NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 9 अनुक्रम तथा श्रेणी (Sequences and Series) विविध प्रश्नावली

June 15, 2022

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 9 अनुक्रम तथा श्रेणी (Sequences and Series) विविध प्रश्नावली

Textbook	NCERT
Class	Class 11th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 9
Chapter Name	अनुक्रम तथा श्रेणी
Mathematics	Class 11th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 9 अनुक्रम तथा श्रेणी (Sequences and Series) विविध प्रश्नावली

? Chapter – 9?

✍अनुक्रम तथा श्रेणी✍

?विविध प्रश्नावली?

दर्शाइए कि किसी समांतर श्रेणी के $(m + n)$ वें तथा $(m - n)$ वें पदों का योग mवें पद का दुगुना है।

?‍♂️हल – मान लीजिए कि a और d क्रमशः AP का पहला पद और सार्व अंतर है।
हम जानते हैं कि एक AP का kवाँ पद
ak = a + (k –1) d
So, a_m₊_n = a + (m + n –1) d
और, a_m_–_n = a + (m – n –1) d
a_m= a + (m –1) d
इस प्रकार,
a_m₊_n + a_m_–_n = a + (m + n –1) d + a + (m – n –1) d
= 2a + (m + n -1 + m – n -1) d
= 2a + (2m – 2) d
= 2a + 2 (m – 1) d
= 2 [a + (m – 1) d]
= 2am
इसलिए, (m + n) का योगएक एपी के वें और (एम – एन) वें पद एम टी एच टर्म के दोगुने के बराबर हैं

2. यदि किसी समांतर श्रेणी की तीन संख्याओ का योग 24 है तथा उनका गुणनफल 440 है, तो संख्याएँ ज्ञात किजिए।

?‍♂️हल – आइए AP में तीन संख्याओं को a – d, a, और a + d मानें।
फिर, प्रश्न से हमें
(a – d) + (a) + (a + d) = 24 … (i)
3a = 24
a = 8
और,
(a – d) a (a + d) = 440 … (ii)
(8 – d) (8) (8 + d) = 440
(8 – d) (8 + d) = 55
64 – d2 = 55
d2 = 64 – 55 = 9
∴ d = ± 3
इस प्रकार,
जब d = 3, संख्याएँ 5, 8 और 11 होती हैं और
जब d = -3, संख्याएँ 11, 8 और 5
इसलिए, तीन संख्याएँ 5, 8 और 11 हैं।

3. माना की किसी समान्तर श्रेणी के n , 2n तथा 3n पदों का योगफल क्रमशः $S_{1}, S_{2}$ तथा $S_{3}$ है, तो दिखाइए कि $S_{3} = 3 (S_{2} - S_{1})$

?‍♂️हल – मान लीजिए कि a और d क्रमशः AP का पहला पद और सार्व अंतर है।
तो हमारे पास

4. 200 तथा 400 के मध्य आने वाली उन सभी संख्याओ का योगफल ज्ञात किजिए जो 7 से विभाजित हो।

?‍♂️हल – पहले 200 और 400 के बीच की संख्याएँ ज्ञात करते हैं जो 7 से विभाज्य हैं
। संख्याएँ हैं:
203, 210, 217, … 399
यहाँ, पहला पद, a = 203
अंतिम पद, l = 399 और
सामान्य अंतर , d = 7
मान लें कि AP के पदों की संख्या n है।
अत: a = 399 = a + (n -1) d
399 = 203 + (n -1) 7
7 (n -1) = 196
n -1 = 28
n = 29
तब, AP के 29 पदों का योग द्वारा दिया गया है –

अतः अभीष्ट योग 8729 है।

5. 1 से 100 तक आने वाले उन सभी पूर्णांकों का योगफल ज्ञात किजिए जो 2 या 5 से विभाजित हो।

?‍♂️हल – पहले आइए 1 से 100 तक के पूर्णांक ज्ञात करें, जो 2 से विभाज्य हैं।
और, वे 2, 4, 6… 100 हैं।
स्पष्ट रूप से, यह पहले पद के साथ एक AP बनाता है और सामान्य अंतर दोनों 2 के बराबर है।
तो, हमारे पास100
= 2 + (n -1) 2
n = 50
है, इसलिए योग है

