NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 9 अनुक्रम तथा श्रेणी (Sequences and Series) प्रश्नावली 9.3

June 15, 2022

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 9 अनुक्रम तथा श्रेणी (Sequences and Series) प्रश्नावली 9.3

Textbook	NCERT
class	Class – 11th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 9
Chapter Name	अनुक्रम तथा श्रेणी
grade	Class 11th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	last doubt

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 9 अनुक्रम तथा श्रेणी (Sequences and Series) प्रश्नावली 9.3

?Chapter – 9?

✍अनुक्रम तथा श्रेणी✍

?प्रश्नावली 9.3?

1. गुणोत्तर श्रेणी 5/2, 5/4, 5/8, ……… का 20वाँ तथा nवाँ ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – दिया गया GP 5/2, 5/4, 5/8, ………
है, यहाँ a = पहला पद = 5/2
r = सामान्य अनुपात = (5/4)/(5/2) = ½
इस प्रकार, 20^वाँ पद और n^वाँ पद

2. उस गुणोत्तर श्रेणी का 12वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 8वाँ पद 192 तथा सार्व अनुपात 2 है।

?‍♂️हल – दिया गया है,
GP का उभयनिष्ठ अनुपात, r = 2अब
GP का पहला पद हैa₈ = ar^8–1 = ar⁷ar⁷ = 192a(2)⁷ = 192ए(2)⁷ = (2)⁶ (3)

3. किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी का 5 वां, 8 वां तथा 11 वां पद क्रमशः p , q तथा s हैं, तो दिखाइए की $q^{2} = p s$ .।

?‍♂️हल – मान लें कि a को पहला पद और r को GP का सार्व अनुपात माना जाए,
तो प्रश्न के अनुसार, हमारे पास
a₅ = a r^5–1= a r⁴ = p … (i)
a₈= a r^8–1= a r⁷ = q … (ii)
a₁₁ = a r^11–1= a r¹⁰ = s … (iii)
समीकरण (ii) को (i) से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

4. किसी गुणोत्तर श्रेणी का चौथा पद उसके दूसरे पद का वर्ग है तथा प्रथम पद -3 है, तो 7 वां पद ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – मान लें कि a पहला पद है और r GP का सार्व अनुपात है
दिया गया है, a = -3
और हम जानते हैं कि,
a_n = arⁿ^–1
तो, a₄= ar³ = (–3) r³
a₂ = a r¹ = (–3) r
फिर प्रश्न से, हमारे पास
(–3) r³ = [(–3) r]²
⇒ –3r³ = 9 r²
⇒ r = –3
a₇ = a r ^7–1= a r⁶ = (–3) (–3)⁶ = – (3)⁷ = –2187
इसलिए, GP का सातवां पद -2187 है।

5. निम्नलिखित अनुक्रमों में से कौन सा पद –

(ए) 2, 2√2, 4,… 128 है?

(बी) 3, 3, 3√3,… 729 है?

(सी) 1/3, 1/9, 1/27, … 1/19683 है?

?‍♂️हल – (ए) दिया गया अनुक्रम, 2, 2√2, 4,…
हमारे पास है,
a = 2 और r = 2√2/2 = √2
इस अनुक्रम के nवें पद को 128 के रूप में लेते हुए, हमारे पास है

इसलिए, दिए गए अनुक्रम का 13 ^वाँ पद 128 है।
(ii) दिया गया क्रम, 3, 3, 3√3,…
हमारे पास,
a = √3 और r = 3/√3 = 3
n ^वां लेना इस अनुक्रम का पद 729 होगा, हमारे पास है

इसलिए, दिए गए अनुक्रम का 12 ^वाँ पद 729 है।
(iii) दिया गया क्रम, 1/3, 1/9, 1/27, …
a = 1/3 और r = (1/9)/(1/3) ) = 1/3 इस क्रम का
n ^वाँ पद 1/19683 लेते हुए, हमारे पास है

अतः दिए गए अनुक्रम का 9 ^वाँ पद 1/19683 है।

6. x के किस मान के लिए संख्याएँ $- \frac{2}{7}, x, \frac{- 7}{2}$ -2/7, x, -7/2 गुणोत्तर श्रेणी में हैं ?

