NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 8 द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) प्रश्नावली 8.2

June 15, 2022

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 8 द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) प्रश्नावली 8.2

Textbook	NCERT
class	Class – 11th
Subject	Mathematics
Chapter	Chapter – 8
Chapter Name	द्विपद प्रमेय
grade	Class 11th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	last doubt

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 8 द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) प्रश्नावली 8.2

?Chapter – 8?

✍द्विपद प्रमेय✍

?प्रश्नावली 8.2?

1. का गुणांक ज्ञात कीजिए

(x + 3)⁸ में x⁵ का

?‍♂️हल – द्विपद प्रसार में सामान्य पद Tr+1 द्वारा दिया गया है T_r+1 = ⁿC _r a^n-r b^r
यहाँ x⁵ T_r+1 पद है इसलिए a= x, b = 3 और n =8
T_r+1 = ⁸C_r x^8-r 3^r…………… (i)
x⁵
ज्ञात करने के लिए हमें x⁵= x^8-r
⇒ r = 3
बराबरीमैं) हमें मिलता है

= 1512 x
का गुणांक = 1512

2. ${(a - 2 b)}^{12}$ में $a^{5} b^{7}$ का

?‍♂️हल – द्विपद प्रसार में सामान्य पद Tr+1 द्वारा दिया जाता है T_r+1 = ⁿC _r a^n-r b^r
यहाँ a = a, b = -2b & n =12
मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें
T_r+1 = ¹²C_r a^12-r (-2b)^r………. (i)
खोजने के लिए
हम एक^12-r =a⁵
r = 7
हैं, r = 7 को (i)
T₈ = ¹²C₇ a⁵ (-2b)⁷

= -101376 a ⁵ b ^{7 अत: a}⁵ b ⁷
का गुणांक = -101376

के विस्तार में सामान्य पद लिखिए

3.निम्नलिखित के प्रसार में व्यापक पद लिखिए

(x² – y)⁶

?‍♂️हल – द्विपद प्रसार मेंसामान्य पद T_r+1
T_r+1 = ⁿC _r a^n-r b^r…….. द्वारा दिया जाता है। (i)
यहाँ a = x² , n = 6 और b = -y
T_r+1 = ⁶C_r x ^2(6-r) (-1)^r y^r

NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 द्विपद प्रमेय चित्र 14

= -1^{r 6}c_r.x^{12 – 2r}. y^r

4.निम्नलिखित के प्रसार में व्यापक पद लिखिए :
${(x^{2} - y x)}^{12}, x \neq 0$

?‍♂️हल – द्विपद प्रसार में सामान्य पद Tr+1 द्वारा दिया जाता है T_r+1 = ⁿC _r a^n-r b^r
यहाँ n = 12, a= x² और b = -yx
मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें
T_n+1 =¹²C_r × x^2(12-r) (-1)^r y^r x^r

= -1^{r 12}c_r.x^{24 –2r}. y^r

5. (x−2y)¹² के प्रसार में चौथा पद ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – द्विपद प्रसार में सामान्य पद Tr+1 Tr+1 = n C r an-r br द्वारा दिया गया है।
यहाँ a= x, n =12, r= 3 और b = -2y
मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें मिलता है
T4 = 12C3 x9 (-2y)3

= -1760 x ⁹ y ³

6. के विस्तार में 13 वां पद ज्ञात कीजिए

?‍♂️हल –

के विस्तारों में मध्य पद ज्ञात कीजिए

?‍♂️हल –

9. ${(1 + a)}^{m + n}$ के प्रसार में सिद्ध कीजिए कि $a^{m}$ तथा $a^{n}$ के गुणांक बराबर हैं।

_{?‍♂️हल – हम जानते हैं कि द्विपद प्रसार में सामान्य पद Tr+1 Tr+1 =

n^Cr a^n-r b^r

द्वारा दिया गया है। सामान्य रूप

Tr+1 = ^m+nCr 1^m+n-r a^r

= ^m+nCr a^r…………. (i)