अब, 1 से 100 तक के पूर्णांक, जो 5 से विभाज्य हैं, 5, 10… 100 हैं।
यह एक AP भी बनाता है जिसका पहला पद और सार्व अंतर दोनों 5 के बराबर है।
इसलिए, हमारे पास
100 = 5 + (n – 1) 5
5n = 100
n = 20
इसलिए, योग है

अंत में, वे पूर्णांक जो 2 और 5 दोनों से विभाज्य हैं, 10, 20, … 100
हैं। और यह एक AP भी बनाता है जिसका पहला पद और सार्व अंतर दोनों 10 के बराबर हैं।
इसलिए, हमारे पास
100 = 10 + (n – 1)(10)
100 =
10एन एन = 10

अत: अभीष्ट योग = 2550 + 1050 – 550 = 3050
इसलिए, 1 से 100 तक के उन पूर्णांकों का योग जो 2 या 5 से विभाज्य हैं, 3050 है।

6. दो अंको की उन सभी संख्याओ का योगफल ज्ञात किजिए, जिनको 4 से विभाजित करने पर शेषफल 1 हो |

?‍♂️हल – हमें पहले दो अंकों की संख्या ज्ञात करनी है, जिसे 4 से विभाजित करने पर 1 शेषफल प्राप्त होता है।
वे हैं: 13, 17, … 97।
जैसा कि देखा गया है कि यह श्रृंखला पहले पद (ए) 13 और सामान्य अंतर (डी) के साथ एक एपी बनाती है।
माना एपी की शर्तों की संख्या एन है
हम जानते हैं कि, nth एक AP का पद
a = a + (n -1) d
इसलिए, 97 = 13 + (n -1) (4)
4 (n -1) = 84
n – 1 = 21
n = 22
अब, किसी AP के n पदों का योग किसके द्वारा दिया जाता है,

अतः अभीष्ट योग 1210 है।

7.सभी $x, y \in N$ के लिए $f (x + y) = f (x) . f (y)$ को संतुष्ट करता हुआ $f$ एक ऐसा फलन है कि , तो n का मान ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – दिया गया है कि,
f (x + y) = f (x) × f (y) सभी x के लिए, y ∈ N … (1)
f (1) = 3
x = y = 1 को (1 में) लेना ), हमारे पास
f (1 + 1) = f (2) = f (1) f (1) = 3 × 3 = 9
इसी प्रकार,
f (1 + 1 + 1) = f (3) = f (1 + 2) = f (1) f (2) = 3 × 9 = 27
और, f (4) = f (1 + 3) = f (1) f (3) = 3 × 27 = 81
अत: f (1 ), f (2), f (3), …, यानी 3, 9, 27, …, एक GP बनाता है जिसका पहला पद और सामान्य अनुपात दोनों 3 के बराबर है।
हम जानते हैं कि GP में पदों का योग किसके द्वारा दिया जाता है ,

और यह दिया गया है कि,

अतः फलन के पदों का योग 120 है।

अतः n का मान 4 है।

8. गुणोत्तर श्रेणी के कुछ पदों का योग 315 है, उसका प्रथम पद तथा सार्व अनुपात क्रमश : 5 तथा 2 है अंतिम पद तथा की संख्या ज्ञात किजिए।

?‍♂️हल – दिया गया है कि एक GP में कुछ पदों का योग 315 है।
माना पदों की संख्या n है।
हम जानते हैं कि, पदों का योग है

दिया गया है कि पहला पद a 5 है और उभयनिष्ठ अनुपात r 2 है।

अत: जीपी का अंतिम पद = 6 ^वाँ पद = ar^{6 – 1} = (5)(2)⁵ = (5)(32) = 160
इसलिए, जीपी का अंतिम पद 160 है।

9. किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद 1 है | तीसरे एवं पाँचवें पदों का योग 90 हो तो गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात ज्ञात किजिए।