?‍♂️हल – दी गई संख्याएँ -2/7, x, -7/2 हैं।
सामान्य अनुपात = x/(-2/7) = -7x/2
साथ ही, सामान्य अनुपात = (-7/2)/x = -7/2x

इसलिए, x = ± 1 के लिए, दी गई संख्याएँ GP . में होंगी

7. 7 से 10 तक प्रत्येक गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए 0.15, 0.015, 0.0015 में 20 पदों तक

?‍♂️हल – दिया गया GP, 0.15, 0.015, 0.00015, …
यहाँ, a = 0.15 और r = 0.015/0.15 = 0.1

8. 7 से 10 तक प्रत्येक गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए |√7, √21, 3√7,…^मेंn पदों तक

?‍♂️हल – दिया गया GP 7, √21, 3√7,….
यहाँ,
a = 7 और

9. गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए । 1, -a, a ² , -a ³ … ^मेंn पदों तक (यदि एक ≠ -1)

?‍♂️हल – दिया गया GP 1, -a, a² , -a³ ….
यहाँ, पहला पद = a1 = 1
और उभयनिष्ठ अनुपात = r = – a
हम जानते हैं कि,

10. 7 से 10 तक प्रत्येक गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए | x³ , x⁵ , x^{7 , … में}n पदों तक (यदि x ±1 )

?‍♂️हल – दिया गया GP x³, x⁵, x⁷, …
यहाँ, हमारे पास a = x³ और r = x⁵/x³ = x²

11. मान ज्ञात कीजिए-

?‍♂️हल –

12. एक गुणोत्तर श्रेणी $\frac{39}{10}$ के तीन पदों का योगफल हैं तथा गुणनफल 1 है | सार्व अनुपात तथा पदों को ज्ञात कीजिए |

?‍♂️हल – मान लीजिए a/r, a, ar GP के पहले तीन पद हैं
a/r + a + ar = 39/10 …… (1)
(a/r) (a) (ar) = 1 …….. (2)
से, हमारे पास
एक³ = 1
है इसलिए, a = 1 [केवल वास्तविक जड़ों को ध्यान में रखते हुए]
a के मान को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें
1/r + 1 + r = 39/10
(1 + r + r²)/r = 39/10
10 + 10r + 10r² = 39r
10r2 – 29r + 10 = 0
10r2 – 25r – 4r + 10 = 0
5r (2r – 5) – 2 (2r – 5) = 0
(5r – 2) (2r – 5) = 0
इस प्रकार,
r = 2/5 या 5/2
इसलिए, GP के तीन पद 5/2, 1 और 2/5 हैं।

13. गुणोत्तर श्रेणी 3, 3² , 3³ , … के कितने पद आवश्यक हैं ताकि उनका योगफल 120 हो जाए |

?‍♂️हल – दिया गया GP 3, 3², 3³, …
मान लें कि 120 का योग प्राप्त करने के लिए इस GP के n पदों की आवश्यकता है।
हम जानते हैं कि,

यहाँ, a = 3 और r = 3

घातांक की बराबरी करने पर हमें n = 4 प्राप्त होता है,
इसलिए 120 के योग को प्राप्त करने के लिए दिए गए GP के चार पदों की आवश्यकता होती है।

14. किसी गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम तीन पदों का योगफल 16 है तथा अगले तीन पदों का योग 128 है तो गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद, सार्व अनुपात तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए |

?‍♂️हल – मान लें कि GPa, ar, ar², ar³, …
फिर प्रश्न के अनुसार, हमारे पास
a + ar + ar² = 16 और ar³+ ar⁴ + ar⁵= 128
a (1 + r + r²) = 16 … (1) और,
ar³(1 + r + r²) = 128 … (2)
समीकरण (2) को (1) से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

r³ = 8
r = 2
अब, (1) में r = 2 का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
a (1 + 2 + 4) = 16
a (7) = 16
a = 16/7
अब, पदों का योग इस प्रकार दिया गया है

15. एक गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $a = 729$ तथा 7वाँ पद है तो $S_{7}$ ज्ञात कीजिए ?

