रफल = r²
⇒ 22/7 × (24.5)²
⇒ 22/7 × 600.25
⇒ 22 × 85.75
⇒ 1886.5 m²

अतः वृत्त की त्रिज्या 24.5 है और वृत्त का क्षेत्रफल 1886.5 है।

प्रश्न 4. 21 m व्यास वाले एक वृत्ताकार बगीचे के चारों ओर माली बाड़ लगाना चाहता है। खरीदे जाने वाले आवश्यक रस्से की लंबाई ज्ञात कीजिए। यदि वह 2 पूरे चक्कर की बाड़ बनाना चाहता है। 4 रू प्रति मीटर की दर से रस्से पर व्यय ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए)

हल: प्रश्नानुसार,
वृत्ताकार बगीचे का व्यास = 21 m
हम जानते हैं कि, त्रिज्या (r) = d/2
⇒ 21/2
⇒ 10.5 m

अब,
वृत्त की परिधि = 2πr
⇒ 2 × (22 /7) × 10.5
⇒ 462/7
⇒ 66 m

इसलिए, आवश्यक रस्सी की लंबाई = 2 × 66 = 132 m
1 m रस्सी की लागत = ₹ 4 [दिया गया]
132 m रस्सी की लागत = ₹ 4 × 132
⇒ ₹ 528

प्रश्न 5. 4 cm त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार शीट मे से 3 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त को निकाल दिया जाता है। शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

हल: प्रश्नानुसार,
वृत्ताकार शीट की त्रिज्या R = 4 cm
निकाली जाने वाली त्रिज्या का एक वृत्त r = 3 cm

अब,
शेष शीट का क्षेत्रफल = R² – πr²
⇒ π (R2 – r²)
⇒ 3.14 (42 – 3²)
⇒ 3.14 (16 – 9)
⇒ 3.14 × 7
⇒ 21.98 cm²

अतः, शेष शीट का क्षेत्रफल 21.98 cm² है।

प्रश्न 6. साइमा 1.5m व्यास वाले एक वृत्ताकार टेबल कवर के चारों ओर किनारी लगाना चाहती है। आवश्यक किनारी की लंबाई ज्ञात कीजिए और ₹ 15 प्रति मीटर की दर से किनारी लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

हल: प्रश्नानुसार, वृत्ताकार टेबल कवर का व्यास = 1.5 m
हम जानते हैं कि, त्रिज्या (r) = d/2
⇒ 1.5/2
⇒ 0.75 m

अब,
वृत्ताकार टेबल कवर की परिधि = 2πr
⇒ 2 × 3.14 × 0.75
⇒ 4.71 m 

तो, फीता की लंबाई = 4.71 m
1 m फीता की लागत = ₹ 15 [दिया है]
4.71 m फीता की लागत = ₹ 15 × 4.71
⇒ ₹ 70.65

प्रश्न 7. दी गई आकृति, व्यास के साथ एक अर्धवृत्त है। उसका परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल: प्रश्नानुसार,
अर्धवृत्त का व्यास = 10 cm
हम जानते हैं कि, त्रिज्या (r) = d/2
⇒ 10/2
⇒ 5 cm

अब,
अर्धवृत्त की परिधि
⇒ (22 /7) × 5
⇒ 110/7
⇒ 15.71 cm

अब,
दी गई आकृति का परिमाप = अर्धवृत्त की परिधि + अर्धवृत्त का व्यास
⇒ 15.71 + 10
⇒ 25.71 cm

प्रश्न 8. 15 रू प्रति वर्ग मीटर की दर से, 1.6 m व्यास वाले एक वृत्ताकार टेबल के ऊपरी सतह पर पॉलिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

हल: प्रश्नानुसार,
वृत्ताकार टेबल-टॉप का व्यास = 1.6 m
हम जानते हैं कि, त्रिज्या (r) = d/2
⇒ 1.6/2
⇒ 0.8 m

तब,
वृत्ताकार का क्षेत्रफल = r²
⇒ 3.14 × 0.8²
⇒ 3.14 × 0.8 × 0.8
⇒ 2.0096 m²
पॉलिशिंग की लागत 1 m² क्षेत्र = 15 [दिया है]
पॉलिशिंग की लागत 2.0096 m 2 क्षेत्र = 15 × 2.096
⇒ 30.144

