NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 8 द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) प्रश्नावली 8.1

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 8 द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) प्रश्नावली 8.1

TextbookNCERT
classClass – 11th
SubjectMathematics
ChapterChapter – 8
Chapter Nameद्विपद प्रमेय
gradeClass 11th गणित Question & Answer
Medium Hindi
Sourcelast doubt

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 8 द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) प्रश्नावली 8.1

?Chapter – 8?

✍द्विपद प्रमेय✍

?प्रश्नावली 8.1?

अभ्यास 1. व्यंजक का प्रसार कीजिए
(1−2x)5

?‍♂️हल – द्विपद प्रमेय विस्तार से हम लिख सकते हैं
(1 – 2x)5
= 5Co (1)5 – 5C1 (1)4 (2x) + 5C2 (1)3 (2x)2 – 5C3 (1)2 (2x)3 + 5C4 (1)1 (2x)4 – 5C5 (2x)5
= 1 – 5 (2x) + 10 (4x)2 – 10 (8x3) + 5 ( 16 x4) – (32 x5)
= 1 – 10x + 40x2 – 80x3 + 80x4– 32x5

?‍♂️हल – द्विपद प्रमेय से, दिए गए समीकरण का विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है:

3. निम्नलिखित व्यंजको के प्रसार लिखो
(2x – 3)6

?‍♂️हल – द्विपद प्रमेय से, दिए गए समीकरण का विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है:

?‍♂️हल – द्विपद प्रमेय से, दिए गए समीकरण का विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है:

?‍♂️हल – द्विपद प्रमेय से, दिए गए समीकरण का विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है:

6. द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए
(96)3

?‍♂️हल – दिया हुआ (96) 3
96 को दो संख्याओं के योग या अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और फिर द्विपद प्रमेय लागू किया जा सकता है।
दिए गए प्रश्न को 96 = 100 – 4
(96)3 = (100 – 4)3
= 3C0 (100)3 – 3C1 (100)2 (4) – 3C2 (100) (4)2– 3C3 (4)3
= (100)3 – 3 (100)2 (4) + 3 (100) (4)2 – (4)3
= 1000000 – 120000 + 4800 – 64
= 884736

7. द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए
(102)5

?‍♂️हल – दिया हुआ (102) 5
102 को दो संख्याओं के योग या अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और फिर द्विपद प्रमेय लागू किया जा सकता है।
दिए गए प्रश्न को 102 = 100 + 2
(102)5 = (100 + 2)5
= 5C0 (100)5 + 5C1 (100)4 (2) + 5C2 (100)3 (2)2 + 5C3 (100)2 (2)3 + 5C4 (100) (2)4 + 5C5 (2)5
= (100)5 + 5 (100)4 (2) + 10 (100)3 (2)2 + 5 (100) (2)3 + 5 (100) (2)4 + (2)5
= 1000000000 + 1000000000 + 40000000 + 80000 + 8000 + 32
= 11040808032

8. द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखत के मान ज्ञात कीजिए
(101)4

?‍♂️हल – दिया हुआ (101)4
101 को दो संख्याओं के योग या अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और फिर द्विपद प्रमेय लागू किया जा सकता है।
दिए गए प्रश्न को 101 = 100 + 1
(101)4 = (100 + 1)4
= 4C0 (100)4 + 4C1 (100)3 (1) + 4C2 (100)2 (1)2 + 4C3 (100) (1)3 + 4C4 (1)4
= (100)4 + 4 (100)3 + 6 (100)2 + 4 (100) + (1)4
= 100000000 + 4000000 + 60000 + 400 + 1
= 104060401

9. द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए
(99)5

?‍♂️हल – दिया हुआ (99)5
99 को दो संख्याओं के योग या अंतर के रूप में लिखा जा सकता है तो द्विपद प्रमेय लागू किया जा सकता है।
दिए गए प्रश्न को 99 = 100 -1
(99)5 = (100 – 1)5
= 5C0 (100)5 – 5C1 (100)4 (1) + 5C2 (100)3 (1)2 – 5C3 (100)2 (1)3 + 5C4 (100) (1)4 – 5C5 (1)5
= (100)5 – 5 (100)4 + 10 (100)3 – 10 (100)2 + 5 (100) – 1
= 1000000000 – 5000000000 + 10000000 – 100000 + 500 – 1
= 9509900499

10. द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौन-सी संख्या बड़ी है (1.1)10000 या 1000.

