NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter-16 – प्रायिकता (Probability) प्रश्नावली 16.3

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter-16 – प्रायिकता (Probability) प्रश्नावली 16.3

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter-16 – प्रायिकता (Probability) प्रश्नावली 16.3

?Chapter – 16?

✍प्रायिकता✍

?प्रश्नावली 16.3?

_{1.प्रतिदर्श समष्‍टि़ S = {ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6,ω7} के परिणामों के लिए निम्नलिखित में से कौन से प्रायिकता निर्धारण वैध नहीं हैं:}

कार्यभार

हल: (a) शर्त (i): प्रत्येक संख्या p(ωi) धनात्मक है और शून्य से कम है। शर्त
(ii): प्रायिकताओं का योग
0.01 + 0.05 + 0.03 + 0.01 + 0.2 + 0.6 = 1
इसलिए, दिया गया नियत कार्य मान्य है।

b) शर्त (i): प्रत्येक संख्या p(ωi) सकारात्मक है और शून्य से कम है। शर्त
(ii): प्रायिकताओं का योग
= (1/7) + (1/7) + (1/7) + (1/7) + (1/7) + (1/7) + (1/7)
= 7/7
= 1
इसलिए दिया गया नियत कार्य मान्य है।

c) शर्त (i): प्रत्येक संख्या p(ωi) धनात्मक है और शून्य से कम है। शर्त
(ii): प्रायिकताओं का योग
= 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.7
= 2.8 > 1
इसलिए, दूसरी शर्त संतुष्ट नहीं है
जो बताती है कि p(w_i) 1
तो, दिया गया असाइनमेंट नहीं है वैध।

d) दिए गए असाइनमेंट में स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण की शर्तें सही नहीं हैं, अर्थात
1) प्रत्येक संख्या p(w_i) शून्य से कम है, लेकिन नकारात्मक भी
है सच होने के लिए प्रत्येक संख्या p(w_i) कम होनी चाहिए शून्य से सकारात्मक और
इसलिए, असाइनमेंट मान्य नहीं है

e) शर्त (i): प्रत्येक संख्या p(ωi) सकारात्मक और शून्य से कम है। शर्त (ii): संभावनाओं का योग
= (1/14) + (2/14) + (3/14) + (4/14) + (5/14) + (6/14) + (7/14)
= (28/14) ≥ 1
दूसरी शर्त सही नहीं है इसलिए असाइनमेंट मान्य नहीं है।

2. एक सिक्का दो बार उछाला जाता है। कम से कम एक पट् प्राप्त होने की क्या प्रायिकता है?

हल: चूँकि कोई भी सिक्का चित (H) या पट (T) को मोड़ सकता है, संभावित परिणाम हैं।
यहाँ सिक्के को दो बार उछाला जाता है, तो प्रतिदर्श समष्टि S = (TT, HH, TH, HT)
है संभावित परिणामों की संख्या n (S) = 4
मान लीजिए कि A कम से कम एक
पट आने की घटना है n (A) = 3
P (घटना) = घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या / संभावित परिणामों की कुल संख्या
P(A) = n(A)/n(S)
= ¾

3. एक पासा फेंका जाता है । निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(i) एक अभाज्य संख्या प्रकट होना
(ii) 3 या 3 से बड़ी संख्या प्रकट होना
(iii) 1 या 1 से छोटी संख्या प्रकट होना
(iv) छः से बड़ी संख्या प्रकट होना
(v) छः से छोटी संख्या प्रकट होना

हल: मान लीजिए कि पासे को फेंकने पर 1, 2, 3, 4, 5 और 6 संभावित परिणाम हैं।
यहाँ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6

(i) एक अभाज्य संख्या दिखाई देगी,
मान लीजिए ‘A’ एक अभाज्य संख्या प्राप्त होने की घटना है,
A = {2, 3, 5}
तब, n(A) = 3
P(घटना) = अनुकूल परिणामों की संख्या घटना के लिए/ संभावित परिणामों की कुल संख्या
∴ P(A) = n(A)/n(S)
= 3/6
= ½