इसलिए, पॉलिशिंग की लागत 2.0096 m² क्षेत्र है।

प्रश्न 9. शाझली 44 cm लंबाई वाली एक तार लेती है और उसे एक वृत्त के आकार में मोड़ देती है। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। यदि इस तार को दुबारा एक वर्ग के आकार में मोड़ा जाता है तो इसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई क्या होगी? कौन सी आकृति अधिक क्षेत्रफल घेरती है वृत्त या वर्ग? (π = 22/7 लीजिए)

हल: प्रश्नानुसार,
परिधि = 2πr = 44
2 × 22/7 × r = 44
r = 7
सेमीवृत्त का क्षेत्रफल = πr² = 22/7 × 7²
⇒ 22/7 × 7 × 7
⇒ 22 × 7 = 154 cm²

अब,
यदि तार को एक वर्ग में मोड़ा जाता है, तो तार की लंबाई = वर्ग का परिमाप
44 = 4 x भुजा
44 = 4s = 44/4s = 11cm
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)² = (11)²
⇒ 121 cm²

इसलिए, वृत्त का क्षेत्रफल अधिक है वर्ग की तुलना में।

प्रश्न 10. 14 cm त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार गत्ते की शीट में से 3.5 cm त्रिज्या वाले दो वृत्तों को और 3 cm लंबाई तथा 1 cm चौड़ाई वाले एक आयत को निकाल दिया जाता है (जैसा कि आकृति में दिखाया गया है) शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 22/7 लीजिए)।

हल: प्रश्नानुसार,
वृत्ताकार कार्ड शीट की त्रिज्या = 14 cm
दो छोटे वृत्तों की त्रिज्या = 3.5 cm
आयत की लंबाई = 3 cm
आयत की चौड़ाई = 1 cm
पहले हमें क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा शेष क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए वृत्ताकार कार्ड शीट, दो वृत्त और आयत का।

अब,
वृत्ताकार का क्षेत्रफल = r²
⇒ 22/7 × 14²
⇒ 22/7 × 14 × 14
⇒ 22 × 2 × 14
⇒  616 cm

2 छोटे वृत्तों का क्षेत्रफल = 2 × πr²
⇒ 2 × (22/7 × 3.5²)
⇒ 2 × (22/7 × 3.5 × 3.5)
⇒ 2 × ((22/7) × 12.25)
⇒ 2 × 38.5
⇒ 77 cm²
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
⇒ 3 × 1
⇒ 3 cm²

अब,
शेष शीट का क्षेत्रफल = वृत्ताकार कार्ड शीट का क्षेत्रफल – (दो छोटे वृत्तों का क्षेत्रफल + आयत का क्षेत्रफल)
⇒ 616 – (77 + 3)
⇒ 616 – 80
⇒ 536 cm²

अत: शेष शीट का क्षेत्रफल 536 cm² है।

प्रश्न 11. 6 cm भुजा वाले एक वर्गाकार एल्युमिनियम शीट के टुकड़े में से 2 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त को काट दिया जाता है। शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए? (π = 3.14 लीजिए)

हल: प्रश्नानुसार,
वृत्त की त्रिज्या = 2 cm
शीट की भुजा = 6 cm
पहले हमें वर्गाकार एल्युमिनियम शीट और वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा ताकि शेष क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सके।

अब,
वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा²
इसलिए, वर्ग एल्युमिनियम शीट का क्षेत्रफल = 62 = 36 cm²
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
⇒ 3.14 × 2 × 2
⇒ 3.14 × 4
⇒ 12.56 cm²

अब,
एल्यूमीनियम का क्षेत्रफल शीट बायीं ओर = वर्गाकार एल्युमिनियम शीट का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
⇒ 36 – 12.56
= 23.44 cm²

अत: बची हुई एल्युमिनियम शीट का क्षेत्रफल 23.44 cm² है।

प्रश्न 12. एक वृत्त का परिधि 31.4 cm है। वृत्त की त्रिज्या और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए? (π = 3.14 लीजिए)

हल: प्रश्नानुसार,
एक वृत्त की परिधि = 31.4 cm
एक वृत्त की परिधि = 2πr
31.4 = 2 × 3.14 × r
31.4 = 6.28 × r
31.4/6.28 = r
r = 5 cm

तब,
वृत्त का क्षेत्रफल = r²
⇒ 3.14 × (5 cm)²
⇒ 3. 14 × 25 cm²
⇒ 78.5 cm²

इसलिए, वृत्त की त्रिज्या 5 cm है और वृत्त का क्षेत्रफल 78.5 cm² है।

प्रश्न 13. एक वृत्ताकार फूलों की क्यारी के चारों ओर 4m चौड़ा पथ है तथा फूलों की क्यारी का व्यास 66m हैं इस पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए? (π = 3.14 लीजिए)

