NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter-16 – प्रायिकता (Probability) प्रश्नावली 16.2

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter-16 – प्रायिकता (Probability) प्रश्नावली 16.2

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 16 – प्रायिकता (Probability) प्रश्नावली 16.2

?Chapter – 16?

✍प्रायिकता✍

?प्रश्नावली 16.2?

1. एक पासा फेंका जाता है। मान लीजिए घटना E पासे पर संख्या 4 दर्शाता है और घटना F पासे पर सम संख्या दर्शाता है। क्या E और F परस्पर अपवर्जी है?

हल: मान लीजिए कि पासे को फेंकने पर 1, 2, 3, 4, 5 और 6 संभावित परिणाम हैं।
तो, S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
दी गई शर्तों के अनुसार
E घटना “डाई शो 4”
E = (4)
F घटना “डाई सम संख्या दिखाती है”
F = (2, 4, 6)
E∩F = (4) (2, 4, 6)
= 4
4 ≠ φ [क्योंकि E और F में एक उभयनिष्ठ तत्व है]
इसलिए E और F परस्पर अपवर्जी घटना नहीं हैं।

2. एक पास फेंका जाता है। निमनलिखित घटनाओं का प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) A: संख्या 7 से कम है। (ii) B: संख्या 7 से बड़ी है।
(iii) C: संख्या 3 से गुणज है। (iv) D संख्या 4 से कम है। (v) E: 4 से बड़ी सम संख्या है। (vi) F: संख्या 3 से कम नहीं है।

हल: मान लीजिए कि पासे को फेंकने पर 1, 2, 3, 4, 5 और 6 संभावित परिणाम हैं।
तो, S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
प्रश्न में दी गई शर्तों के अनुसार,

(i) A: 7 से छोटी एक संख्या पासे
में सभी संख्याएँ 7 से कम हैं,
A = (1, 2, 3, 4, 5, 6)

(ii) B: 7 से
बड़ी संख्या पासे पर 7 से बड़ी कोई संख्या नहीं है
, तो
B= (φ)

(iii) C: 3 का गुणज
केवल दो संख्याएँ हैं जो 3 की गुणज हैं।
फिर,
C= (3, 6)

(iv) D : 4 से कम संख्या
डी = (1, 2, 3)

(v) E: 4
E से बड़ी एक सम संख्या = (6)

(vi) F: कम से कम 3
F= (3, 4, 5, 6) एक संख्या
भी हमें ज्ञात करनी है, A U B, A ∩ B, B U C, E ∩ F, D ∩ E, D – E, A – C, E ∩ F’, F’
तो,

A ∩ B = (1, 2, 3, 4, 5, 6) ∩ (φ)
= (φ)

B U C = (φ) U (3, 6)
= (3, 6)

E ∩ F = (6) ∩ (3, 4, 5, 6)
= (6)

D ∩ E = (1, 2, 3) ∩ (6)
= (φ)

D – E = (1, 2, 3) – (6)
= (1, 2, 3)

A – C = (1, 2, 3, 4, 5, 6) –  (3, 6)
= (1, 2, 4, 5)

F’ = S – F
= (1, 2, 3, 4, 5, 6) – (3, 4, 5, 6)
= (1, 2)

E ∩ F’ = (6) ∩ (1, 2)
= (φ)

3. एक परीक्षण में पासें के एक जोड़े को फेंकते हैं और उन पर प्रकट संख्याओं को लिखते हैं।
निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए
A: प्राप्त संख्याओं का योग 8 से अधिक है।
B: दोनों पासों पर संख्या 2 प्रकट होती है।
C: प्रकट संख्याओं का योग कम से कम 7 है और 3 का गुणज है।
इन घटनाओं के कौन-कौन से युग्म परस्पर अपवर्जी है?

हल:जब दो पासे फेंके जाते हैं, तो कुल संभावित परिणामों की संख्या

= 6 × 6
= 36

A = प्राप्त संख्याओं का योग 8 से अधिक है।
= {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}

B = कम से कम एक पासे पर संख्या 2 प्रकट होती है
= {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)}

C = प्रकट संख्याओं का योग कम से कम 7 है और 3 का गुणज है।
= प्रकट संख्याओं का योग 9 और 12 है जो कि 3 का गुणज है।
= {(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (6, 6)}

A ∩ C = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)} ∩ {(3, 6), (6, 3), (5, 4), (6, 6)}
= {(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (6, 6)}
A ∩ B = {(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (4, 6), (6, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6) ∩ {(1, 2), (3, 2), (2, 1), (2, 3), (4, 2), (2, 4), (5, 2), (2, 5), (2, 6), (6, 2)}
= ϕ