(ii) 3 से बड़ी या उसके बराबर एक संख्या दिखाई देगी,
मान लीजिए कि ‘B’ 3 से बड़ी या उसके बराबर संख्या प्राप्त करने की घटना है,
B = {3, 4, 5, 6}
तब, n(B) ) = 4
पी (घटना) = घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या / संभावित परिणामों की कुल संख्या
∴ P(B) = n(B)/n(S)
= 4/6
= 2/3

(iii) एक से कम या उसके बराबर एक संख्या दिखाई देगी,
मान लीजिए कि ‘C’ 1 से कम या उसके बराबर संख्या प्राप्त करने की घटना है,
C = {1}
फिर, n (C) = 1
P(घटना ) = घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या / संभावित परिणामों की कुल संख्या
∴P(C) = n(C)/n(S)
= 1/6

(iv) 6 से अधिक संख्या दिखाई देगी,
मान लीजिए कि 6 से अधिक संख्या प्राप्त होने की घटना ‘D’ है, तो
D = {0)}
फिर, n (D) = 0
P (घटना) = संख्या घटना के अनुकूल परिणाम/संभावित परिणामों की कुल संख्या
∴ P(D) = n(D)/n(S)
= 0/6
= 0

(v) 6 से छोटी संख्या दिखाई देगी।
आइए मान लें कि ‘ई’ 6 से कम संख्या प्राप्त करने की घटना है, तो
e = (1, 2, 3, 4, 5)
फिर, n (E) = 5
पी (घटना) = घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या / संभावित परिणामों की कुल संख्या
∴P(E) = n(E)/n(S)
= 5/6

4. ताश की गड्डी के 52 पत्तों में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला गया है।
(a) प्रतिदर्श समष्‍टि में कितने बिंदु हैं
(b) पत्ते का हुकुम का इक्का होने की प्रायिकता क्या है
(c) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पत्‍ता (i) इक्का है (ii) काले रंग का है।

हल: प्रश्न से यह दिया गया है कि डेक में 52 पत्ते हैं।

(a) नमूना स्थान में बिंदुओं की संख्या = 52 (दिया गया)
n (S) = 52

(b) मान लें कि ‘ए’ हुकुम का इक्का खींचने की घटना है।
a = 1
∴ n (A) = 3
P (घटना) = घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या/संभावित परिणामों की कुल संख्या
∴P(A) = n(A)/n(S)
= 1/52

(c) मान लें कि ‘बी’ एक इक्का खींचने की घटना है। चार इक्के हैं।
फिर, n (B) = 4
P (घटना) = घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या/संभावित परिणामों की कुल संख्या
∴P(B) = n(B)/n(S)
= 4/52
= 1/13

(d) मान लें कि ‘सी’ एक काला कार्ड खींचने की घटना है। 26 ब्लैक कार्ड हैं।
फिर, n (C) = 26
P (घटना) = घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या / संभावित परिणामों की कुल संख्या
∴P(C) = n(C)/n(S)
= 26/52
= ½

5. एक अनभिनत सिक्का जिसके एक तल पर 1 और दूसरे तल पर 6 अंकित है तथा एक अनभिनत पासा दोनों को उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि प्रकट संख्याओं का योग (i) 3 है (ii) 12 है।

हल:  मान लीजिए कि पासे को फेंकने पर 1, 2, 3, 4, 5 और 6 संभावित परिणाम हैं।
अतः प्रतिदर्श समष्टि S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
फिर, n(S) = 12

(i) मान लें कि ‘P’ वह घटना है जिसमें संख्याओं का योग 3 है।
P = {(1, 2)},
फिर, n (P) = 1
P (घटना) = घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या/कुल संभावित परिणामों की संख्या
∴P(P) = n(P)/n(S)
= 1/12

(ii) मान लें कि ‘Q’ वह घटना है जिसका योग 12 है।
तब Q = {(6, 6)}, n (Q) = 1
P (घटना) = घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या/कुल संख्या संभावित परिणामों में से
∴P(Q) = n(Q)/n(S)
= 1/12

6. नगर परषिद में चार पुरूष व छः स्‍त्रियां हैं। यदि एक समिति के‌ लिए यादृच्छया एक परिषद् सदस्य चुना गया है तो एक स्त्री के चुने की कितनी संभावना है?