?‍♂️हल – मान लें कि a और r क्रमशः GP का प्रथम पद और उभयनिष्ठ अनुपात है।
दिया गया है, a = 1
a₃ = ar² = r²
a₅ = ar⁴ = r⁴
तो, प्रश्न से हमें
r² + r⁴ = 90
r⁴ + r² – 90 = 0

इसलिए, GP का उभयनिष्ठ अनुपात ±3 है।

10. किसी गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योग 56 है | यदि हम क्रम से इन संख्याओ में से $1, 7, 21$ घटाएं तो हमे एक समांतर श्रेणी प्राप्त होती है संख्याएँ ज्ञात किजिए।

?‍♂️हल – मान लें कि GP में तीन संख्याएँ a, ar, और ar2 हैं।
तब प्रश्न से हमें
a + ar + ar² = 56
a (1 + r + r²) = 56

साथ ही, दिया गया
a – 1, ar – 7, ar² – 21 एक AP बनाता है।
इसलिए, (ar – 7) – (a – 1) = (ar² – 21) – (ar – 7)
ar – a – 6 = ar²– ar – 14
ar²– 2ar + a = 8
ar²– ar – ar + a = 8
a(r²+ 1 – 2r) = 8
a (r – 1)² = 8 … (2)

7(r² – 2r + 1) = 1 + r + r²
7r² – 14 r + 7 – 1 – r – r² = 0
6r² – 15r + 6 = 0
6r² – 12r – 3r + 6 = 0
6r (r – 2) – 3 (r – 2) = 0
(6r – 3) (r – 2) = 0
r = 2, 1/2
जब r = 2, a = 8
जब r = ½, a = 32
इस प्रकार,
जब r = 2, GP में तीन संख्याएँ 8, 16 और 32 हैं।
जब r = 1/2, GP में तीन संख्याएँ 32, 16 और 8 हैं।
इसलिए किसी भी स्थिति में, आवश्यक तीन संख्याएँ हैं 8, 16 और 32.

11. किसी गुणोत्तर श्रेणी के पदों की संख्या सम है। यदि उसके सभी पदों का योगफल, विषम स्थान पर रखे पदों के योगफल का 5 गुना है, तो सार्वअनुपात ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – मान लें कि GP में पद T₁, T₂, T₃, T₄, … T₂_n. हैं।
पदों की संख्या = 2n
फिर, प्रश्न से हमारे पास
T₁ + T₂ + T₃ + …+ T₂_n = 5 [T₁ + T₃ + … +T₂_n_–1]
T₁ + T₂ + T₃ + … + T₂_n – 5 [T₁ + T₃ + … + T₂_n_–1] = 0
T₂ + T₄ + … + T₂_n = 4 [T₁ + T₃ + … + T₂_n_–1] …… (1)
अब, जीपी में शर्तों को G.P. be a, ar, ar², ar³, …
फिर (1) बन जाता है,

[GP में पदों के योग का उपयोग करते हुए]
ar = 4a
r = 4
इस प्रकार, GP का उभयनिष्ठ अनुपात 4 है।

12. एक समांतर श्रेणी के प्रथम चार पदों का योगफल 56 है अंतिम चार पदों का योगफल 112 है यदि इसका प्रथम पद 11 है, तो पदों की संख्या ज्ञात किजिए।

?‍♂️हल – मान लें कि AP में पद a, a + d, a + 2d, a + 3d, … a + (n – 2) d, a + (n – 1)d हैं।
प्रश्न से, हमारे पास
पहले चार पदों का योग है = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 4a + 6d
अंतिम चार पदों का योग = [a + (n – 4) d ] + [a +(n – 3) d] + [a + (n – 2) d] + [a + n – 1) d]
= 4a + (4n – 10) d
फिर दी गई शर्त के अनुसार,
4a + 6d = 56
4(11) + 6d = 56 [चूंकि a = 11 (दिया गया)]
6d = 12
d = 2
इसलिए, 4a + (4n -10) d = 112
4(11) + (4n – 10)2 = 112
(4n – 10)2 = 68
4n – 10 = 34
4n = 44
n = 11
इसलिए, AP के पदों की संख्या 11 है।