?‍♂️हल – दिया गया है,
a = 729 और a₇ = 64
मान लीजिए r GP का उभयनिष्ठ अनुपात है
तो हम जानते हैं कि, a_n = a rⁿ^–1
a₇ = ar^7–1 = (729)r⁶
⇒ 64 = 729 r⁶
r⁶ = 64/729
r⁶ = (2/3)⁶
r = 2/3
और, हम जानते हैं कि

16. एक गुणोत्तर श्रेणी को कीजिए, जिसके प्रथम दो पदों का योगफल $- 4$ है तथा 5वाँ पद तृतीय पद का 4 गुना है।

?‍♂️हल – मान लीजिए a को प्रथम पद और r को GP का उभयनिष्ठ अनुपात माना गया है
, S₂ = -4
तब, प्रश्न से हमारे पास है

और,
a₅ = 4 x a₃
ar⁴ = 4ar²
r² = 4
r = ± 2
(1) में r के मान का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

इसलिए, अभीष्ट GP है
-4/3, -8/3, -16/3,…. या 4, -8, 16, -32, ……

17. यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का 4 वाँ, 10वाँ तथा 16वाँ पद क्रमश: $x, y$ तथा $z$ है, तो सिद्ध कीजिए कि $x, y, z$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं|

?‍♂️हल – मान लीजिए a पहला पद है और r GP का उभयनिष्ठ अनुपात है
दी गई शर्त के अनुसार,
a₄ = a r³ = x … (1)
a₁₀ = a r⁹ = y … (2)
a₁₆= a r¹⁵= z … (3)
(2) को (1) से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

18. अनुक्रम $, 8, 88, 888, 8888 . . .$ के n पदों का योग ज्ञात कीजिए |

?‍♂️हल – दिया गया क्रम: 8, 88, 888, 8888…
यह क्रम GP नहीं है
लेकिन, इसे
S_n = 8 + 88 + 888 + 8888 + …… ….. से n शब्द

19. अनुक्रम 2, 4, 8, 16, 32 और 128, 32, 8, 2, 1/2 के संगत पदों के गुणनफल का योग ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – आवश्यक योग = 2 x 128 + 4 x 32 + 8 x 8 + 16 x 2 + 32 x ½
= 64 [4 + 2 + 1 + ½ + 1/2²]
अब, यह देखा गया है कि
4 , 2, 1, ½, 1/2² एक GP है जिसका
प्रथम पद है, a = 4
सामान्य अनुपात, r =
हम जानते हैं,

इसलिए, अभीष्ट योग = 64(31/4) = (16)(31) = 496

20. दिखाइए कि अनुक्रम $a, a r, a r^{2}, . . . a r^{n - 1}$ तथा $A, A R, A R^{2}, . . . A R^{n - 1}$ कि संगत पदों के गुणनफल से बना कीजिए गुणोत्तर श्रेणी होती है तथा सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – सिद्ध करने के लिए: अनुक्रम, aA, arAR, ar²AR², …arⁿ^-1ARⁿ^-1, एक GP बनाता है
अब, हमारे पास है

इसलिए, उपरोक्त अनुक्रम एक जीपी बनाता है और सामान्य अनुपात rR है ।

21. ऐसे चार पद ज्ञात कीजिए जो गुणोत्तर श्रेणी में हो, जिसका तीसरा पद प्रथम पद से 9 अधिक हो तथा दूसरा पद चौथे पद से 18 अधिक हो।

?‍♂️हल – aको _पहलापदऔर_rको GP काउभयनिष्ठ अनुपात
मानिए। a₁ = a, a₂ = ar, a₃ = ar², a₄ = ar³

a₃ = a₁ + 9
ar² = a + 9 … (i)
a₂ = a₄ + 18
ar = ar³ + 18 … (ii)

तो, (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं
a(r² – 1) = 9 … (iii)
ar (1– r²) = 18 … (iv)
अब, (4) को (3) से विभाजित करने पर, हम पाते हैं

-r = 2
r = -2
(i) में r का मान रखने पर, हमें
4a = a + 9
3a = 9
a = 3 प्राप्त
होता है, इसलिए GP की पहली चार संख्याएँ 3,3(-2) हैं। , 3(-2) ² , और 3(-2) ³
यानी, 3¸–6, 12, और -24।

22. यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का pवाँ, qवाँ तथा rवाँ पद क्रमश: a,b तथा c हो, तो सिद्ध कीजिए कि $a^{q - r} b^{r - p} c^{P} - q) = 1$