B ∩ C = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2), (2, 5), (5, 2), (2, 6), (6, 2)} ∩ {(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (6, 6)}
= ϕ

A ∩ B = ϕ , B ∩ C = ϕ अर्थात् A और B, B और C परस्पर अपवर्जी हैं।
परंतु A ∩ C ≠ ϕ,
अत: A और C परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।

प्रश्न में दिया गया है कि पासे का जोड़ा फेंका जाता है, इसलिए प्रतिदर्श समष्टि होगी, अब, हम पाएंगे कि इन घटनाओं के जोड़े परस्पर अपवर्जी हैं या नहीं।

(i) A∩ B =
चूँकि A और B में कोई उभयनिष्ठ तत्व नहीं है
इसलिए A और B परस्पर अपवर्जी हैं

(ii) B ∩ C =
चूँकि B और C के बीच कोई उभयनिष्ठ अवयव नहीं है,
इसलिए B और C परस्पर अपवर्जी हैं।

(iii) A ∩ C {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (6,6)}
⇒ {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (6,6)} ≠ φ
चूँकि A और C में उभयनिष्ठ अवयव हैं।
इसलिए A और C परस्पर अपवर्जी हैं।

4. तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है । मान लीजिए कि घटना तीन चित्त दिखना को A से घटना दो चित्त और एक पट् दिखना को B से घटना तीन पट् दिखना को C और घटना पहले सिक्के पर चित्त दिखना को D से निरूपित किया गया है। बताइए कि इनमें से कौन सी घटनाएं (i) परस्पर अपवर्जी है। (ii) सरल है (iii) मिश्र हैं?

हल: चूँकि कोई भी सिक्का चित (H) या पट (T) को मोड़ सकता है, संभावित परिणाम हैं।
लेकिन, अब तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है, इसलिए संभावित नमूना स्थान में शामिल हैं,
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTH}
अब,
A: ‘तीन शीर्ष’
A= (HHH)

B: “दो सिर और एक पूंछ”
B= (HHT, THH, HTH)

C: ‘तीन पूंछ’
C= (TTT)

D: पहले सिक्के पर एक शीर्ष दिखाई देता है
D= (HHH, HHT, HTH, HTT)

(i) परस्पर अपवर्जी
A ∩ B = (HHH) ∩ (HHT, THH, HTH)
= φ
इसलिए, A और C परस्पर अपवर्जी हैं।
A ∩ C = (HHH) ∩ (TTT)
= φ
वहां, ए और सी परस्पर अनन्य हैं।
A ∩ D = (HHH) ∩ (HHH, HHT, HTH, HTT)
= (HHH)
A ∩ D ≠ φ
इसलिए वे परस्पर अनन्य नहीं हैं

B ∩ C = (HHT, HTH, THH) ∩ (TTT)
= φ
चूंकि B और C में कोई सामान्य तत्व नहीं है, इसलिए वे परस्पर अनन्य हैं।
B ∩ D = (HHT, THH, HTH) ∩ (HHH, HHT, HTH, HTT)
= (HHT, HTH)
B ∩ D ≠ φ
चूंकि B और D में सामान्य तत्व हैं,
इसलिए, वे परस्पर अनन्य नहीं हैं।

C ∩ D = (TTT) ∩ (HHH, HHT, HTH, HTT)
= φ
चूंकि सी और डी में कोई सामान्य तत्व नहीं है,
इसलिए वे परस्पर अनन्य नहीं हैं।

(ii) साधारण घटना यदि किसी घटना में प्रतिदर्श समष्टि का केवल एक प्रतिदर्श बिंदु होता है, तो इसे सरल (या प्रारंभिक) घटना कहते हैं।
A = (HHH)
C = (TTT)
ए और सी दोनों में केवल एक तत्व है,
इसलिए वे साधारण घटनाएं हैं।

(iii) यौगिक घटनाएँ
यदि किसी घटना में एक से अधिक नमूना बिंदु होते हैं, तो इसे एक यौगिक घटना कहा जाता है
B= (HHT, HTH, THH)
D= (HHH, HHT, HTH, HTT)
B & D दोनों में एक से अधिक तत्व होते हैं ,
तो, वे यौगिक घटनाएँ हैं।

5. तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। वर्णन कीजिए।
(i) दो घटनाएं जो परस्पर अपवर्जी हैं।
(ii) तीन घटनाएं जो परस्पर अपवर्जी और नि:शेष हैं।
(iii) दो घटनाएं जो परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
(iv) दो घटनाएं जो परस्पर अपवर्जी है किंतु नि:शेष नहीं हैं
(v) तीन घटनाएं जो परस्पर अपवर्जी है किंतु नि:शेष नहीं हैं।

