NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 6 रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities) Exercise 6.1

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 6 रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities) प्रश्नावली 6.1

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 6 रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities) प्रश्नावली 6.1

?Chapter – 6?

✍रैखिक असमिकाएँ✍

? प्रश्नावली 6.1?

1. हल कीजिये : 24x<100, जब

(i) x एक प्राकृत संख्या है।
(ii) x एक पूर्णांक है।

हल:
(i) दिया गया है कि 24x < 100
अब हमें असमानता को 24 से विभाजित करना है तो हमें x <25/6 प्राप्त होता
है अब जब x एक प्राकृतिक पूर्णांक है तो
यह स्पष्ट है कि 25/6 से कम की एकमात्र प्राकृतिक संख्या 1 है , 2, 3, 4.
इस प्रकार, 1, 2, 3, 4 दी गई असमानता का हल होगा, जब x एक प्राकृत संख्या है।
अतः {1, 2, 3, 4} समाधान समुच्चय है।

(ii) यह देखते हुए कि 24x < 100
अब हमें असमानता को 24 से विभाजित करना है तो हमें x <25/6 मिलता
है, अब जब x एक पूर्णांक है तो
यह स्पष्ट है कि 25/6 से छोटी पूर्णांक संख्या…-1, 0 है। , 1, 2, 3, 4.
इस प्रकार, 24 x <100 का हल…,-1, 0, 1, 2, 3, 4 है, जब x एक पूर्णांक है।
अतः {…, -1, 0, 1, 2, 3, 4} समाधान समुच्चय है।

2. हल कीजिये : −12x > 30, जब

(i) x एक प्राकृत संख्या है।
(ii) x एक पूर्णांक है।

हल:
(i) दिया गया है कि, -12x > 30
अब असमानता को -12 से दोनों पक्षों में विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है, x < -5/2
जब x एक प्राकृत पूर्णांक है तो
यह स्पष्ट है कि इससे कम कोई प्राकृत संख्या नहीं है। -2/5 क्योंकि -5/2 एक ऋणात्मक संख्या है और प्राकृत संख्याएँ धनात्मक संख्याएँ हैं।
इसलिए, दी गई असमानता का कोई हल नहीं होगा, जब x एक प्राकृत संख्या है।

(ii) यह देखते हुए कि, -12x> 30
अब असमानता को -12 से दोनों पक्षों से विभाजित करने पर हमें मिलता है, x < -5/2
जब x एक पूर्णांक है तो
यह स्पष्ट है कि -5/2 से कम पूर्णांक संख्या हैं …, -5, -4, -3
इस प्रकार, -12x > 30 का हल …,-5, -4, -3 है, जब x एक पूर्णांक है।
अतः हल समुच्चय {…, -5, -4, -3} है।

3. हल कीजिये : 5x − 3 < 7, जब

(i) x एक पूर्णांक है
(ii) x एक वास्तविक संख्या है

हल:
(i) दिया गया है, 5x – 3 <7
अब 3 दोनों पक्षों को जोड़ने पर,
5x – 3 + 3 <7 + 3
ऊपर की असमानता
5x <10
है, फिर से दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर,
5x/5<10/5
x < 2
जब x एक पूर्णांक है तो
यह स्पष्ट है कि 2 से छोटी पूर्णांक संख्या…, -2, -1, 0, 1
इस प्रकार, 5x – 3 <7 का हल …,- 2, -1, 0, 1, जब x एक पूर्णांक है।
अतः हल समुच्चय {…, -2, -1, 0, 1} है।

(ii) दिया गया है, 5x – 3 <7
अब 3 दोनों पक्षों को जोड़ने पर,
5x – 3 + 3 <7 + 3
ऊपर की असमानता
5x <10 हो जाती
है, फिर से दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर,
5x/5 <10 प्राप्त होता है। /5
x < 2
जब x एक वास्तविक संख्या है तो
यह स्पष्ट है कि 5x – 3 <7 का समाधान x <2 द्वारा दिया जाएगा जो बताता है कि सभी वास्तविक संख्याएं जो 2 से कम हैं।
इसलिए समाधान सेट x है ( ^-∞ , 2)