हल: प्रश्न से यह दिया गया है कि नगर परिषद में चार पुरुष और छह महिलाएं हैं।
यहां परिषद में कुल सदस्य = 4 + 6 = 10,
इसलिए, नमूना स्थान में 10 अंक हैं
n (एस) = 10
महिलाओं की संख्या 6 है … [दिया गया]
मान लीजिए कि ‘ए’ एक महिला को चुनने की घटना है
तब n (A) = 6
P (घटना) = घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या/संभावित परिणामों की कुल संख्या
∴P(A) = n(A)/n(S)
= 6/10 … [अंश और हर दोनों को विभाजित करें 2 से]
= 3/5

7. एक अनभिनत सिक्के को चार बार उछाला जाता है और एक व्यक्‍ति प्रत्यके चित्त पर एक रू0 जीतता है ओर प्रत्येक पट् पर 1.50 रू0 हारता है। इस परीक्षण के प्रतिदर्श समष्‍टि से ज्ञात कीजिए कि आप चार उछालों में कितनी विभिन्न राशियां प्राप्त कर सकते हैं। साथ ही इन राशियों में से प्रत्येक की प्रायिकता भी ज्ञात कीजिए?

हल: चूँकि कोई भी सिक्का चित (H) या पट (T) को मोड़ सकता है, संभावित परिणाम हैं।
लेकिन, अब सिक्का चार बार उछाला जाता है, इसलिए संभावित नमूना स्थान में शामिल हैं,
S = (HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, THHH, HHTT, HTHT, THHT, HTTH, THTH, TTHH, TTTH,
TTHT, THTT, HTTT, TTTT)
प्रश्न में दी गई शर्त के अनुसार, एक व्यक्ति सिक्के के चेहरे के आधार पर जीतेगा या हारेगा, इसलिए,

(i) 4 शीर्षों के लिए = 1 + 1 + 1 + 1 = ₹ 4
तो, वह ₹ 4 जीतता है

(ii) 3 सिर और 1 टेल के लिए = 1 + 1 + 1 – 1.50
= 3 – 1.50
= ₹ 1.50
तो, वह ₹ 1.50 जीतेगा

(iii) 2 चित और 2 पट के लिए = 1 + 1 – 1.50 – 1.50
= 2 – 3
= – ₹ 1
तो, उसे ₹ 1 की हानि होगी

(iv) 1 सिर और 3 पूंछ के लिए = 1 – 1.50 – 1.50 – 1.50
= 1 – 4.50
= – ₹ 3.50
तो, उसे रुपये का नुकसान होगा। 3.50

(v) 4 पटों के लिए = – 1.50 – 1.50 – 1.50 – 1.50
= – ₹ 6
तो, उसे रु. 6
अब राशियों का प्रतिदर्श समष्टि
S= {4, 1.50, 1.50, 1.50, 1.50, – 1, – 1, – 1, – 1, – 1, – 1, – 3.50, – 3.50, – 3.50, – 3.50 है। , – 6}
फिर, n (S) = 16
P (₹ 4 जीतना) = 1/16
P (₹ 1.50 जीतना) = 4/16 … [अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित करना]
=
P (₹ 1 जीतना) = 6/16 … [अंश और हर दोनों को 2 से विभाजित करें]
= 3/8
P (₹ 3.50 जीतकर) = 4/16 … [अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित करें]
=
P (₹ 6) जीतना = 1/16
= 3/8

8. तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं निम्नलिखित की प्रायिकता ज्ञात कीजिएः
(i) तीन चित्त प्रकट होना (ii) 2 चित्त प्रकट होना
(iii) न्यूनतम 2 चित्त्‍ प्रकट होना (iv)
अधिकतम 2 चित्त प्रकट होना (v) एक भी चित्त प्रकट न होना (vi) 3 पट् प्रकट होना
(vii) तथ्यतः 2 पट् प्रकट होना (viii) कोई भी पट् न प्रकट होना
(ix) अधिकतम 2 पट् प्रकट होना

हल: चूँकि कोई भी सिक्का चित (H) या पट (T) को मोड़ सकता है, संभावित परिणाम हैं।
लेकिन, अब तीन सिक्के उछाले गए हैं, इसलिए संभावित नमूना स्थान में शामिल हैं,
S = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, HTT, TTT, THT}
जहां एस नमूना स्थान है और यहां n(S) = 8

(i) 3 शीर्ष
आइए मान लें कि ‘A’ 3 चित प्राप्त होने की घटना है
n(A)= 1
P(A) = n(A)/n(S)
= 1/8

(ii) 2 शीर्ष
आइए मान लें कि ‘B’ 2 चित आने की घटना है
n (A) = 3
∴P(B) = n(B)/n(S)
= 3/8

(iii) कम से कम 2 शीर्ष
मान लें कि ‘C’ कम से कम 2 शीर्ष
n(C) = 4
P(C) = n(C)/n(S)
= 4/8
= ½ प्राप्त करने की घटना है।

(iv) अधिकतम 2 शीर्ष
मान लें कि ‘D’ अधिक से अधिक 2 शीर्ष प्राप्त करने की घटना है
n(D) = 7
P(D) = n(D)/n(S)
= 7/8

(v) कोई शीर्ष नहीं
मान लें कि ‘E’ कोई शीर्ष न होने की घटना है
n(E) = 1
∴P(E) = n(E)/n(S)
= 1/8

(vi) 3 पट
आइए मान लें कि ‘F’ 3 पट आने की घटना है
n(F) = 1
P(F) = n(F)/n(S)
= 1/8

(vii) बिल्कुल दो पट
आइए मान लें कि ‘G’ ठीक 2 पट प्राप्त होने की घटना है
n(G) = 3
P(G) = n(G)/n(S)
= 3/8

(viii) कोई पूंछ नहीं
मान लें कि ‘H’ कोई पट न होने की घटना है
n(H) = 1
P(H) = n(H)/n(S)
= 1/8

(ix) अधिकतम दो पटों पर
मान लें कि ‘I’ अधिक से अधिक 2 पट आने की घटना है
n(I) = 7
P(I) = n(I)/n(S)
= 7/8

9. यह किसी घटना A की प्रायिकता 2/11 है तो घटना A नहीं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: प्रश्न से यह दिया गया है कि, 2/11 किसी घटना A की प्रायिकता है,
अर्थात P (A) = 2/11
तब,
P (A नहीं) = 1 – P (A)
= 1 – (2/ 11)
= (11 – 2)/11
= 9/11

10. ‘शब्द ASSASSINATION एक से अक्षर यादृच्छया चुना जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुना गया अक्षर (i) एक स्वर (vowel) (ii) एक व्यंजन (consonant) है।

हल: प्रश्न में दिया गया शब्द ‘हत्या’ है।
दिए गए शब्द में कुल अक्षर = 13 दिए गए शब्द
में स्वरों की
संख्या = 6 दिए गए शब्द में व्यंजनों की संख्या = 7
फिर, नमूना स्थान n(S) = 13

(i) एक स्वर
मान लें कि ‘A’ स्वर के चयन की घटना है
n(A) = 6
∴P(A) = n(A)/n(S)
= 6/13

(ii) मान लें कि व्यंजन
n(B)= 7
P(B) = n(B)/n(S)
= 7/13 के चयन की घटना ‘B’ है।

11. एक लाटरी में एक व्यक्‍ति 1 से 20 तक की संख्याओं में से छः भिन्न-भिन्न संख्याएं यादृच्छया चुनता है और यदि ये चुनी गर्द छः संख्याएं उन छः संख्याओं से मेल खाती है जिन्हें लाटरी समिति ने पूर्वनिर्धारित कर रखा है तो वह व्यक्‍ति इनाम जीत जाता है। लाटरी के खेल में इनाम जीतने की प्रायिकता क्या है ?

