NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 2 संबंध और कार्य (Relations and Functions) प्रश्नावली 2.1

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 2 संबंध और कार्य (Relations and Functions) प्रश्नावली 2.1

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 2 संबंध और कार्य (Relations and Functions) प्रश्नावली 2.1

? Chapter – 2?

✍संबंध और कार्य✍

? प्रश्नावली 2.1?

1. अगर  ,

x  और  y के मान  ज्ञात कीजिए ।

हल: दिया गया,

चूँकि क्रमित युग्म समान हैं, इसलिए संगत तत्व भी समान होने चाहिए।
इस प्रकार,
x/3 + 1 = 5/3 और y – 2/3 = 1/3
हल करने पर, हमें
x + 3 = 5 और 3y – 2 = 1 [LCM लेने और जोड़ने]
x = 2 और 3y = 3
प्राप्त होता है। ,
x = 2 और y = 1

2. यदि समुच्चय A में 3 अवयव हैं तथा समुच्चय B = {3, 4, 5} है, तो (A × B) में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल: दिया गया है, समुच्चय A में 3 अवयव हैं और समुच्चय B के अवयव {3, 4, और 5} हैं।
अतः, समुच्चय B में तत्वों की संख्या = 3
तब, (A × B) में तत्वों की संख्या = (A में तत्वों की संख्या) × (B में तत्वों की संख्या)
= 3 × 3 = 9
इसलिए, की संख्या (a × b) में तत्व 9 होंगे।

3. यदि G = {7, 8} और H = {5, 4, 2}, G × H और H × G खोजें।
हल:
दिया गया, G = {7, 8} और H = {5, 4, 2 }
हम जानते हैं कि,
दो अरिक्त समुच्चयों P और Q का कार्तीय गुणनफल
P × Q = {(p, q) के रूप में दिया गया है: p P, q ∈ Q}
तो,
G × H = {(7, 5 ), (7, 4), (7, 2), (8, 5), (8, 4), (8, 2)}
H × G = {(5, 7), (5, 8), ( 4, 7), (4, 8), (2, 7), (2, 8)}

4. बतलाइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है अथवा असत्य हैं। यदि कथन असत्य है तो दिए गए कथन को सही बना कर लिखिए।
(i) यदि P = {m, n} और Q = {n, m}, तो P × Q = {(m, n), (n, m)}।
(ii) यदि a और b गैर-रिक्त सेट हैं, तो a × b ऑर्डर किए गए जोड़े (x, y) का एक गैर-रिक्त सेट है जैसे कि x ए और y ∈ b।
(iii) यदि a = {1, 2}, b = {3, 4}, फिर a × (b ) = ।

हल :
(i) कथन असत्य है। सही कथन है:
यदि P = {m, n} और Q = {n, m}, तो
P × Q = {(m, m), (m, n), (n, m), (n, n) )}

(ii) सच

(iii) सच

5. यदि A = {-1, 1} है, तो A × A × A ज्ञात कीजिए।

हल:
एक गैर-रिक्त समुच्चय A के लिए
A × A × A, A × A × A = {(a, b, c) द्वारा दिया जाता है: a, b, c ∈ A}
यहाँ, यह दिया गया है A = {- 1, 1}
अतः,
A × A × A = {(-1, -1, -1), (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (-1, 1, 1), (1, -1, -1), (1, -1, 1), (1, 1, -1), (1, 1, 1)}

6. यदि A × b = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)}। a और बी खोजें।

हल:
दिया गया है,
A × B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)}
हम जानते हैं कि दो अरिक्त समुच्चयों P और Q का कार्तीय गुणनफल दिया गया है। by:
P × Q = {(p, q): p P, q ∈ Q}
इसलिए, A सभी प्रथम तत्वों का समुच्चय है और B सभी दूसरे तत्वों का समुच्चय है।
इसलिए, a = {a, b} और b = {x, y}

7. मान लीजिए A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6} और D = {5, 6, 7, 8}। सत्यापित करें कि
(i) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
(ii) A × C B × D का सबसेट है