4. हल कीजिये : 3x + 8 > 2, जब

(i) x एक पूर्णांक है।
(ii) x एक वास्तविक संख्या है।

हल:
(i) दिया गया है कि, 3x + 8 > 2
अब दोनों पक्षों में से 8 घटाने पर,3x
+ 8 – 8 > 2 – 8प्राप्त होता है
।,3x/3 > -6/3अत: x > -2जब x एक पूर्णांक है तोयह स्पष्ट है कि -2 से बड़ी पूर्णांक संख्या -1, 0, 1, 2,…इस प्रकार, 3x + 8 का हल > 2is -1, 0, 1, 2,… जब x एक पूर्णांक है। अतः हल समुच्चय {-1, 0, 1, 2,…}

(ii) दिया गया है कि, 3x + 8 > 2
अब दोनों पक्षों में से 8 घटाने पर,
3x + 8 – 8 > 2 – 8
उपरोक्त असमानता हो जाती है,
3x> – 6
फिर से दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर,
3x प्राप्त होता है। /3 > -6/3
अत: x > -2
जब x एक वास्तविक संख्या है।
यह स्पष्ट है कि 3x + 8 >2 का हल x > -2 द्वारा दिया जाएगा जो बताता है कि सभी वास्तविक संख्याएँ जो -2 से बड़ी हैं।
अतः हल समुच्चय x (-2, ) है। वास्तविक x के लिए प्रश्न 5 से 16 तक की असमिकाओं को हल ^{कीजिए ।}

5. 4x + 3 <5x + 7

हल:
दिया हुआ है, 4x + 3 < 5x + 7
अब दोनों पक्षों में से 7 घटाने पर, हमें
4x + 3 – 7 <5x + 7 – 7
होता है, उपरोक्त असमानता
4x – 4 < 5x
दोनों में से 4x घटाने पर फिर सेभुजाएँ,
4x – 4 – 4x < 5x – 4x
x > – 4
दी गई असमानता के हल -4 से बड़ी सभी वास्तविक संख्याओं द्वारा परिभाषित किए जाते हैं। ^{आवश्यक समाधान सेट}
है (-4,)

6. 3x – 7 > 5x – 1

हल:
दिया हुआ है,
3x – 7> 5x – 1
अब दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर, हमें
3x – 7 +7> 5x – 1 + 7
3x> 5x + 6
प्राप्त होता है, फिर से दोनों पक्षों से 5x घटाकर,
3x – 5x > 5x + 6 – 5x
-2x > 6
सरल बनाने के लिए दोनों पक्षों को -2 से विभाजित करने पर हमें प्राप्त
-2x/-2 < 6/-2
x < -3
दी गई असमानता के समाधान सभी वास्तविक संख्याओं से कम परिभाषित होते हैं -3 से।
अतः अभीष्ट हल समुच्चय है (^-∞, -3)

7. 3(x – 1) ≤ 2 (x – 3)

हल:
दिया है कि, 3(x – 1) ≤ 2 (x – 3)
उपरोक्त असमानता को गुणा करने पर
3x – 3 2x – 6
अब दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर, हमें
3x – 3+ 32x – 6+ 3
3x ≤ 2x – 3
फिर से दोनों पक्षों से 2x घटाकर,
3x – 2x 2x – 3 – 2x
x -3
इसलिए दी गई असमानता के समाधान सभी वास्तविक संख्याओं से कम या बराबर से परिभाषित होते हैं से -3।
अतः अभीष्ट हल समुच्चय है (^-∞, -3]

8. 3 (2 – x) ≥ 2 (1 – x)