हल: चूँकि कोई भी सिक्का चित (H) या पट (T) को मोड़ सकता है, संभावित परिणाम हैं।
लेकिन, अब तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है, इसलिए संभावित नमूना स्थान में शामिल हैं,
S= (HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT)

(i) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं।
आइए मान लें कि A केवल शीर्ष
A = (HHH) प्राप्त करने की घटना है
और यह भी मान लें कि B केवल पूंछ
B = (TTT) प्राप्त करने की घटना है
, इसलिए, A ∩ B = φ
चूंकि A और B में कोई सामान्य तत्व नहीं है इसलिए ये दोनों परस्पर अनन्य हैं।

(ii) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी और संपूर्ण हैं
, अब
मान लें कि P बिल्कुल दो पट आने की घटना है
P = (HTT, TTH, THT)
आइए मान लें कि Q कम से कम दो चित आने की घटना है
Q = ( एचएचटी, एचटीएच, टीएचएच, एचएचएच)
आइए मान लें कि आर केवल एक पूंछ प्राप्त करने की घटना है
C= (TTT)
P ∩ Q = (HTT, TTH, THT) ∩ (HHT, HTH, THH, HHH)
= φ
क्योंकि वहां P और Q में कोई उभयनिष्ठ तत्व नहीं है,
इसलिए, वे परस्पर अनन्य हैं
Q ∩ R = (HHT, HTH, THH, HHH) ∩ (TTT)
=
चूँकि Q और R में कोई उभयनिष्ठ तत्व नहीं है
, इसलिए वे परस्पर अपवर्जी हैं .
P ∩ R = (HTT, TTH, THT) (TTT)
=
चूँकि P और R में कोई उभयनिष्ठ अवयव नहीं है,
इसलिए वे परस्पर अनन्य हैं।
अब, P और Q, Q और R, और P और R परस्पर अपवर्जी हैं
P, Q, और R परस्पर अपवर्जी हैं।
और साथ ही,
P ∪ Q ∪ R = (HTT, TTH, THT, HHT, HTH, THH, HHH, TTT) = S
इसलिए P, Q और R संपूर्ण घटनाएँ हैं।

(iii) दो घटनाएँ, जो परस्पर अपवर्जी नहीं हैं
आइए मान लें कि ‘A’ कम से कम दो चित प्राप्त करने की घटना है
A = (HHH, HHT, THH, HTH)
मान लें कि ‘B’ केवल शीर्ष प्राप्त करने की घटना है।
B= (HHH)
अब A ∩ B = (HHH, HHT, THH, HTH) ∩ (HHH)
= (HHH)
A ∩ B ≠ φ
चूंकि ए और B में एक सामान्य तत्व है,
इसलिए वे परस्पर अनन्य नहीं हैं।

(iv) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं लेकिन संपूर्ण नहीं हैं
आइए मान लें कि ‘P’ केवल शीर्ष प्राप्त करने की घटना है
P = (HHH)
आइए मान लें कि ‘Q’ केवल पूंछ प्राप्त करने की घटना है
Q = (TTT)
P Q = (HHH) ∩ (TTT)
=
चूँकि P और Q में कोई उभयनिष्ठ अवयव नहीं है,
ये परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं।
लेकिन,
P ∪ Q = (HHH) ∪ (TTT)
= {HHH, TTT}
P ∪ Q ≠ S
चूँकि P ∪ Q ≠ S ये संपूर्ण घटनाएँ नहीं हैं।

(v) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं लेकिन संपूर्ण नहीं हैं
आइए मान लें कि ‘X’ केवल शीर्ष प्राप्त करने की घटना है
X = (HHH)
आइए मान लें कि ‘Y’ केवल पूंछ
Y = (TTT) प्राप्त करने की घटना
है । मान लीजिए ‘Z’ ठीक दो शीर्ष प्राप्त करने की घटना है
Z= (HHT, THH, HTH)
अब,
X Y = (HHH) ∩ (TTT)
= φ
X ∩ Z = (HHH) ∩ (HHT, THH, HTH) )
= φ
Y ∩ Z = (TTT) ∩ (HHT, THH, HTH)
=
इसलिए, वे परस्पर अपवर्जी हैं
साथ ही
X ∪ Y ∪ Z = (HHH TTT, HHT, THH, HTH)
X Y ∪ Z ≠ S
तो, X, Y और Z संपूर्ण नहीं हैं।
अत: यह सिद्ध हो जाता है कि X, Y और X परस्पर अपवर्जी हैं लेकिन संपूर्ण नहीं हैं।

