NCERT Solutions Class 7th Maths Chapter – 11 घातांक और घात (Exponents and Powers) Examples in Hindi

NCERT Solutions Class 7th Maths Chapter – 11 घातांक और घात (Exponents and Powers)

NCERT Solutions Class 7th Maths Chapter – 11 Exponents and Powers (घातांक और घात) Examples in Hindi इस अध्याय में हम घातांक, घात, आधार (Base), ऊपर घाट (Power), घातांकीय रूप (Exponential Form), घातांको के नियम, एक ही आधार वाली घाटों का गुणक, एक ही आधार वाली घाटों का विभाजन, एक घाट की घाट लेना, समान घातांको वाली घाटों का गुणक, समान घातांको वाली घाटों का विभाजन, शून्य घातांक वाली संख्याएँ और Class 7th Maths Chapter – 11 Exponents and Powers (घातांक और घात) Examples in Hindi

NCERT Solutions Class 7th Maths Chapter – 11 घातांक और घात (Exponents and Powers)

Chapter – 11

बीजीय व्यंजक

Examples

उदाहरण 1. 256 को 2 की घात के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल: हमें प्राप्त है 256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
अत: हम कह सकते हैं कि 256 = 2⁸

उदाहरण 2. 2³ और 3² में कौन बड़ा है?

हल: हमें प्राप्त है कि 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 है तथा 3² = 3 x 3 = 9 है।
चूँकि 9 > 8 है, इसलिए 3² संख्या 2³ से बड़ा है।

उदाहरण 3. 8² और 2⁸ में कौन बड़ा है ?

हल: 8² = 8 × 8 = 64 है।
2⁸ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256 है।
स्पष्टतया 2⁸ > 8²

उदाहरण 4. a³ b², a² b³, b² a³, और b³ a² को प्रसारित रूप में लिखिए। क्या ये सभी बराबर हैं?

हल:
a³ b² = a³ x b²
= (a x a x a) x (b x b)
= a x a x a x b x b
a² b³ = a² x b³
= a x a x b x b x b
b² a³ = b² x a³
= b x b x a x a x a
b³ a² = b³ x a²
= b x b x b x a x a

ध्यान दीजिए कि पद a³ b² और a² b³ की स्थिति में, a और b की घातें भिन्न-भिन्न हैं। इस प्रकार, a³ b² और a² b³ भिन्न-भिन्न हैं।

इसके विपरीत, a³ b² और b² a³ बराबर (एक ही) हैं, चूँकि इनमें a और b की घातें एक ही हैं। गुणनखंडों के क्रम से कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

इस प्रकार, a³ b² = a³ x b² = b² x a³ = b² a³ है।

इसी प्रकार a² b³ और b³ a² भी बराबर हैं।

उदाहरण 5. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) 72
(ii) 432
(iii) 1000
(iv) 16000

हल: (i) 72 = 2 × 36 = 2 × 2 × 18
= 2 × 2 × 2 × 9
= 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²

इस प्रकार_72 = 23 × 32 (वांछित अभाज्य गुणनखंडों की घातों गुणनफल वाला रूप)

(ii) 432 = 2 × 216 = 2 × 2 × 108 = 2 × 2 × 2 × 54
= 2 × 2 × 2 × 2 × 27 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 9
= 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

या 432 = 2⁴ × 3³ (वांछित रूप)

(iii) 1000 = 2 × 500 = 2 × 2 × 125
= 2 × 2 × 2 × 125
= 2 × 2 × 2 × 5 × 25 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5

या 1000 = 2³ x 5³

(iv) 16000 16 × 1000 = (2×2×2×2) ×1000 (चूँकि 16 = 2 × 2 × 2 × 2 है।)
= (2×2×2×2) × (2 × 2 × 2 × 5x5x5) (चूँकि 1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 है।)
= (2×2×2×2× 2 × 2 × 2) × (5 × 5 × 5)

या, 16000 = 2⁷ × 5³

उदाहरण 6. निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए।
(1)⁵, (−1)³, (−1)⁴, (−10)³ और (-5)⁴:

हल:
(i) हमें प्राप्त है, (1)⁵ = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1
वास्तव में, 1 की कोई भी घात 1 के बराबर होती है।

(ii) (−1)³ = (−1) × (−1) × (−1) = 1 × (−1) = −1

(iii) (-1)⁴ = (-1) × (−1) × (−1) × (−1) = 1 × 1 = 1
आप इसकी जाँच कर सकते हैं कि (- 1) की कोई भी विषम घात (−1) के बराबर होती है तथा (- 1) की कोई भी सम घात (+1) के बराबर होती है।

(iv) (-10)³ = (-10) × (−10) × (−10) = 100 × (−10) = −1000

(v) (-5)⁴ = (-5) × (−5) × (−5) × (−5) = 25 × 25 = 625

उदाहरण 7. क्या आप बता सकते हैं कि (5²) x 3 और (5²)³ में से कौन बड़ा है?

हल: (5²) × 3 का अर्थ है कि 5² को 3 से गुणा किया गया है, अर्थात् यह
5 × 5 × 3 = 75

परंतु (5²)³ का अर्थ है कि 52 का स्वयं से तीन बार गुणा किया गया है, अर्थात् यह
5² x 5² x 5² = 5⁶ = 15625 है।

अतः, (5²)³ > (5²) × 3 है।

उदाहरण 8. निम्नलिखत पदों को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) (2 × 3)⁵
(ii) (2a)⁴
(iii) (-4m)³

हल:
(i) (2 × 3)⁵ = (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3)
= (2 × 2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3 × 3 × 3)
= 2⁵ × 3⁵

(ii) (2a)⁴ = 2a × 2a × 2a × 2a
= (2 × 2 × 2 × 2) × (a × a × a × a)
= 2⁴ x a⁴

(iii) (-4m)³ = (-4 x m)³
= (-4 × m) × (4 × m) × (-4 × m)
= (-4) × (-4) × (-4) × (m × m × m) = (-4)³ × (m)³

उदाहरण 9. प्रसार कीजिए:

(i) (3/5)⁴
(ii) (-4/7)⁵

हल:
(i) (3/5)⁴ = 3⁴/5⁴ = 3 × 3 × 3 × 3/5 x 5 x 5 x 5
(ii) (-4/7)⁵ = (-4)⁵/7⁵ = (-4) x (-4) x (-4) x (-4) x (-4)/7 x 7 x 7 x 7 x 7

उदाहरण 10. 8 × 8 x 8 × 8 के लिए, आधार 2 लेते हुए, इसे घातांकीय रूप में लिखिए।

हल: ज्ञात है कि, 8 x 8 × 8 × 8 = 8⁴
परंतु हम जानते हैं कि 8 = 2 × 2 × 2 = 2³ है।
अतः, 8⁴ = (2³)⁴ = 2³ × 2³ × 2³ × 2³

= 2^{3 × 4} (आप (a^m)ⁿ = a^mn का भी प्रयोग कर सकते हैं।)
=2¹²

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