हल:
दिया है कि, 3 (2 – x) 2 (1 – x)
गुणा करने पर हमें
6 – 3x 2 – 2x
होता है, अब दोनों पक्षों में 2x जोड़ने पर,
6 – 3x + 2x 2 – 2x + 2x
6 – x ≥ 2
फिर से दोनों पक्षों में से 6 घटाकर, हम प्राप्त करते हैं
6 – x – 6 ≥ 2 – 6
– x ≥ – 4
असमानता को ऋणात्मक चिह्न से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है
x 4
दी गई असमानता के समाधान किसके द्वारा परिभाषित किए जाते हैं 4 से बड़ी या उसके बराबर सभी वास्तविक संख्याएँ।
इसलिए अभीष्ट हल समुच्चय है (^-∞, 4]

9. x + x/2 + x/3 < 11

हल:

x < 6
दी गई असमानता के समाधान 6 से कम सभी वास्तविक संख्याओं द्वारा परिभाषित किए गए हैं,
इसलिए समाधान सेट है ( ^-∞ , 6)

10. x/3> x/2 + 1

हल:

– x/6 > 1
– x > 6
x < – 6
दी गई असमानता के समाधान – 6 से कम सभी वास्तविक संख्याओं से परिभाषित होते हैं।
इसलिए आवश्यक समाधान सेट है ( ^-∞ , -6)

11. 3(x – 2)/5 5 (2 – x)/3

हल:
यह देखते हुए कि,

अब हरों को क्रॉस – गुणा करने पर, हमें
9(x- 2) ≤ 25 (2 – x)
9x – 18 ≤ 50 – 25x मिलता
है। अब दोनों पक्षों को 25x जोड़ने पर,
9x – 18 + 25x ≤ 50 – 25x + 25x
34x – 18 ≤ 50
दोनों पक्षों को 25x जोड़ने पर,
34x – 18 + 18 ≤ 50 + 18
34x ≤ 68
दोनों पक्षों को 34 से विभाजित करने पर,
34x/34 ≤ 68/34
x 2
दी गई असमानता के समाधान सभी वास्तविक संख्याओं द्वारा परिभाषित किए जाते हैं। 2 से कम या उसके बराबर।
आवश्यक समाधान सेट है ( ^-∞ , 2]

हल:

120 ≥ x
दी गई असमानता के समाधान 120 से कम या उसके बराबर सभी वास्तविक संख्याओं से परिभाषित होते हैं।
इस प्रकार, ( ^-∞ , 120] आवश्यक समाधान सेट है।

13. 2 (2x + 3) – 10 <6 (x – 2)

हल:
दिया है कि,
2 (2x + 3) – 10 <6 (x – 2)
गुणा करने पर हमें
4x + 6 – 10 < 6x – 12मिलता
है। – 4x8 < 2x4 < xदी गई असमानता के समाधान 4 से बड़ी या उसके बराबर सभी वास्तविक संख्याओं से परिभाषित होते हैं।इसलिए आवश्यक समाधान सेट है (4,^{– ∞})

14. 37 – (3x + 5) ≥ 9x – 8 (x – 3)

हल:
दिया है, 37 – (3x + 5) 9x – 8 (x – 3)
सरलीकरण करने पर हमें प्राप्त
= 37 – 3x – 5 ≥ 9x – 8x + 24
= 32 – 3x ≥ x + 24
पुनर्व्यवस्थित करने पर
= 32 – 24 ≥ x + 3x
= 8 ≥ 4x
= 2 ≥ x x
की सभी वास्तविक संख्याएं जो 2 से कम या उसके बराबर हैं, दी गई असमानता के समाधान हैं
इसलिए, (-∞, 2] दी गई असमानता का समाधान होगा।

हल:

= 15x < 4 (4x – 1)
= 15x <16x – 4
= 4 < x x
की सभी वास्तविक संख्याएं जो 4 से अधिक हैं, दी गई असमानता
का ^{समाधान} हैं। दी गई असमानता

हल:

= 20 (2x – 1) ≥ 3 (19x – 18)
= 40x – 20 ≥ 57x – 54
= – 20 + 54 57x – 40x
= 34 ≥ 17x
= 2 x x
की सभी वास्तविक संख्याएं जो इससे कम हैं या 2 के बराबर दी गई असमानता के समाधान हैं
इसलिए, (-∞, 2] दी गई असमानता का समाधान होगा

