NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 8 द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) विविध प्रश्नावली
| Textbook | NCERT |
| Class | Class 11th |
| Subject | (गणित) Mathematics |
| Chapter | Chapter – 8 |
| Chapter Name | द्विपद प्रमेय |
| Mathematics | Class 11th गणित Question & Answer |
| Medium | Hindi |
| Source | Last Doubt |
NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 8 द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) विविध प्रश्नावली
? Chapter – 8?
✍द्विपद प्रमेय✍
?विविध प्रश्नावली?
1. यदि (a+b)n के प्रसार में प्रथम तीन पद क्रमशः 729 , 7290 तथा 30375 हों तो a , b , और n ज्ञात कीजिए।
?♂️हल – हम जानते हैं कि (r + 1) वां पद, (T r+1 ), (a + b) n
के द्विपद प्रसार में Tr+1 = nCr an-t br द्वारा दिया जाता है
। विस्तार के पहले तीन पद क्रमशः 729, 7290 और 30375 दिए गए हैं। तब हमारे पास,
T1 = nC0 an-0 b0 = an = 729….. 1
T2 = nC1 an-1 b1 = nan-1 b = 7290…. 2
T3 = nC2 an-2 b2 = {n (n -1)/2 }an-2 b2 = 30375……3
2 को 1 से भाग देने पर हमें 4 और 5 से n प्राप्त होता है। 5/3 = 10 n = 6 n = 6 को 1 में रखने पर हमें प्राप्त होता है a6 = 729 a = 3 5 से हमें प्राप्त होता है, b/3 = 5/3 b = 5 इस प्रकार a = 3, b = 5 और n = 76
2. यदि (3+ax)9 के प्रसार में x2 तथा x3 के गुणांक समान हों, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
?♂️हल –
3. द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए गुणनफल (1+2x)6(1-x)7 में x5 का गुणांक ज्ञात कीजिए।
?♂️हल – (1 + 2x)6 = 6C0 + 6C1 (2x) + 6C2 (2x)2 + 6C3 (2x)3 + 6C4 (2x)4 + 6C5 (2x)5 + 6C6 (2x)6
= 1 + 6 (2x) + 15 (2x)2 + 20 (2x)3 + 15 (2x)4 + 6 (2x)5 + (2x)6
= 1 + 12 x + 60x2 + 160 x3 + 240 x4 + 192 x5 + 64x6
(1 – x)7 = 7C0 – 7C1 (x) + 7C2 (x)2 – 7C3 (x)3 + 7C4 (x)4 – 7C5 (x)5 + 7C6 (x)6 – 7C7 (x)7
= 1 – 7x + 21x2 – 35x3 + 35x4 – 21x5 + 7x6 – x7
(1 + 2x)6 (1 – x)7 = (1 + 12 x + 60x2 + 160 x3 + 240 x4 + 192 x5 + 64x6) (1 – 7x + 21x2 – 35x3 + 35x4 – 21x5 + 7x6 – x7)
192 – 21 = 171
इस प्रकार, व्यंजक में x5 का गुणांक (1+2x) ) 6 (1-x)7 171 है।
4. यदि a और b भिन्न- भिन्न पूर्णांक हों, तो सिद्ध कीजिए की (an-bn) का एक गुणनखंड (a-b) है, जबकि n एक धन पूर्णांक है।
[ संकेत an=(a−b+b)n लिखकर प्रसार कीजिए। ]
?♂️हल – यह साबित करने के लिए कि (a – b) (an – bn) का एक कारक है, यह साबित करना होगा कि
an – bn = k (a – b) जहां के कुछ प्राकृतिक है संख्या।
a को a = a – b + b
an = (a – b + b)n = [(a – b) + b]n