हल: दिया गया है,
A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6} और D = {5, 6, 7, 8}

(i) सत्यापित करने के लिए: A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
अब, B ∩ C = {1, 2, 3, 4} ∩ {5, 6} =
इस प्रकार,
एलएचएस = a × (b ∩ c) = a × Φ = Φ
अगला,
a × b = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1 ), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}
A × C = {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}
इस प्रकार ,
RHS = (a × b) ∩ (a × c) =
इसलिए, LHS = RHS
– इसलिए सत्यापित

(ii) सत्यापित करने के लिए: A × C, B × D का एक उपसमुच्चय है
पहले,
A × C = {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}
और,
B × D = {(1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8) ), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
अब, यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि समुच्चय A × C के सभी अवयव समुच्चय B × D के अवयव हैं।
इस प्रकार, A × C, B × D का उपसमुच्चय है।
– इसलिए सत्यापित

8. माना A = {1, 2} और B = {3, 4}। A × B लिखिए। A × B के कितने उपसमुच्चय होंगे? उनकी सूची बनाओ।

हल: दिया गया है,
A = {1, 2} और B = {3, 4}
अतः
A × B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
संख्या A × B में तत्वों की संख्या n(A × B) = 4
है हम जानते हैं कि
यदि C, n(C) = m के साथ एक समुच्चय है, तो n[P(C)] = 2^mहै।
इस प्रकार, समुच्चय A × B के 2⁴ = 16 उपसमुच्चय हैं।
और, ये उपसमुच्चय इस प्रकार हैं:
, {(1, 3)}, {(1, 4)}, {(2, 3)}, {(2, 4)}, {(1, 3), ( 1, 4)}, {(1, 3), (2, 3)}, {(1, 3), (2, 4)}, {(1, 4), (2, 3)}, {( 1, 4), (2, 4)}, {(2, 3), (2, 4)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 3)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 4)}, {(1, 3), (2, 3), (2, 4)}, {(1, 4), (2, 3), ( 2, 4)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}

9. मान लीजिए कि A और B ऐसे दो समुच्चय हैं कि n(A) = 3 और n (B) = 2। यदि (x, 1), (y, 2), (z, 1) A × B में हैं, तो ज्ञात कीजिए। a और b, जहां x, y और जेड अलग-अलग तत्व हैं।

हल: दिया गया है,
n(A) = 3 और n(B) = 2; और (x, 1), (y, 2), (z, 1) A × B में हैं।
हम जानते हैं कि,
A = A × B B के क्रमित युग्म तत्वों के प्रथम तत्वों का
समुच्चय = के दूसरे तत्वों का समुच्चय A × B के क्रमित युग्म अवयव
तो, स्पष्ट रूप से x, y, और z, A के अवयव हैं; और
1 और 2 B के अवयव हैं।
चूंकि n(A) = 3 और n(B) = 2, यह स्पष्ट है कि समुच्चय A = {x, y, z} और समुच्चय B = {1, 2}।

10. कार्तीय गुणन A × A में 9 तत्व होते हैं जिनमें से (-1, 0) और (0, 1) पाए जाते हैं। समुच्चय A और A × A के शेष अवयव ज्ञात कीजिए।

हल: हम जानते हैं कि,
यदि n(A) = p और n(B) = q, तो n(A × B) = pq।
साथ ही, n(A × A) = n(A) × n(A)
दिया गया है,
n(A × A) = 9
इसलिए, n(A) × n(A) = 9
इस प्रकार, n(A) = 3
भी दिया गया है कि, क्रमित युग्म (-1, 0) और (0, 1) A × A के नौ तत्वों में से दो हैं।
और, हम A × A = {(a, a): a A} में जानते हैं।
इस प्रकार, -1, 0, और 1 को A के अवयव होना चाहिए।
चूंकि n(A) = 3, स्पष्ट रूप से A = {-1, 0, 1}।
अत: समुच्चय A × A के शेष अवयव इस प्रकार हैं:
(-1, -1), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (1, -1), ( 1, 0), और (1, 1)