प्रश्न 17 से 20 तक की असमिकाओ का हल ज्ञान कीजिये तथा उन्हें रेखा पर आलेखित कीजिये |

17. 3x – 2 <2x + 1

हल:
दिया गया है,
3x – 2 < 2x + 1
दी गई असमानता को हल करने पर, हमें
3x – 2 < 2x + 1
= 3x – 2x <1 + 2
= x <3
है, अब, समाधान का चित्रमय प्रतिनिधित्व इस प्रकार है:

18. 5x – 3 3x – 5

हल:
हमारे पास,
5x – 3 ≥ 3x – 5
दी गई असमानता को हल करने पर, हमें
5x – 3 ≥ 3x –5 प्राप्त
होताहै।दोनों ओर से हमें प्राप्त होता है = x – 1 हल का आलेखीय निरूपण इस प्रकार है:

19. 3 (1 – x) <2 (x + 4)

हल:
दिया गया है,
3 (1 – x) < 2 (x + 4)
दी गई असमानता को हल करने पर, हमें
3 (1 – x) < 2 (x + 4)
प्राप्तहोता है
।
हमें प्राप्त
= 3 – 8 < 2x + 3x
= – 5 < 5x
अब 5 को दोनों पक्षों से विभाजित करने पर हमें
-5/5 <5x/5
= – 1 <x
है, अब समाधान का आलेखीय निरूपण इस प्रकार है:

हल:

कंप्यूटिंग पर हमें मिलता है

= 15x ≥ 2 (4x – 1)
= 15x 8x -2
= 15x -8x ≥ 8x -2 -8x
= 7x ≥ -2
= x -2/7
अब, समाधान का आलेखीय निरूपण इस प्रकार है:

21.  रवि ने पहली दो एकक परीक्षा में 70 और 75 अंक प्राप्त कीजिये है | वह न्यूनतम अंक ज्ञान कीजिये, जिसे वह तीसरी एकक परीक्षा में पाकर 60 अंक का न्यूनतम औसत प्राप्त कर सके |

हल:
मान लीजिए, रवि द्वारा अपनी तीसरी इकाई की परीक्षा में प्राप्त अंक
x
हैं
। 180
= x 180 – 145
= x 35
इसलिए, सभी छात्रों को कम से कम 60 अंक का औसत प्राप्त करने के लिए 35 अंक प्राप्त करने चाहिए

22.  किसी पाठ्यक्रम में ‘A’ पाने के लिए एक व्यक्ति को सभी पाँच परीक्षाओ ( प्रत्येक 100 में से ) में 90 अंक या अधिक अंक का औसत प्राप्त करना चाहिए | यदि सुनीता के प्रथम चार परीक्षाओं के प्राप्तांक 87, 92, 94 और 95 हो तो वह न्यूनतम अंक ज्ञान कीजिये जिंसे पांचवीं परीक्षा में प्राप्त करके सुनीता उस पाठ्यक्रम में ग्रेंड ‘A’ पायेगी |

हल:
मान लीजिए सुनीता ने अपनी पांचवीं परीक्षा में x अंक प्राप्त किए हैं
, अब प्रश्न के अनुसार पाठ्यक्रम में A ग्रेड प्राप्त करने के लिए उसे अपनी पांच परीक्षाओं
(87 + 92 + 94 + 95)+ x)/5 90
= (368 + x)/5 90
= 368 + x ≥ 450
= x 450 – 368
= x 82
इसलिए, उसे अपनी पांचवीं परीक्षा में 82 या अधिक अंक प्राप्त करने होंगे

23. 10 से कम क्रमागत विषम संख्याओं के ऐसे युग्म ज्ञात कीजिये जिनके योगफल 11 से अधिक हों |

हल:
मान लें कि x दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांकों में से छोटा है।
अन्य पूर्णांक = x + 2
है। प्रश्न में यह भी दिया गया है कि, दोनों पूर्णांक 10
x + 2 <10
x <8 … (i)
साथ ही, इस प्रश्न में दिया गया है कि दो पूर्णांकों का योग 11
∴ x + (x + 2) > 11
2x + 2 > 11
x > 9/2
x > 4.5 …
से(i) और (ii) हमारे पास x एक विषम पूर्णांक है और यह 5 और 7 मान ले सकता है
इसलिए, संभावित जोड़े (5, 7) और (7, 9) हैं।