हल: प्रश्न से यह दिया गया है कि,
ड्रा में संख्याओं की कुल संख्या = 20
चुनी जाने वाली संख्याएँ = 6

=> उन तरीकों की कुल संख्या, जिनमें से 1 से 20 तक छह भिन्न-भिन्न संख्याएँ चुन सकते हैं = 

20 _{C 6}

20!/6!(20-6)!

20!/6!14!

20*19*18*17*16*15*14!/1*2*3*4*5*6*14!

=38760

=> इसलिए, 6 संख्याओं के 38760 संयोजन हैं |

=> इन संयोजनों मे से, सिर्फ एक संख्या ऐसी हे जिन्हें लाटरी समिति ने पूर्वनिर्धारित कर रखा है।

=> इसप्रकार, लाटरी के खेल में इनाम जीतने की प्रायिकता = 

1/38760

12. जांच कीजिए कि निम्न प्रायिकताएं P(A) और P(B) युक्‍ति संगत परिभाषित की गइ है
(i) P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A∩B) = 0.6
(ii) P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 , P(A∪B) = 0.8

हल: (i) P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.6
P(A B) > P(A)
इसलिए, दी गई प्रायिकताएं लगातार परिभाषित नहीं हैं।

(ii) P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∪ B) = 0.8
फिर,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
0.8 = 0.5 + 0.4 – P(A ∩ B)
एलएचएस में स्थानांतरित करना – P(A ∩ B) और यह P(A ∩ B) और 0.8 से आरएचएस हो जाता है और यह – 0.8 हो जाता है।
P(A B) = 0.9 – 0.8
= 0.1
इसलिए, P(A B) <P(A) और P(A B) <P(B)
अतः, दी गई प्रायिकताएं लगातार परिभाषित की जाती हैं।

13. निम्नलिखित सारणी में खाली स्थान भरिए

हल: दी गई तालिका से,

(i) P(A) = 1/3, P(B) = 1/5, P(A ∩ B) = 1/15, P(A ∪ B) = ?
हम जानते हैं कि,
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= (1/3) + (1/5) – (1/15)
= ((5 + 3)/15) – (1/15)
= (8/15) – (1/15)
= (8 – 1)/15
= 7/15

(ii) P(A) = 0.35, P(B) = ?, P(A B) = 0.25, P(A B) = 0.6
फिर,
P(A ∪ B) = P(A) + P( b) – P (A ∩ B)
0.6 = 0.35 + P (B) – 0.25
स्थानांतरण – 0.25, 0.35 LHS में और यह 0.25 और – 0.35 हो जाता है।
P (B) = 0.6 + 0.25 – 0.35
= 0.5

(iii) P(A) = 0.5, P(B) = 0.35, P(A ∪ B) = 0.7, P(A ∩ B) = ?
फिर,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
0.7 = 0.5 + 0.35 – P(A ∩ B)
(A ∩ B) को LHS में स्थानांतरित करना – P(A B) और यह बन जाता है P(A B) और 0.7 से RHS और यह – 0.7 हो जाता है।
P(A ∩ B) = 0.85 – 0.7
= 0.15

14. P(A) = 3/5 और P(B) = 1/5 दिया गया है। यदि A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएं है तो P(A या B) ज्ञात कीजिए।