हल: प्रश्नानुसार, फूलों की क्यारी का व्यास = 66 m फिर,
फूलों की क्यारी की त्रिज्या = d/2
⇒ 66/2
⇒ 33 m
फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल = πr²
⇒ 3.14 × 33²
⇒ 3.14 × 1089
⇒ 3419.46 m

अब हमें फूलों की क्यारी और पथ का क्षेत्रफल एक साथ
तो, फूलों की क्यारी और पथ की एक साथ त्रिज्या = 33 + 4 = 37  
फूलों की क्यारी और पथ का एक साथ क्षेत्रफल = r²
⇒ 3.14 × 37²
⇒ 3.14 × 1369
⇒ 4298.66 m

अंत में,
पथ का क्षेत्रफल = फूलों की क्यारी और पथ का एक साथ क्षेत्रफल – फूलों की क्यारी का
क्षेत्रफल = 4298.66 – 3419.46
⇒ 879.20 m²
इसलिए, पथ का क्षेत्रफल 879.20 m² है।

प्रश्न 14. एक वृत्ताकार फूलों के बगीचे का क्षेत्रफल 314 m² हैं बगीचे के केंद्र में एक घूमने वाला फव्वारा लगाया जाता है जो अपने चारो ओर 12m त्रिज्या के क्षेत्रफल में पानी का छिड़काव करता हैं क्या फव्वारा पूरे बगीचे में पानी का छिड़काव कर सकेगा। (π = 3.14)

हल: प्रश्न से यह दिया गया है कि, वृत्ताकार फूलों के बगीचे का क्षेत्रफल = 314 m² बगीचे के केंद्र में छिड़काव करने वाला एक ऐसा क्षेत्र कवर कर सकता है जिसकी त्रिज्या = 12 m

गोलाकार फूलों के बगीचे का क्षेत्रफल = r²
314 = 3.14 × r²
314/3.14 = r²
r² = 100
r = √100
r = 10 m
वृत्ताकार फूलों के बगीचे की त्रिज्या 10 m है।

चूंकि, स्प्रिंकलर 12 m त्रिज्या के क्षेत्र को कवर कर सकता है
इसलिए स्प्रिंकलर पूरे बगीचे को पानी देगा।

प्रश्न 15. आकृति में अंतः और बाह्य वृत्तों की परिधि ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

हल: आकृति से, आंतरिक वृत्त की त्रिज्या = बाहरी वृत्त त्रिज्या – 10
⇒ 19 – 10
⇒ 9 m
आंतरिक वृत्त की परिधि = 2πr
⇒ 2 × 3.14 × 9
⇒ 56.52 m

अब,
बाहरी वृत्त की त्रिज्या = 19 m
की परिधि बाहरी वृत्त = 2πr
⇒ 2 × 3.14 × 19
⇒ 119.32 m

इसलिए, आंतरिक वृत्त की परिधि 56.52 m है और बाहरी वृत्त की परिधि 119.32 m है।

प्रश्न 16. 28cm त्रिज्‍या वाले एक पहिए के 352m दूरी तय करने के लिए कितनी बार घुमाना पड़ेगा? (π = 22/7 लीजिए)

हल: दिया है, पहिये की त्रिज्या = 28 cm
कुल दूरी = 352 m = 35200 cm
पहिया की परिधि = 2πr
⇒ 2 × 22/7 × 28
⇒ 2 × 22 × 4
⇒ 176 cm
अब हम पहिए के घूमने की
संख्या ज्ञात करनी है,

पहिए को कितनी बार घूमना चाहिए = पहिए द्वारा तय की गई कुल दूरी / पहिए की परिधि
⇒ 352 m/176 cm
⇒ 35200 cm/176 cm
⇒ 200

इसलिए, पहिया 200 बार घूमता है।

प्रश्न 17. एक वृत्ताकार घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई 15 cm है। मिनट की सुई को नोक 1 घंटे में कितनी दूरी तय करती है। (π = 3.14 लीजिए)

हल: प्रश्नानुसार, वृत्ताकार घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई = 15 cm
मिनट की सुई की नोक द्वारा 1 घंटे में तय की गई दूरी = घड़ी की परिधि
⇒ 2πr
⇒ 2 × 3.14 × 15
⇒ 94.2 cm

इसलिए, मिनट की सुई 1 घंटे में 94.2 cm चलती है।

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