?‍♂️हल – दिए गए 1.1 को विभाजित करके और फिर द्विपद प्रमेय को लागू करके, (1.1) 10000 के पहले कुछ पद (
1.1)10000 = (1 + 0.1)10000
= (1 + 0.1)10000 C1 केरूप में प्राप्त किए जा सकते हैं1.1) + अन्य धनात्मक पद
= 1 + 10000 × 1.1 + अन्य धनात्मक पद
= 1 + 11000 + अन्य धनात्मक पद
> 1000
(1.1)10000 > 1000

11.(a + b)4 – (a – b)4 का विस्तार कीजिए। इसका प्रयोग करके (√3+√2–√)4 − (√3−√2)4 का मान ज्ञात कीजिए 

?‍♂️हल – द्विपद प्रमेय का उपयोग करके व्यंजक (a + b) 4  और (a – b) 4 का विस्तार किया जा सकता है
(a + b)4 = 4C0 a4 + 4C1 a3 b + 4C2 a2 b2 + 4C3 a b3 + 4C4 b4
(a – b)4 = 4C0 a4 – 4C1 a3 b + 4C2 a2 b2 – 4C3 a b3 + 4C4 b4
Now (a + b)4 – (a – b)4 = 4C0 a4 + 4C1 a3 b + 4C2 a2 b2 + 4C3 a b3 + 4C4 b4 – [4C0 a4 – 4C1 a3 b + 4C2 a2 b2 – 4C3 a b3 + 4C4 b4]
= 2 (4C1 a3 b + 4C3 a b3)
= 2 (4a3 b + 4ab3)
= 8ab (a2 + b2)
अब a = 3 और b = √2 को प्रतिस्थापित करने पर हमें
(√3 + √2)4 – (√3 – √2)4 = 8 (√3) (√2) {(√3)2 + (√2)2}
= 8 (√6) (3 + 2)
= 40 √6

12. (x + 1)6 + (x – 1)6 का मान ज्ञात कीजिए। इसका प्रयोग करके या अन्यथा (√2+1)6 + (√2−1)6 का मान ज्ञात कीजिए

?‍♂️हल – द्विपद प्रमेय के प्रयोग से व्यंजक (x + 1) 6  और (x – 1) 6 को (x + 1)6 = 6C0 x6 + 6C1 x5 + 6C2 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है 
(x + 1)6 = 6C0 x6 + 6C1 x5 + 6C2 x4 + 6C3 x3 + 6C4 x2 + 6C5 x + 6C6
(x – 1)6 = 6C0 x6 – 6C1 x5 + 6C2 x4 – 6C3 x3 + 6C4 x2 – 6C5 x + 6C6
Now, (x + 1)6 – (x – 1)6 = 6C0 x6 + 6C1 x5 + 6C2 x4 + 6C3 x3 + 6C4 x2 + 6C5 x + 6C6 – [6C0 x6 – 6C1 x5 + 6C2 x4 – 6C3 x3 + 6C4 x2 – 6C5 x + 6C6]
= 2 [6C0 x6 + 6C2 x4 + 6C4 x2 + 6C6]
= 2 [x6 + 15x4 + 15x2 + 1]
अब x = 2 को रखने पर हमें प्राप्त होता है
(√2 + 1)6 – (√2 – 1)6 = 2 [(√2)6 + 15(√2)4 + 15(√2)2 + 1]
= 2 (8 + 15 × 4 + 15 × 2 + 1)
= 2 (8 + 60 + 30 + 1)
= 2 (99)
= 198

13. दिखाइए कि 9n+1 – 8n – 9 से विभाज्य है जहाँ n एक धन पूर्णांक है।

?‍♂️हल – यह दर्शाने के लिए कि 9 n+1 – 8n – 9 64 से विभाज्य है, यह दिखाना होगा कि 9 n+1 – 8n – 9 = 64 k, जहाँ k कुछ प्राकृत संख्या है
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए ,
(1 + a)m = mC0 + mC1 a + mC2 a2 + …. + m C m am
For a = 8 and m = n + 1 we get
(1 + 8)n+1 = n+1C0 + n+1C1 (8) + n+1C2 (8)2 + …. + n+1 C n+1 (8)n+1
9n+1 = 1 + (n + 1) 8 + 82 [n+1C2 + n+1C3 (8) + …. + n+1 C n+1 (8)n-1]
9n+1 = 9 + 8n + 64 [n+1C2 + n+1C3 (8) + …. + n+1 C n+1 (8)n-1]
9n+1 – 8n – 9 = 64 k
जहाँ k =  [n+1C2 + n+1C3 (8) + …. + n+1 C n+1 (8)n-1]  एक प्राकृत संख्या है
इस प्रकार, 9 n+1 – 8n – 9 64 से विभाज्य है, जब भी n धनात्मक पूर्णांक होता है।
इसलिए सबूत

14. साबित कीजिए 

?‍♂️हल –