हल: प्रश्न से यह दिया गया है कि,
P(A) = 5/3 और P(B) = 1/5
तब, P(A या B), यदि A और B परस्पर अपवर्जी हैं
P(A∪B) or P(A or B) = P(A) + P(B)
= (3/5) + (1/5)
= 4/5

15. यदि E और F घटनाएं इस प्रकार है कि P(E)=14,P(F)=1/2 और P(E और F) =1/8 तो ज्ञात कीजिए (i) P(E या F) (ii) P (E नहीं और F नहीं)।

हल: प्रश्न से हमें P(E) = , P(F) = ½ और P(E ∩ F) = 1/8 मिलता है।

(i) P(E or F) i.e. P(E∪F) = P(E) + P(F) – P(E ∩ F)
= ¼ + ½ – (1/8)
= 5/8

(ii) P (E नहीं और F नहीं) = P (E¯ ∩ F¯ ) = P(¯ E¯  ∩¯  F¯ ) = 1 – P(E ∩ F)

= 1 – (5/8)
= (8 – 5)/8
= 3/8

16. घटनाएं E और F इस प्रकार है कि P(E नहीं और F नहीं) = 0.25 बताइए कि E और F अपवर्जी है या नहीं?

समाधान: P(E-नहीं और F-नहीं) = P(E ∩ F)

= P[(E ∪ F)’]

अर्थात् = 1 – P(E ∪ F) = 0.25

या P(E ∪ F) = 1 – 0.25

= 0.75

∴ P(E) ∪ F) ≠ 0 इसलिए E और F परस्पर अपवर्जी नहीं है।

17. घटनाएं A और B इस प्रकार है कि P(A) = 0.4, P(B) = 0.48 और P(A और B) 0.16 ज्ञात कीजिए। (i) P (A- नहीं) (ii) P(B – नहीं) (iii) P (A या B)

हल: प्रश्न से यह दिया गया है कि, P(A) = 0.42, P(B) = 0.48 और P(A और B) = 0.16।

(i) P(not A) = 1 – P(A)
= 1 – 0.42
= 0.58

(ii) P(not B) = 1 – P(B)
= 1 – 0.48
= 0.52

(iii) P(A not B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.42 + 0.48 – 0.16
= 0.74

18. यह पाठशाला की कक्षा XI के 40% विद्यार्थी गणित पढ़ते हैं और 30% जीव विज्ञान पढ़ते हैं। कक्षा के 10 प्रतिशत विद्यार्थी गणित और जीव विज्ञान दोनों पढ़ते हैं। यदि कक्षा का एक विद्यार्थी यादृच्छया चुना जाता है, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए किेप वह गणित या जीव विज्ञान पढ़ता होगा।

हल: एक पाठशाला के 40% विद्यार्थी गणित पढ़ते हैं।

∴ गणित पढ़ने वाले विद्यार्थी की प्रायिकता P(M) = 40/100=0.4

30% विद्यार्थी जीव विज्ञान पढ़ते हैं।

∴ जीव विज्ञान पढ़ने वाले विद्यार्थी की प्रायिकता P(B) = 30/100=0.3

∴ 10% विद्यार्थी गणित और जीव विज्ञान दोनों पढ़ते हैं।

∴ गणित और जीव विज्ञान वाले विद्यार्थियों की प्रायिकता, P(M ∩ B)

= 10/100

= 0.1

अब एक विद्यार्थी यादृच्छया चुना गया हो, तब उस विद्यार्थी द्वारा गणित या जीव विज्ञान लिए गए विषय की प्रायिकता

P(M ∪ B) = P(M) + P(B) – P(M ∩ B)

= 0.4 + 0.3 – 0.1

= 0.6

19. एक प्रवेश परीक्षा में, जिसे दो परीक्षाओं के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है, यादृच्छिक रूप से चुने गए छात्र के पहली परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.8 है और दूसरी परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.7 है। उनमें से कम से कम एक के पास होने की प्रायिकता 0.95 है। दोनों के पास होने की प्रायिकता क्या है?