अब हमारे पास यह है कि व्यंजक के लिए सामान्य शब्द है,

Tm+1 = ^m+nCm a^m

अब, a ^m

के गुणांक के लिए Tm+1 = ^m+n Cm a ^m

इसलिए, a ^m के गुणांक के लिए , r = m का मान

तो, गुणांक है ^m+n C m इसी प्रकार, a ⁿ का

गुणांक ^m+n C n . है}

10. यदि ${(x + 1)}^{n}$ के प्रसार में ${(r - 1)}^{t h}, r^{t h}$ और ${(r + 1)}^{t h}$ पदों के गुणांकों में $1 : 3 : 5$ का अनुपात हो, तो n तथा r का मान ज्ञात कीजिए

?‍♂️हल – द्विपद प्रसार में सामान्य पद T_r+1 = ⁿC_r a^n-r b^r
द्वारा दिया गया है। यहाँ द्विपद (1+x)ⁿ है जिसमें a = 1, b = x और n है। = n
(r+1)^वां पद
^{T_(r+1) = nC_r 1n-r xr

T_(r+1) = nC_r xr वें} पद का
गुणांकⁿC_r
r^वां पद (r-1) द्वारा दिया गया है^वां पद
T_(r+1-1) = ⁿC_r-1 x^r-1
T_r = ⁿC_r-1 x^r-1
r ^वें पद का गुणांक ⁿ C _r-1
है (r-1 के लिए) ) ^वां पद हम लेंगे (r-2) ^वां पद
T_r-2+1 = ⁿC_r-2 x^r-2
T_r-1 = ⁿC_r-2 x^r-2
(r- का गुणांक) 1)^वाँ पद ⁿ C . है_{r-2 यह देखते हुए कि (r-1)}^वें , r^वें और r+1^वें
पद के गुणांक 1:3:5 के अनुपात में हैं
, इसलिए,

5r = 3n – 3r + 3
⇒ 8r – 3n – 3 =0………….2
हमारे पास 1 और 2
n – 4r ± 5 =0…………1
8r – 3n – 3 =0……… …….2
समीकरण 1 को संख्या 2 2n -8r +10 =
0 ……………….3 से गुणा करना 7 एन = 7 और आर = 3

11. सिद्ध कीजिए कि ${(1 + x)}^{2 n}$ के प्रसार में $x^{n}$ का गुणांक, ${(1 + x)}^{2 n - 1}$ के प्रसार में $x^{n}$ के गुणांक का दुगना होता है।

?‍♂️हल – द्विपद प्रसार में सामान्य पद T_r+1 = ⁿC_r a^n-r b^r
द्वारा दिया गया है द्विपद (1+x)²ⁿके
T_r+1 = ²ⁿC_r x^r …………………..1
xⁿ
r = n
T_n+1 = ²ⁿC_n xⁿ
का गुणांक xⁿ = ²ⁿC_n
द्विपद के लिए सामान्य पद (1+x )^2n-1 है
T_r+1 = ^2n-1C_r x^r
का गुणांक ज्ञात करने के लिए
n = r
T_r+1 = ^2n-1C_r xⁿ
रखना x ⁿ = ^2n-1 C _n का गुणांक हमें गुणांक
सिद्ध करना है
x ⁿ का (1+x) ^{2n = 2 x}ⁿ का गुणांक (1+x) ^2n-1
में LHS = ²ⁿ C _{n पर विचार करें}

12. m का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए ${(1 + x)}^{m}$ के प्रसार में $x^{2}$ का गुणांक 6 हो।

?‍♂️हल – द्विपद प्रसार में सामान्य पद Tr+1 द्वारा दिया गया है T_r+1 = ⁿC_r a^n-r b^r
यहाँ a = 1, b = x और n = m
का मान रखने पर
T_r+1 = ^mC_r 1^m-r x^r
= ^mC_r x^r
हमें x²कागुणांक चाहिए ^।

^{दिया गया है कि x 2} = ^m C ₂ = 6 . का गुणांक

⇒ m (m – 1) = 12
⇒ m²– m – 12 =0
⇒ m²– 4m + 3m – 12 =0
⇒ m (m – 4) + 3 (m – 4) = 0
⇒ (m+3) (m – 4) = 0
⇒ m = – 3, 4
We need positive value of m so m = 4