24. क्रमागत सम संख्याओं के ऐसे युग्म कीजिये, जिनमे से प्रत्येक 5 से बड़े हो, तथा उनका योगफल 23 से कम हो |

हल:
मान लें कि x दो क्रमागत सम धनात्मक पूर्णांकों में से छोटा है।
अन्य पूर्णांक = x + 2
प्रश्न में यह भी दिया गया है कि, दोनों पूर्णांक 5
x> 5 से बड़े हैं। (i)
साथ ही, प्रश्न में दिया गया है कि दो पूर्णांकों का योग 23 से कम है।
x + (x + 2) <23
2x + 2 < 23
x < 21/2
x < 10.5 …. (ii)
इस प्रकार, (i) और (ii) से हमारे पास x एक सम संख्या है और यह 6, 8 और 10 का मान ले सकता है,
इसलिए, संभावित जोड़े हैं (6, 8), (8, 10) और (10, 12)।

25. एक त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा छोटी भुजा की तीन गुना है तथा त्रिभुज से 2 सेमी कम है | तीसरी भुजा की न्यूनतम लंबाई ज्ञान कीजिये जबकि त्रिभुज का परिमाप न्युनतम 61 सेमी है |

हल:
मान लें कि त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा की लंबाई x cm
है प्रश्न के अनुसार, सबसे लंबी भुजा की लंबाई = 3x cm
और तीसरी भुजा की लंबाई = (3x – 2) cm
जितनी कि, इसका सबसे छोटा परिमाप त्रिभुज = 61 cm
इस प्रकार, x + 3x + (3x – 2) cm 61 cm
= 7x – 2 61
= 7x ≥ 63
अब 7 से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है
= 7x/7 ≥ 63/7
= x 9
इसलिए, सबसे छोटी भुजा की न्यूनतम लंबाई 9 cm . होगी

26. एक व्यक्ति 91 सेमी लंबे बोर्ड में से तीन लंबाइयाँ काटना चाहता है | दूसरी लंबाई सबसे छोटी लंबाई से 3 सेमी अधिक और तीसरी लंबाई सबसे छोटी की दूनी है | सबसे छोटे बोर्ड की संभावित लंबाइयाँ क्या है, यदि तीसरा टुकड़ा दूसरे से कम 5 सेमी अधिक लंबा हो ?

[ संकेत यदि सबसे छोटे बोर्ड की लंबाई x सेमी हो, तब (x + 3) सेमी और 2x सेमी क्रमश : दूसरे और तीसरे टुकड़ो की लंबाइयाँ है | इस प्रकार x +(x + 3)+2x≤91 और 2x≥(x + 3)+5]

हल:
मान लें कि सबसे छोटे टुकड़े की लंबाई x cm
है प्रश्न के अनुसार, दूसरे टुकड़े की लंबाई = (x + 3) cm
और तीसरे टुकड़े की लंबाई = 2x cm
क्योंकि तीनों लंबाई काटनी है
x + (x + 3) + 2x 91 cm
= 4x + 3 ≤ 91
= 4x ≤ 88
= 4x/4 ≤ 88/4
= x 22 …की लंबाई वाले बोर्ड के एक टुकड़े से)
साथ ही, प्रश्न में यह दिया गया है कि, तीसरा टुकड़ा दूसरे टुकड़े से कम से कम 5 cm लंबा है
2x (x+3) + 5
2x ≥ x + 8
x ≥ 8 … (ii)
इस प्रकार, समीकरण से (i) और (ii) हमारे पास है:
8 ≤ x ≤ 22
अतः, यह स्पष्ट है कि सबसे छोटे बोर्ड की लंबाई 8 सेमी से अधिक या उसके बराबर और 22 cm से कम या उसके बराबर है