हल: मान लीजिए कि यादृच्छिक रूप से चुने गए छात्र के पहली परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.8 P(A) है।
और यह भी मान लें कि दूसरी परीक्षा पास करने की प्रायिकता 0.7 है P(B)
तो,
P(A∪B) के कम से कम एक परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता है
, अब
P(A∪B) = 0.95, P(A) =0.8, P(B)=0.7
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
0.95 = 0.8 + 0.7 – P(A∩B) स्थानान्तरण
– P(A ∩ B) से LHS हो जाता है और यह P(A ∩ B) और 0.95 RHS हो जाता है और यह हो जाता है
– 0.95
P(A∩B) = 1.5 – 0.95
= 0.55
इसलिए, 0.55 संभावना है कि छात्र दोनों परीक्षाओं में उत्तीर्ण होगा।

20. एक छात्र के अंग्रेजी और हिंदी दोनों में अंतिम परीक्षा पास करने की संभावना 0.5 है और न ही पास होने की संभावना 0.1 है। यदि अंग्रेजी की परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.75 है, तो हिन्दी परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता क्या है?

हल: मान लें कि अंग्रेजी की परीक्षा पास करने की प्रायिकता 0.75 है, P(A) है।
और यह भी मान लें कि हिंदी की परीक्षा पास करने की प्रायिकता P(B) है।
यहाँ दिया गया है, P(A) = 0.75, P(A∩B) – 0.5, P(A^IB^I) = 0.1
हम जानते हैं कि, P(A^IIA∪B)
तब, P(A∪B) = 1 – P(A^IB^I)
= 1 – 0.1
= 0.9
∴ P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
0.9 = 0.75 + P(B) – 0.5
0.75, – 0.5 को एलएचएस में स्थानांतरित करना और यह – 0.75, 0.5 हो जाता है।
P(B) = 0.9 + 0.5 – 0.75
= 0.65

21. एक कक्षा के 60 विद्यार्थियों में से 30 ने एन0सी0सी0 32 ने एन0एस0एस0 और 24 ने दोनों को चुना है। यदि इनमें से एक विद्यार्थी यादृच्छया चुना गया है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि
(i) विद्यार्थी ने एन0सी0सी0 या एन0एस0एस0 को चुना है।
(ii) विद्यार्थी ने न तो एन0सी0सी0 और न ही एन0एस0एस0 को चुना है।
(iii) विद्यार्थी ने एन0एस0एस0 को चुना है किंतु एन0सी0सी0 को नहीं चुना है।

हल: प्रश्न से यह दिया गया है कि,
कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या = 60
इस प्रकार, नमूना स्थान n(S) = 60 से मिलकर बना है
आइए मान लें कि NCC के लिए चुने गए छात्र ‘A’
हैं और यह भी मान लें कि एनएसएस के लिए चुने गए छात्र ‘बी’
तो, n(A)= 30, n(B) = 32, n(A∩B) = 24
हम जानते हैं कि, P(A) = n(A)/n(S)
= 30/60
= ½
P(B) = n(B)/n(S)
= 32/60
= 8/15
P(A∩B) = n(A∩B)/n(S)
= 24/60
= 2/5
इसलिए, P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

(i) छात्र ने एनसीसी या एनएसएस का विकल्प चुना।
P (A or B) = P(A) + P(B) –P(A and B)
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= ½ + (8/15) – (2/5)
= 19/30

(ii) P(छात्र ने न तो NCC और न ही NSS को चुना)
P(A नहीं और B नहीं) = P(A ^{I B I} )
हम जानते हैं कि, P(A ^I B ^I ) = 1 – P(A∪B )
= 1 – (19/30)
= 11/30

(iii) पी (छात्र ने एनएसएस चुना लेकिन NSS नहीं)
n(B – A) = n(B) – n (A∩B)
⇒ 32 – 24 = 8
संभावना है कि चयनित छात्र ने एनएसएस चुना है और NSS नहीं है
= (8/60) = 2/15