6. दो पासे फेंके जाते है । घटनाएं A,B,C निम्नलिखित प्रकार से हैं
A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B: पहले पासे पर विषम प्राप्त होना
C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग ≤5 होना
निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए
(i) A’ (ii) B नहीं (iii) A या B
(iv) A और B (v) A किंतु C नहीं
(vi) B या C (vii) B और C (viii) A∩B’∩C’

हल: दो सिक्के फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि

S = {(1, 1), (1, 2), …(1, 6), (2, 1), (2, 2), …(2, 6), (3, 1), (3, 2), …(3, 6), (4, 1), (4, 2), …(4, 6), (5, 1), (5, 2), …(5, 6), (6, 1), …(6, 6)}

A = पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होगा।
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} = A

B = पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना।
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}

C = पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग ≤ 5 होना।
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}

i. A’ = S – A
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
= B

ii. B-नहीं = B’ = पहले पासे पर विषम संख्या का न होना
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} = A

iii. A या B = A ∪ B = {x : x पहले पासे पर सम संख्या का होना} ∪ {पहले पासे पर विषम संख्या का होना}
= S

iv. A और B = A ∩ B
= {x : x पहले पासे पर सम संख्या का होना} ∩ {पहले पासे पर विषम संख्या का होना}
= ϕ

v. A किंतु C – नहीं
= {x : x पहले पासे पर सम संख्या का होना} – {पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग ≤ 5}
A – C = {(2, 1), (2, 2), …(2, 6), (4, 1), (4, 2), …(4, 2), …(4, 6), (6, 1), (6, 2), ….(6, 6)} – {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
= {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 2), (4, 3), …(4, 6), (6, 1), (6, 2), .…(6, 6)}

vi. B या C = B ∪ C = {x : x, पहले पासे पर विषम संख्या होगा} ∪ {पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग ≤ 5}
= {(1, 1), (1, 2), …(1, 6), (3, 1), (3, 2), …(3, 6), (5, 1), (5, 2), …(5, 6)} ∪ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
= {(1, 1), (1, 2), …(1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), …(3, 6), (4, 1), (5, 1), (5, 2), (5, 3), …(5, 6).

viii. B और C अर्थात् B ∩ C = {(1, 1), …(1, 6), (3, 1), (3, 2), …(3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), …(5, 6) ∩ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2) (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}

= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 2)}

viii. यहाँ B’ = A
∴ A ∩ B’ = A ∩ A = A
∴ A ∩ B’ ∩ C’ = {(2, 1), (2, 2), …(2, 6), (4, 1), (4, 2), …(4, 6), (6, 1), (6, 2), …(6, 6)} ∩ {(1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 2), (4, 3), …(4, 6), (5, 1), (5, 2), …(5, 6), (6, 1), (6, 2), …(6, 5)}
= {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}.

7. उपर्युक्त 6 को देखिए और निम्नलिखित में सत्य या असत्य बताइए (अपने उत्तर का कारण दीजिएः)
(i) A और B परस्पर अपवर्जी हैं।
(ii) A और B परस्पर अपवर्जी और नि:शेष हैं।
(iii) A=B’
(iv) A और C परस्पर अपवर्जी है।
(v) A और B’ परस्पर अपवर्जी हैं।
(vi) A’,B’C परस्पर अपवर्जी और नि:शेष घटनाएं हैं।

हल: (i) A और B परस्पर अपवर्जी हैं।

दो पासा फेंकने के लिए प्रतिदर्श समष्टि होगी-
S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
पहली बार पासा उछालने पर प्राप्त सम संख्या 2,4 और 6 हैं अतः घटना A है:
​A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
घटना B ज्ञात करें : पहली बार पासा उछालने पर प्राप्त विषम संख्या 1,3 और 5 हैं अतः घटना B है-:
B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}
घटना C ज्ञात करें-: कुल योग 5 से कम या उसके बराबर है अतः कुल योग 2,3,4,और 5 भी हो सकते हैं
2=1+1,3=1+2=2+1,4=1+3=3+1=2+2,5=1+4=2+3=3+2=4+1
C={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)}
A & B के सामान्य तत्व ज्ञात करें: A & B में कोई सामान्य तत्व नहीं हैं।
A∩B=∅
इसलिए, कथन A & B पारस्परिक रूप से अपवर्जी घटनाएँ हैं, सही है।
घटना A & B पारस्परिक रूप से अपवर्जी घटनाएँ हैं, सही है।

