NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 9 अनुक्रम तथा श्रेणी (Sequences and Series) प्रश्नावली 9.2

June 15, 2022

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 9 अनुक्रम तथा श्रेणी (Sequences and Series) प्रश्नावली 9.2

Textbook	NCERT
class	Class – 11th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 9
Chapter Name	अनुक्रम तथा श्रेणी
grade	Class 11th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	last doubt

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 9 अनुक्रम तथा श्रेणी (Sequences and Series) प्रश्नावली 9.2

?Chapter – 9?

✍अनुक्रम तथा श्रेणी✍

?प्रश्नावली 9.2?

1. 1 से 2001 तक विषम पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – 1 से 2001 तक के विषम पूर्णांक 1, 3, 5, … 1999, 2001
यह स्पष्ट रूप से AP में एक अनुक्रम बनाता है
जहाँ, पहला पद, a = 1
सामान्य अंतर, d = 2
अब,
a + (n -1)d = 2001
1 + (n-1)(2) = 2001
2n – 2 = 2000
2n = 2000 + 2 = 2002
n = 1001
हम जानते हैं,
S_n = n/2 [2a + (n-1)d]

अतः 1 से 2001 तक विषम संख्याओं का योग 1002001 है।

2. 100 और 1000 के बीच स्थित सभी प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए, जो 5 के गुणज हैं।

?‍♂️हल – 100 और 1000 के बीच आने वाली प्राकृत संख्याएँ, जो 5 के गुणज हैं, 105, 110,… 995 हैं।
यह स्पष्ट रूप से एपी में एक अनुक्रम बनाता है
जहाँ, पहला पद, a = 105
सामान्य अंतर, d = 5
अब,
a + (n -1)d = 995
105 + (n – 1)(5) = 995
105 + 5n – 5 = 995
5n = 995 – 105 + 5 = 895
n = 895/5
n = 179
हम जानते हैं ,
S_n = n/2 [2a + (n-1)d]

इसलिए, 100 और 1000 के बीच स्थित सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग, जो 5 के गुणज हैं, 98450 है।

3. किसी समांतर श्रेणी में प्रथम पद 2 है तथा प्रथम पाँच पदों का योगफल, अगले पाँच पदों के योगफल के एक चौथाई है | दर्शाइए कि 20वाँ पद $- 112$ है

?‍♂️हल – दिया गया है,
AP का पहला पद (a) = 2
मान लीजिए d AP का सार्व अंतर है
तो, AP होगा 2, 2 + d, 2 + 2d, 2 + 3d, …
फिर ,
पहले पांच पदों का योग = 10 + 10d
अगले पांच पदों का योग = 10 + 35d
प्रश्न से, हमारे पास
10 + 10d = ¼ (10 + 35d)
40 + 40d = 10 + 35d
30 = -5d
d = -6
a₂₀= a + (20 – 1)d = 2 + (19) (-6) = 2 – 114 = -112
इसलिए, AP का 20^वाँपद -112 है।

4. समांतर श्रेणी -6, -11/2, -5,…के कितने पदों के योगफल $25$ है ?

?‍♂️हल – आइए दिए गए AP के n पदों के योग को -25 मानें।
हम जानते हैं कि,
S_n = n/2 [2a + (n-1)d]
जहां n = पदों की संख्या, a = पहला पद, और d = सामान्य अंतर
तो यहाँ, a = -6
d = -11/2 + 6 = (-11 + 12)/2 = 1/2
इस प्रकार, हमारे पास है

5. किसी समान्तर श्रेढ़ी का p वां पद $\frac{1}{q}$ तथा q वां पद $\frac{1}{p}$ , हो तो सिद्ध कीजिए की प्रथम pq पदों का योग $\frac{1}{2} (p q + 1)$ होगा जहाँ $p \neq q$

?‍♂️हल –

6. श्रेणी 25,22,19,… के कुछ पदों का योगफल 116 है| अन्तिम पद तथा पदों की संख्या ज्ञात कीजिए |