13. यदि , तो दिखाइए कि a, b, c तथा d गुणोत्तर श्रेणी में है।

?‍♂️हल – दिया गया,

क्रॉस गुणा करने पर, हमारे पास है

इसके अलावा,
क्रॉस गुणा करने पर, हमारे पास है

(1) और (2) से, हम पाते हैं कि
b/a = c/b = d/c
इसलिए, a, b, c और d GP में हैं।

14. मान लीजिए S योग है, P गुणनफल है और R GP में n पदों के व्युत्क्रमों का योग है। सिद्ध कीजिए कि P ² R ⁿ = S ⁿ

?‍♂️हल – मान लीजिए कि GP में पद a, ar, ar², ar³, … arⁿ^{– 1}…
प्रश्न का निर्माण करते हैं, हमारे पास है

इसलिए, पी ² आर ^एन = एस ^एन

15. P²Rⁿ=Sⁿ

?‍♂️हल – मान लें कि t और d क्रमशः AP का पहला पद और सार्व अंतर है।
तब AP का n^वाँ पद a_n= t + (n – 1) d
इस प्रकार,
a_p = t + (p – 1) d = a … (1)
a_q = t + (q – 1) d = b … (2)
a_r = t + (r – 1) d = c … (3)
समीकरण (2) को (1) से घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं
(p – 1 – q + 1) d = ए – बी
(पी – क्यू) डी = ए – बी

समीकरण (3) को (2) से घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं
(q – 1 – r + 1) d = b – c
(q – r) d = b – c

(4) और (5) में प्राप्त d के दोनों मानों की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

अतः दिया गया परिणाम सिद्ध होता है।

16. यदि a AP में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि a, b, c AP में हैं

?‍♂️हल –

17. यदि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में है, तो सिद्ध किजिए कि $(a^{n} + b^{n}), (b^{n} + c^{n}), (c^{n} + d^{n})$ गुणोत्तर श्रेणी में है

?‍♂️हल – दिया गया है, a, b, c, और d GP में हैं
तो, हमारे पास
∴b² = ac … (i)
c² = bd … (ii)
ad = bc … (iii)
साबित करने के लिए आवश्यक है (aⁿ + bⁿ), (bⁿ + cⁿ), (cⁿ + dⁿ) GP में हैं अर्थात
(bⁿ + cⁿ)² = (aⁿ + bⁿ) (cⁿ + dⁿ)
एलएचएस लेना
(bⁿ + cⁿ)² = b²ⁿ+ 2bⁿcⁿ + c²ⁿ
= (b²)ⁿ+ 2bⁿcⁿ + (c²)ⁿ
= (ac)ⁿ + 2bⁿcⁿ + (bd)ⁿ [(i) और (ii) का प्रयोग करके ]
= aⁿ cⁿ + bⁿcⁿ+ bⁿ cⁿ + bⁿ dⁿ
= aⁿ cⁿ + bⁿcⁿ+ aⁿ dⁿ + bⁿ dⁿ [(iii) का प्रयोग करके]
= cⁿ (aⁿ + bⁿ) + dⁿ (aⁿ + bⁿ)
= (aⁿ + bⁿ) (cⁿ + dⁿ)
= RHS
इसलिए, (aⁿ + bⁿ), (bⁿ + cⁿ), and (cⁿ + dⁿ) GP में हैं
– इसलिए सिद्ध हुआ।

18. यदि $x^{2} - 3 x + p = 0$ के मूल a तथा b है तथा $x^{2} - 12 x + q = 0$ के मूल c तथा d है, जहाँ a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी के रूप में है। सिद्ध कीजिए कि $(q + p) : (q - p) = 17 : 15 .$

?‍♂️हल – दिया गया है, a और b x² – 3x + p = 0
इसलिए, हमारे पास a + b = 3 और ab = p… (i)
साथ ही, c और d x² – 12x + q = 0
तो, c + d = 12 और cd = q … (ii)
और दिया गया a, b, c, d GP में हैं
आइए मान लें कि a = x, b = xr, c = xr², d = xr³
(i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं
x + xr = 3
x (1 + r) = 3
और,
xr² + xr³ =12
xr²(1 + r) = 12
विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