?‍♂️हल – मान लें कि Aकोपहला पदऔरRको GP काउभयनिष्अनुपात माना जाए
,AR^p^–1= a
AR^q^–1= b
AR^r^–1= c
Then,
a^q–rb^r–pc^p–q
= A^q^–^r× R⁽^p^{–1) (q–r)} × A^r^–^p × R⁽^q^{–1) (}^r^–^p⁾ × A^p^–^q × R⁽^r^–1)(^p^–^q⁾
= Aq^–^r⁺^r^–^p⁺^p^–^q × R ⁽^pr^–^pr^–^q⁺^r^{) + (}^rq^–^r⁺^p^–^pq^{) + (}^pr^–^p^–^qr⁺^q⁾
= A⁰ × R⁰
= 1
इसलिए सिद्ध हुआ।

23. यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम तथा nवाँ पद क्रमश: a तथा b हैं, एवं P, n पदों का गुणनफल हो, तो सिद्ध कीजिए कि $P^{2} = {(a b)}^{n}$

?‍♂️हल – दिया गया है, GP का पहला पद a है और अंतिम पद b है।
इस प्रकार,
GP a, ar, ar², ar³, … arⁿ^–1है, जहां r उभयनिष्ठ अनुपात है।
फिर,
b = arⁿ^–1 … (1)
P = n पदों का गुणनफल
= (a) (ar) (ar²) … (arⁿ^–1)
= (a × a ×…a) (r × r² × …rⁿ^–1)
= aⁿr ^{1 + 2 +…(}ⁿ^–1) … (2)
यहाँ, 1, 2, …(n – 1) एक AP है।

और, n पदों P का गुणनफल किसके द्वारा दिया जाता है,

24. दिखाइए कि एक गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों के योगफल तथा (n + 1) वें पद से (2n) वें पद तक के पदों के योगफल का अनुपात $\frac{1}{r^{n}}$ है।

?‍♂️हल – मान लीजिए a पहला पद है और r GP का उभयनिष्ठ अनुपात है

चूँकि ( n +1) ^वें से (2 n ) ^वें पद तक n पद हैं, ( n + 1) ^वें से (2 n ) ^वें पद
तक के पदों का योग
एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित अध्याय 9 उदा.9.3 - 31

ए ^एन⁺¹ = एआर ^{एन + 1} ^{– 1} = एआर ^एन

अत: अभीष्ट अनुपात =

इस प्रकार, किसी GP के प्रथम n पदों के योग का ( n + 1) ^वें से (2 n ) ^वें पदों के योग से अनुपात है

25. यदि a, b, c तथा d गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो दिखाइए कि $(a^{2} + b^{2}) (b^{2} + c^{2} + d^{2}) = {(a b + b c + c d)}^{2}$ .

?‍♂️हल – दिया गया है, a, b, c, d GP में हैं
तो, हमारे पास
bc = ad … (1)
b² = ac … (2)
c² = bd … (3)
RHS लेने पर हमें
R.HS
= (ab + bc + cd)²
= (ab + ad + cd)² [(1) का प्रयोग करके]
= [ab + d (a + c)]²
= a²b² + 2abd (a + c) + d² (a + c)²
= a²b² +2a²bd + 2acbd + d²(a² + 2ac + c²)
= a²b² + 2a²c² + 2b²c² + d²a² + 2d²b² + d²c² [Using (1) and (2)]
= a²b² + a²c² + a²c² + b²c²+ b²c² + d²a² + d²b² + d²b² + d²c²
= a²b² + a²c² + a²d²+ b²× b² + b²c² + b²d² + c²b² + c²× c² + c²d²
[उपयोग करना (2 ) और (3) और पदों को पुनर्व्यवस्थित करना]
= a²(b² + c² + d²) + b² (b² + c² + d²) + c² (b²+ c² + d²)
= (a² + b² + c²) (b² + c² + d²)
= एलएचएस
इस प्रकार, एलएचएस = आरएचएस
इसलिए,
(a² + b² + c²)(b² + c² + d²) = (ab + bc + cd)²

26. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका 3 तथा 81 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम गुणोत्तर श्रेणी बन जाय