?‍♂️हल – दिया गया AP,
25, 22, 19, …
यहाँ,
पहला पद, a = 25 और
अंतर, d = 22 – 25 = -3
साथ ही दिया गया है, AP के कुछ निश्चित पदों का योग 116 है
। पदों की संख्या n हो
तो, हमारे पास
S_n = n/2 [2a + (n-1)d] = 116
116 = n/2 [2(25) + (n-1)(-3)]
116 x 2 = एन [50 – 3एन + 3]
232 = एन [53 – 3एन]
232 = 53n – 3n²
3n² – 53n + 232 = 0
3n² – 24n – 29n + 232 = 0
3n (n – 8) – 29( n – 8) = 0
(3n – 29) (n – 8) = 0
इसलिए,
n = 29/3 या n = 8
क्योंकि n केवल एक अभिन्न मान हो सकता है, n = 8
अत: 8वाँ पद AP का अंतिम पद है
a8 = 25 + (8 – 1)(-3)
= 25 – 21
= 4

7. उस समांतर श्रेणी कि n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए, जिसका kवाँ पद $5 k + 1$ है |

?‍♂️हल – दिया गया है, AP का k ^वाँ पद 5 k + 1
k^वाँपद =a_k = a + (k – 1)d
और,
a + (k – 1)d = 5k+ 1
a + kd – d = 5k+ 1
के गुणांक की तुलना करने पर, हमें d = 5
a – d = 1
a – 5 = 1
a = 6

8. यदि किसी समांतर श्रेणी n पदों के योगफल $(p n + q n^{2}),$ है , जहाँ p तथा q अचर हों तो सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – हम जानते हैं कि,
S_n = n/2 [2a + (n-1)d]
हमारे प्रश्न से,

दोनों पक्षों में n ² के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें
d/2 = q प्राप्त होता है
इसलिए, d = 2q
इसलिए, AP का सामान्य अंतर 2q है।

9. दो समांतर श्रेणियों के n पदों के योगफल का अनुपात $5 n + 4 : 9 n + 6 .$ हों, उनके 18 वें पदों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – मान लीजिए a ₁ , a ₂ और d ₁ , d ₂ पहले और दूसरे अंकगणितीय प्रगति का क्रमशः पहला पद और सामान्य अंतर है।
फिर, हमारे पास प्रश्न से

10. यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p पदों का योग, प्रथम q पदों के योगफल के बराबर हों तो प्रथम $(p + q)$ पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – मान लीजिए कि a और d क्रमशः AP का पहला पद और सार्व अंतर है।
फिर, यह दिया कि

इसलिए, AP के (p + q) पदों का योग 0 है।

11.यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम $p, q, r$ पदों के योगफल क्रमश : a, b तथा c हों तो सिद्ध कीजिए कि

साबित करो

?‍♂️हल – मान लीजिए a₁और d क्रमशः AP का पहला पद और सार्व अंतर है।
फिर प्रश्न के अनुसार, हमारे पास है

अब, (1) में से (2) घटाने पर, हमें प्राप्त होता है

12. यदि किसी समांतर श्रेणी के m तथा n पदों के योगफल $m^{2} : n^{2}$ के अनुपात में हों, तो सिद्ध करो कि m वां पद n वां पद $: : (2 m - 1) : (2 n - 1) ।$ ।

?‍♂️हल – मान लें कि a और b क्रमशः AP का पहला पद और सार्व अंतर है।
फिर प्रश्न से, हमारे पास है

अतः दिया गया परिणाम सिद्ध होता है।

13. यदि किसी समांतर श्रेणी क़े nवें पद का योगफल $3 n^{2} + 5 n$ है तथा इसका mवाँ पद 164 है, तो m का मान ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – मान लें कि a और b क्रमशः AP का पहला पद और सार्व अंतर है।
a_m = a + (m – 1)d = 164 … (1)
हम पदों का योग
S_n = n/2 [2a + (n-1)d]