जब r = 2, x = 3/(1 + 2) = 3/3 = 1
जब r = -2, x = 3/(1 – 2) = 3/-1 = -3
स्थिति I:
जब r = 2 और x =1,
ab = x²r = 2
cd = x²r⁵ = 32

स्थिति II –
जब r = –2, x = –3,
ab = x²r = –18
cd = x²r⁵ = – 288

इसलिए, दोनों स्थितियों में, हम प्राप्त करते हैं (q + p): (q – p) = 17:15\

19. यदि दो धनात्मक संख्याओं a और b के समान्तर माध्य और गुणोत्तर माध्य का अनुपात $m : n$ है, तो सिद्ध कीजिए कि –

?‍♂️हल – मान लीजिए दो संख्याएँ a और b हैं।
AM = (a + b)/2 और GM = ab
प्रश्न से, हमारे पास है

20. यदि a, b, c समांतर श्रेणी में है $b, c, d$ गुणोत्तर श्रेणी में है तथा $\frac{1}{c}, \frac{1}{d}, \frac{1}{e}$ समांतर श्रेणी में है , तो सिद्ध किजिए कि a, c, e गुणोत्तर श्रेणी में है |

?‍♂️हल – दिया गया है कि a, b, c AP में हैं
इसलिए, b – a = c – b … (1)
और, दिया गया है कि b, c, d GP में हैं
तो, c² = bd … (2)
भी , 1/c, 1/d, 1/e एपी में हैं
तो,

अब, यह सिद्ध करने के लिए आवश्यक है कि a, c, e GP में हैं अर्थात् c ² = ae
(1) से, हमारे पास
2b = a + c
b = (a + c)/2
है और (2) से, हमारे पास
d है = c ² / b
इन मानों को (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

इसलिए, a, c, और e GP . में हैं

21. निम्नलिखित श्रेणियों के n पदों का योग ज्ञात कीजिए –

(i) 5 + 55 + 555 +…

(ii) 0.6 + 0.66 + 0.666 +

?‍♂️हल – (i) दिया गया है, 5 + 55 + 555 + …
मान लीजिए Sn = 5 + 55 + 555 + ….. n पदों तक

(ii) दिया गया है, .6 + .66 + । 666 + …
मान लीजिए Sn = 06। + 0.66 + 0.666 + … n पदों तक

22. श्रेणी का 20 वां पद ज्ञात कीजिए –2 × 4 + 4 × 6 + 6 × 8 + … + n पदों तक

?‍♂️हल – दी गई श्रृंखला 2 × 4 + 4 × 6 + 6 × 8 + … n पद
n^वां पद = a_n= 2n × (2n + 2) = 4n² + 4n
20^वां पद,
a₂₀ = 4 (20)² + 4(20) = 4 (400) + 80 = 1600 + 80 = 1680
इसलिए, श्रृंखला का 20^वां पद 1680 है।

23. श्रेणी 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + …का n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – दी गई श्रृंखला 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + …
S = 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + …+ a_n_–1+ a_n
S = 3 + 7 + 13 + 21 + …. + a_n_{– 2}+ a_n_{– 1}+ a_n
दोनों समीकरणों को घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं
S – S = [3 + (7 + 13 + 21 + 31 + …+ a_n_–1+ a_n)] – [(3 + 7 + 13 + 21 + 31 + …+ a_n_–1)+ a_n]
S – S = 3 + [(7 – 3) + (13 – 7) + (21 – 13) + … + (a_n – a_n_–1)]– a_n
0 = 3 + [4 + 6 + 8 + … (n –1) पद] – a_n = 3 + [4 + 6 + 8 + … (n –1) पद]

24. यदि $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ क्रमश: प्रथम n प्राकृत संख्याओ का योग, उनके वर्गों का योग तथा घनो का योग है तो सिद्ध किजिए कि $9 S_{2}^{2} = S_{3} (1 + 8 S_{1})$

?‍♂️हल – प्रश्न से, हमारे पास है

इसलिए, (1) और (2) से, हमारे पास 9S₂² = S₃ (1 + 8S₁).है।

25. निम्नलिखित श्रेढियों का n पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए –

?‍♂️हल –

26. दर्शाइए कि –

?‍♂️हल – अंश का n^वाँ पद = n(n + 1)² = n³ + 2n² + n
n^वाँ पद = n²(n + 1) = n³ + n²

27. कोई किसान एक पुराने ट्रैक्टर को ₹12000 में खरीदता है | वह ₹6000 नकद भुगतान करता है और शेष राशि को ₹500 की वार्षिक क़िस्त अतिरिक्त उस धन पर जिसका भुगतान न किया गया हो 12% वार्षिक ब्याज भी देता है | किसान को ट्रेक्टर की कुल कितनी कीमत देनी पड़ेगी ?

?‍♂️हल – दिए गए किसान को 6000 रुपए नकद भुगतान करते हैं।
तो, अवैतनिक राशि = 12000 रुपये – 6000 रुपये = 6000 रुपये
प्रश्न से, सालाना भुगतान किया गया ब्याज
6000 का 12%, 5500 का 12%, 5000 का 12%, …, 500 का 12% होगा।
इसलिए, कुल ब्याज भुगतान किया जाना = 6000 का 12% + 5500 का 12% + 5000 का 12% +… + 500 का
12% = (6000 + 5500 + 5000 +… + 500)
का 12% = (500 + 1000 + 1500+ … + 6000)
यह देखा गया है कि, श्रृंखला 500, 1000, 1500 … 6000 एक AP है जिसका पहला पद और सार्व अंतर दोनों 500 के बराबर है।
आइए AP के पदों की संख्या n लें।
तो, 6000 = 500 + (एन -1) 500
1 + (एन -1) = 12
एन = 12
अब,
AP का योग = 12/2 [2(500) + (12 – 1)(500)] = 6 [1000 + 5500] = 6(6500) = 39000
इसलिए, भुगतान किया जाने वाला कुल ब्याज = का 12% (500 + 1000 + 1500 + … + 6000)
= 39000 का 12% = 4680 रुपये
इसलिए, ट्रैक्टर की कीमत किसान को होगी = (12000 रुपये + 4680 रुपये) = 16680 रुपये

28. शमशाद अली 22000 में एक स्कूटर खरीदता है | वह 4000 रुपये नकद देता है तथा शेष राशि को 1000 रुपये वार्षिक क़िस्त के अतिरिक्त उस धन पर जिसका भुगतान न किया गया हो 105% वार्षिक ब्याज भी देता है | उसे स्कूटर के लिए कुल कितनी राशि चुकानी पड़ेगी ?

?‍♂️हल – दिया गया है, शमशाद अली 22000 रुपये में एक स्कूटर खरीदता है और 4000 रुपये नकद देता है।
तो, अवैतनिक राशि = 22000 रुपये – 4000 रुपये = 18000 रुपये
प्रश्न के रूप में, यह समझा जाता है कि सालाना भुगतान किया गया ब्याज
18000 का 10%, 17000 का 10%, 16000 का 10%… 1000 का 1000 है
इसलिए, कुल ब्याज भुगतान किया जाना है = 18000 का 10% + 17000 का 10% + 16000 का 10% +… + 1000 का
10% = 18000 + 17000 + 16000 +… + 1000)
का 10% (1000 + 2000 + 3000+ … + 18000)
यह देखा गया है कि, 1000, 2000, 3000 … 18000 पहले पद और सामान्य अंतर दोनों के साथ 1000 के बराबर एक AP बनाता है।
आइए पदों की संख्या n लें।
तो, 18000 = 1000 + (n – 1) (1000)
n = 18
अब, AP का योग निम्न द्वारा दिया जाता है:

इस प्रकार,
भुगतान किया गया कुल ब्याज = 10% (18000 + 17000 + 16000 + … + 1000)
= 171000 रुपये का 10% = 17100 रुपये
इसलिए, स्कूटर की लागत = 22000 रुपये + 17100 रुपये = 39100 रुपये