?‍♂️हल – मान लें कि G₁ और G₂ 3 और 81 के बीच की दो संख्याएँ हैं जैसे कि श्रृंखला 3, G₁, G₂, 81 एक GP बनाती है
और मान लीजिए कि पहला पद है और r का सामान्य अनुपात है GP
अब, हमारे पास^पहला पद 3 है और^चौथा पद
81 = (3) (r)³
r³ = 27
∴ r = 3 (केवल वास्तविक मूल लेना)
r = 3,
G₁ = ar = (3) (3) = 9
G₂ = ar² = (3) (3)² = 27
इसलिए, दो संख्याएँ जिन्हें 3 और 81 के बीच डाला जा सकता है ताकि परिणामी क्रम एक जीपी बन जाए 9 और 27 हैं।

27. n का मान ज्ञात कीजिए ताकि $\frac{a^{n + 1} + b^{n + 1}}{a^{n} + b^{n}}$ a तथा b के बीच गुणोत्तर माध्य हो।

?‍♂️हल – हम जानते हैं कि
a और b का GM ab द्वारा दिया जाता है।
फिर प्रश्न से, हमारे पास है

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

28. दो संख्याओ का योगफल उनके गुणोत्तर माध्य का 6 गुना हैं तो दिखाइए कि संख्याऍं $(3 + 2 \sqrt{2}) : (3 - 2 \sqrt{2})$ के अनुपात में हैं

‍?‍♂️हल – मान लीजिए कि दो संख्याएँ a और b हैं।
फिर, जीएम = ab।
प्रश्न से, हमारे पास है

29. यदि A तथा G दो धनात्मक संख्याओं के बीच क्रमशः समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य हो, तो सिद्ध कीजिए कि संख्याएँ $A \pm \sqrt{(A + G) (A - G)}$ है।

?‍♂️हल – दिया गया है कि A और G दो धनात्मक संख्याओं के बीच AM और GM हैं।
और, माना कि ये दो धनात्मक संख्याएँ a और b हैं।

30. किसी कल्चर में बैक्टीरिया की संख्या प्रत्येक घंटे पश्चात दुगुनी हो जाती हैं | यदि पारंभ में उसमे 30 बैक्टीरिया उपस्थित थे, तो बैक्टीरिया की संख्या दूसरे , चौथे तथा nवें घंटो बाद क्या होगा?

?‍♂️हल – देखते हुए बैक्टीरिया की संख्या हर घंटे दोगुनी हो जाती है। अतः, प्रत्येक घंटे के बाद जीवाणुओं की संख्या एक GP बनाएगी
। यहाँ हमारे पास a = 30 और r = 2
। अतः, a₃ = ar² = (30) (2)² = 120
इस प्रकार, अंत में जीवाणुओं की संख्या^{दूसरे} घंटे का 120 होगा।
और, a₅ = ar⁴ = (30) (2)⁴ = 480
के अंत में बैक्टीरिया की संख्या होगी।
a_n₊₁= arⁿ = (30) 2ⁿ
अत: n ^वें घंटे के अंत में जीवाणुओं की संख्या 30(2) ⁿ होगी ।

31. 500 रुपये धनराशि 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 10 वर्षो बाद क्या हो जाएगी, ज्ञात कीजिए ?

?‍♂️हल – दिया गया है,
बैंक में जमा राशि 500 रुपये है।
पहले वर्ष के अंत में, राशि = 500 रुपये (1 + 1/10) = 500 रुपये (1.1)^{दूसरे}
के अंत में, राशि = 500 रुपये (1.1) (1.1)^{तीसरे}
के अंत में, राशि = 500 रुपये (1.1) (1.1) (1.1) और इसी तरह…।
इसलिए,
10 साल के अंत में राशि = 500 रुपये (1.1) (1.1) … (10 गुना)
= 500 रुपये (1.1)¹⁰

32. यदि किसी द्विघात समीकरण के मूलों के समांतर माध्य एवं गुणोत्तर माध्य क्रमश: 8 तथा 5 हैं, तो द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – आइए द्विघात समीकरण के मूलों को a और b मानते हैं।
तो हमारे पास हैं

हम जानते हैं कि,
एक द्विघात समीकरण इस प्रकार बनाया जा सकता है,
x²– x (मूलों का योग) + (मूलों का गुणनफल) = 0
x² – x (a + b) + (ab) = 0
x² – 16x + 25 = 0 [(1) और (2) का प्रयोग करके]
इसलिए, अभीष्ट द्विघात समीकरण x ² – 16x + 25 = 0 है।