= nC0 (a – b)n + nC1 (a – b)n-1 b + …… + n C n bn
an – bn = (a – b) [(a –b)n-1 + nC1 (a – b)n-1 b + …… + n C n bn]
an – bn = (a – b) k
Where k =[(a –b)n-1 + nC1 (a – b)n-1 b + …… + n C n bn] एक प्राकृत संख्या है
यह दर्शाता है कि (a – b) (an – bn) का एक गुणनखंड है, जहां n धनात्मक पूर्णांक है।
5. (3–√+2–√)6−(3–√−2–√)6 का मान ज्ञात कीजिए।
?♂️हल – द्विपद प्रमेय का उपयोग करके व्यंजक (a + b) 6 और (a – b) 6 का विस्तार किया जा सकता है
(a + b)6 = 6C0 a6 + 6C1 a5 b + 6C2 a4 b2 + 6C3 a3 b3 + 6C4 a2 b4 + 6C5 a b5 + 6C6 b6
(a – b)6 = 6C0 a6 – 6C1 a5 b + 6C2 a4 b2 – 6C3 a3 b3 + 6C4 a2 b4 – 6C5 a b5 + 6C6 b6
Now (a + b)6 – (a – b)6 =6C0 a6 + 6C1 a5 b + 6C2 a4 b2 + 6C3 a3 b3 + 6C4 a2 b4 + 6C5 a b5 + 6C6 b6 – [6C0 a6 – 6C1 a5 b + 6C2 a4 b2 – 6C3 a3 b3 + 6C4 a2 b4 – 6C5 a b5 + 6C6 b6]
Now by substituting a = √3 and b = √2 we get
(√3 + √2)6 – (√3 – √2)6 = 2 [6 (√3)5 (√2) + 20 (√3)3 (√2)3 + 6 (√3) (√2)5]
= 2 [54(√6) + 120 (√6) + 24 √6]
= 2 (√6) (198)
= 396 √6
6. का मान ज्ञात कीजिए
?♂️हल –
7. (0.99)5 के प्रसार के पहले तीन पदों का प्रयोग करते हुए इसका निकटतम मान ज्ञात कीजिए।
?♂️हल –
0.99 को 0.99 = 1 – 0.01के रूप में लिखा जा सकता है
अब द्विपद प्रमेय को लागू करने से हमें
(o. 99)5 = (1 – 0.01)5
= 5C0 (1)5 – 5C1 (1)4 (0.01) + 5C2 (1)3 (0.01)2
= 1 – 5 (0.01) + 10 (0.01)2
= 1 – 0.05 + 0.001
= 0.951
8. n ज्ञात कीजिए, यदि विस्तार में शुरुआत से पांचवें पद का अंत से पांचवें पद का अनुपात √6: 1 है
?♂️हल –
9. द्विपद प्रमेय द्वारा प्रसार ज्ञात कीजिए।
?♂️हल – द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके दिए गए व्यंजक को इस प्रकार बढ़ाया जा सकता है
उपरोक्त पदों का विस्तार करने के लिए द्विपद प्रमेय का पुन: उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है
समीकरण 1, 2 और 3 से हम प्राप्त करते हैं
10. (3x2-2ax+3a2)3 का द्विपद प्रमेय से प्रसार ज्ञात कीजिए।
?♂️हल – हम जानते हैं कि (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
a = 3x2 और b = -a (2x-3a) रखने पर, हमें
[3x2 + (-a (2x-3a))]3
= (3x2)3+3(3x2)2(-a (2x-3a)) + 3(3x2) (-a (2x-3a))2 + (-a (2x-3a))3
= 27x6 – 27ax4 (2x-3a) + 9a2x2 (2x-3a)2 – a3(2x-3a)3
= 27x6 – 54ax5 + 81a2x4 + 9a2x2 (4x2-12ax+9a2) – a3 [(2x)3 – (3a)3 – 3(2x)2(3a) + 3(2x)(3a)2]
= 27x6 – 54ax5 + 81a2x4 + 36a2x4 – 108a3x3 + 81a4x2 – 8a3x3 + 27a6 + 36a4x2 – 54a5x
= 27x6 – 54ax5+ 117a2x4 – 116a3x3 + 117a4x2 – 54a5x + 27a6
Thus, (3x2 – 2ax + 3a2)3
= 27x6 – 54ax5+ 117a2x4 – 116a3x3 + 117a4x2 – 54a5x + 27a6