29.एक व्यक्ति अपने चार मित्रों को पत्र लिखता है। वह प्रत्येक को उसकी नकल करके चार दूसरे व्यक्तियों को भेजने का निर्देश देता है, तथा उनसे यह भी करने को कहता है की प्रत्येक पर प्राप्त करने वाला व्यक्ति इस श्रृंखला को जारी रखे। यह कल्पना करके कि श्रृंखला न टूटे तो 8 वें पत्रों के समूह भेजे जाने तक कितना डाक खर्च होगा जबकि एक पत्र खर्च 50 पैसे है।

?‍♂️हल – यह देखा गया है कि,
मेल किए गए पत्रों की संख्या एक जीपी बनाती है: 4, 42, … 48
यहां, पहला पद = 4 और सामान्य अनुपात = 4
और पदों की संख्या = 8
जीपी के n पदों का योग द्वारा दिया गया है –

साथ ही, यह देखते हुए कि एक पत्र मेल करने की लागत 50 पैसे है। अत
: 87380 पत्रों को मेल करने की लागत = रु 87380 x (50/100) = रु 43690 = रु ⁴³⁶⁹⁰ ।

30. एक आदमी ने एक बैंक में 10000 रु. $5 %$ वार्षिक साधारण ब्याज पर जमा किया । जब से रकम बैंक में जमा की गई तब से, 5 वें वर्ष में उसके कहते में कितनी रकम हो गई, तथा 20 वर्षों बाद कुल कितनी रकम हो गई, ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – दिया गया है, उस व्यक्ति ने एक बैंक में 5% वार्षिक साधारण ब्याज की दर से 10000 रुपये जमा किए।
अत: पहले वर्ष में ब्याज = (5/100) x 10000 रुपये = 500 रुपये

तो, 15 ^वें वर्ष में राशि = रु
= 10000 रु + 14 × 500 रु
= 10000 रु + रु 7000
= रु 17000

और, 20 साल बाद की राशि =
= 10000 रुपये + 20 × 500
रुपये = 10000 रुपये + 10000 रुपये
= 20000 रुपये

अत: 15^वें वर्ष में राशि 17000 रुपये है और 20 वर्षों के बाद कुल राशि 20000 रुपये होगी।

31.एक निर्माता घोषित करता है की उसकी मशीन जिसका मूल्य रु 15625 है, हर वर्ष $20 %$ की दर से उसका अवमूल्यन होता है। 5 वर्ष बाद मशीन का अनुमानित मूल्य ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – दिया गया है, मशीन की लागत = रु 15625
साथ ही, यह देखते हुए कि मशीन का हर साल 20% मूल्यह्रास होता है।
अत: प्रत्येक वर्ष के बाद इसका मूल्य मूल लागत का 80% अर्थात मूल लागत का 4/5^होताहै।

अत: 5 वर्ष के अंत में मान =

= 5 × 1024 = 5120

इस प्रकार, 5 वर्ष के अंत में मशीन का मूल्य 5120 रुपये होगा।

32. किसी कार्य को कुछ दिनों में पूरा करने के लिए 150 कर्मचारी लगाए गए। दूसरे दिन 4 कर्मचारियों ने काम छोड़ दिया, तीसरे दिन 4 और कर्मचारियों ने काम छोड़ दिया तथा इस प्रकार अन्य। अब कार्य पूर्ण करने में 8 दिन अधिक लगते है, तो दिनों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनमें कार्य पूर्ण किया गया।

?‍♂️हल – मान लें कि x उन दिनों की संख्या है जिसमें 150 कर्मचारी काम पूरा करते हैं।
तब प्रश्न से हमें
150x = 150 + 146 + 142 +… प्राप्त होता है। (x + 8) पद
श्रृंखला 150 + 146 + 142 +…. (x + 8) पद एक AP है जिसका
प्रथम पद (a) = 150, सार्व अंतर (d) = -4 और पदों की संख्या (n) = (x + 8)
है, अब पदों का योग ज्ञात कीजिए –

चूंकि x ऋणात्मक नहीं हो सकता। [दिनों की संख्या हमेशा एक धनात्मक मात्रा होती है]
x = 17
इसलिए, जितने दिनों में काम पूरा होना चाहिए था, वह 17 है।
लेकिन, श्रमिकों के छोड़ने के कारण काम पूरा होने के दिनों की संख्या
= (17 + 8) = 25