(ii) A और B परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं।
​A U B = S , इसलिए, कथन A और B नि शेष घटनाएँ हैं।
घटना A & B परस्पर अपवर्जी होने के साथ-साथ नि शेष भी हैं, इसलिए दिए गए कथन कि A & B परस्पर अपवर्जी और नि शेष हैं, सही है।
प्रत्यक्ष उत्तर घटना A और B परस्पर अपवर्जी नि शेष घटनाएँ हैं,सही है।

(iii) A=B
B = {(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
⇒B
=A
​इसलिए, कथन A = B’ सही है।
प्रत्यक्ष उत्तर
A = B’ सही है।

(iv) AऔरC
परस्पर अपवर्जी हैं।
टिप
किसी भी परीक्षण के सभी परिणामों का समुच्चय प्रतिदर्श समष्टि कहलाता है।
प्रतिदर्श समष्टि S का कोई उपसमुच्चय E, एक घटना कहलाता है।
दो घटनाएँ A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं यदि वो एक साथ घटित नहीं होती हैं, तो इसका अर्थ है-:
A ⋂ B  =  ∅
सामान्य पासा के 6 संभावित परिणाम हैं  {1, 2, 3, 4, 5, 6}
व्याख्या
दिया गया है-: एक जोड़ा पासा फेंका गया।
A: पहली बार पासा उछालने पर प्राप्त सम संख्या
B: पहली बार पासा उछालने पर प्राप्त विषम संख्या
C: पासा पर प्राप्त संख्याओं का योग
≤5
A & C के सामान्य तत्वों का पता लगाएँ-
A∩C={(2,1),(2,2),(2,3),(4,1)}
⇒A∩C=∅
​चूँकि A & C में कोई सामान्य तत्व नहीं हैं, इसलिए A & C परस्पर अपवर्जी नहीं हैं,अतः यह कथन कि A और C परस्पर अपवर्जी हैं,गलत है।
प्रत्यक्ष उत्तर
A और C परस्पर अपवर्जी हैं, गलत है।

(v) AऔरB
परस्पर अपवर्जी हैं।
​B = {(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
⇒B
=A
​A & B ‘के सामान्य तत्व ज्ञात करें-: B ‘= A जैसा कि ऊपर दिखाया गया है इसलिए A & B’ के सभी तत्व सामान्य हैं-
A∩B
={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
⇒A∩B
≠∅
चूँकि A & B’ में सामान्य तत्व हैं, इसलिए A & B’ परस्पर अपवर्जी नहीं हैं। अतः हम कह सकते हैं कि A और B’ का कथन परस्पर अपवर्जी है, गलत है।
प्रत्यक्ष उत्तर
A और B’ परस्पर अपवर्जी हैं, गलत है।

(vi)
A,B,C
$परस्पर अपवर्जी और निःशेष खटनाएँ हैं।
किसी भी परीक्षण के सभी परिणामों का समुच्चय प्रतिदर्श समष्टि कहलाता है।
प्रतिदर्श समष्टि S का कोई उपसमुच्चय E, एक घटना कहलाता है।
दो घटनाएँ A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं यदि वो एक साथ घटित नहीं होती हैं, तो इसका अर्थ है-:
A⋂B=∅
सामान्य पासा के 6 संभावित परिणाम हैं
{1,2,3,4,5,6}
व्याख्या
दिया गया है-: एक जोड़ा पासा फेंका गया।
A:पहली बार पासा उछालने पर प्राप्त सम संख्या
B:पहली बार पासा उछालने पर प्राप्त विषम संख्या
C:पासा पर प्राप्त संख्याओं का योग $\le 5$
किसी पासा को उछालने पर छह संभावित परिणाम प्राप्त होते हैं, इसलिए प्रतिदर्श समष्टि परिणाम होगा-:
S={1,2,3,4,5,6}
B ={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
⇒B
=A
​A
={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}
⇒A
=B
​
C∩B
={(2,1),(2,2),(2,3),(4,1)}
⇒C∩B
≠∅
​चूँकि C & B’ में सामान्य तत्व हैं, इसलिए C & B’ परस्पर अपवर्जी नहीं हैं। हमें इस बात को आगे पता करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि हमें एक कथन मिला है जोकि गलत है, इसलिए हम यह कह सकते हैं कि A, B’ और C परस्पर अपवर्जी और नि शेष हैं, गलत है।
A ‘, B’ और C परस्पर अपवर्जी और नि शेष हैं, गलत है।