14. 8 और 26 के बीच ऐसी 5 संख्याएँ डालिए ताकि प्राप्त अनुक्रम समांतर श्रेणी बन जाए

?‍♂️हल – मान लें कि A₁ , A₂ , A₃ , A₄ और A₅ 8 और 26 के बीच की पांच संख्याएँ हैं जैसे कि 8, A₁ , A₂ , A₃ , A₄ , A₅ , 26 एक एपी में
हैं, यहां हमारे पास है,
ए = 8, बी = 26, एन = 7
तो,
26 = 8 + (7 – 1) d
6d = 26 – 8 = 18
डी = 3
अब,
A₁ = a + d = 8 + 3 = 11
A₂ = a + 2d = 8 + 2 × 3 = 8 + 6 = 14
A₃ = a + 3d = 8 + 3 × 3 = 8 + 9 = 17
A₄ = a + 4d = 8 + 4 × 3 = 8 + 12 = 20
A₅ = a + 5d = 8 + 5 × 3 = 8 + 15 = 23
इसलिए, 8 और 26 के बीच की अभीष्ट पाँच संख्याएँ 11, 14, 17, 20 और 23 हैं।

15. यदि $\frac{a^{n} + b^{n}}{a^{n - 1} + b^{n - 1}}$ a तथा b के मध्य समान्तर माध्य हो तो n का मान ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – a और b के बीच का AM, (a + b)/2 द्वारा दिया जाता है,
फिर प्रश्न के अनुसार,

अत: n का मान 1 है।

16. m संख्याओं को 1 तथा 31 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है और 7 वीं एवं $(m - 1)$ वीं संख्याओं का अनुपात $5 : 9$ है। तो m का मान ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – आइए मान लें कि एक₁ , a₂ , … a_m ऐसी संख्याएं हैं कि 1,a1 _, a₂ , … m , 31 एक p है_और
यहां,
a = 1, b = 31, n = m + 2
So, 31 = 1 + (m + 2 – 1) (d)
30 = (m + 1) d
d = 30/ (m + 1) ……. (1)
अब,
a₁ = a + d
a₃ = a + 3d …
a₃ = a + 3d …
इसलिए, a₇ = a + 7 d
a _m_-1 = a + ( m – 1) d
प्रश्न के अनुसार, हमारे पास है

अतः m का मान 14 है।

17. एक व्यक्ति ऋण का भुगतान 100 रुपये की प्रथम किश्त से शुरू करता है | यदि वह प्रत्येक किश्त में 5 रूपये प्रति माह बढ़ता है तो 30 वीं किश्त की राशि क्या होगी ?

?‍♂️हल – दिया गया है,
ऋण की पहली किस्त रु. 100 है. ऋण
की दूसरी किस्त रु. 105 है और इसी प्रकार जैसे-जैसे किश्त में रु.5 प्रति माह की वृद्धि होती जाती है।
इस प्रकार, वह राशि जो आदमी हर महीने चुकाता है वह एक एपी बनाता है
और, एपी 100, 105, 110, …
जहां, पहला पद, ए = 100
सामान्य अंतर, डी = 5
इसलिए, इस एपी में 30 वां पद
ए₃₀ = a + (30 – 1)d
= 100 + (29) (5)
= 100 + 145
= 245
इसलिए 30^वीं किश्त में भुगतान की जाने वाली राशि 245 रुपये होगी।

18. एक बहुपद के अन्तः कोण A.P. में हैं । न्यूनतम कोण $120^{\circ}$ हैं और सार्व – अंतर $5^{\circ}$ हैं । बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – इस प्रश्न से यह समझा जाता है कि, बहुभुज के कोणों से एक समान अंतर d = 5° और प्रथम पद a = 120° वाला एक AP बनेगा।
और, हम जानते हैं कि n भुजाओं वाले बहुभुज के सभी कोणों का योग 180° (n – 2) होता है।
इस प्रकार, हम कह सकते हैं

इस प्रकार, 9 और 16 भुजाओं वाला एक बहुभुज प्रश्न में दी गई शर्त को पूरा करेगा।