NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter-16 – प्रायिकता (Probability) प्रश्नावली 16.1

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter-16 – प्रायिकता (Probability) प्रश्नावली 16.1

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter -16 – प्रायिकता (Probability) प्रश्नावली 16.1

?Chapter – 16?

✍प्रायिकता✍

?प्रश्नावली 16.1?

निम्नलिखित प्रश्न में प्रत्येक में निर्दिष्ट परीक्षण का प्रतिदर्श समष्‍टि ज्ञात कीजिए।
1. एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है।

हल:  चूँकि चित(H) या पट (T) को मोड़ सकता है, इसलिए संभावित परिणाम हो सकते
हैं।8इस प्रकार, प्रतिदर्श समष्टि S = {HHH, THH, HTH, HHT, TTT, HTT, THT, TTH} है।

2. एक पासा दो बार फेंका गया है।

हल: मान लीजिए कि पासे को फेंकने पर 1, 2, 3, 4, 5 और 6 संभावित परिणाम हैं।
तब, प्रतिदर्श समष्टि की कुल संख्या = (6 × 6)
= 36
इस प्रकार, प्रतिदर्श समष्टि
S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),( 1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3, 1),(3,2),(3,3)(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5 ,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

3. एक सिक्का चार बार उछाला गया है।

हल: चूँकि कोई भी सिक्का चित (H) या पट (T) को मोड़ सकता है, संभावित परिणाम हैं।
इसलिए, जब एक सिक्का एक बार उछाला जाता है तो नमूना स्थान = 2
फिर,
सिक्का 3 बार उछाला जाता है नमूना स्थान = 24 = 16
इस प्रकार, नमूना स्थान S = {HHHH, THHH, HTHH, HHTH, HHHT, TTTT, HTTT, THTT, TTHT, TTTH, TTHH, HHTT, THTH, HTHT, THHT, HTTH}

4. एक सिक्का उछाला गया है और एक पासा फेंका गया है।

हल: चूँकि कोई भी सिक्का चित (H) या पट (T) को मोड़ सकता है, संभावित परिणाम हैं।
मान लीजिए कि पासे को फेंकने पर 1, 2, 3, 4, 5 और 6 संभावित संख्याएँ आती हैं।
तब, स्थान की कुल संख्या = (2 × 6) = 12
इस प्रकार, प्रतिदर्श समष्टि है,
S={(H,1),(H,2),(H,3),(H,4),(H ,5),(H,6),(T,1),(T,2),(T,3),(T,4),(T,5),(T,6)}

5. एक सिक्का उछाला गया है और केवल उस दशा में जब सिक्के पर चित्त प्रकट होता है एक पासा फेंका जाता है।

हल: चूँकि कोई भी सिक्का चित (H) या पट (T) को मोड़ सकता है, संभावित परिणाम हैं।
मान लीजिए कि पासे को फेंकने पर 1, 2, 3, 4, 5 और 6 संभावित संख्याएँ आती हैं।
जब सिर का सामना करना पड़ता है,
तो, अंतरिक्ष की संख्या = (1 × 6) = 6
नमूना स्थान SH = {H1, H2, H3, H4, H5, H6}
अब, पूंछ का सामना करना पड़ता है, नमूना स्थान ST= {T}
इसलिए कुल प्रतिदर्श समष्टि S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T}

6.निम्नलिखित प्रश्न में प्रत्येक में निर्दिष्ट परीक्षण का प्रतिदर्श समष्‍टि ज्ञात कीजिए। X कमरें में 2 लड़के और 2 लड़कियां हैं तथा Y कमरे में 1 लड़का और 3 लड़कियां हैं। उस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्‍टि ज्ञात कीजिए जिसमें पहले एक कमरा चुना जाता है फिर एक बच्चा चुना जाता है।

हल: प्रश्न से यह दिया गया है कि
कमरा X में 2 लड़के और 2 लड़कियाँ हैं
, कमरा Y में 1 लड़का और 3 लड़कियाँ
मान लें कि b1, b2 और g1, g2 में 2 लड़के हैं और 2 लड़कियाँ कमरे X में हैं।
और यह भी मान लीजिए b3 और g3, g4, g5 कमरा Y में 1 लड़का और 3 लड़कियां हैं
। समस्या को दो मामलों में विभाजित करके हल किया जाता है
केस 1: कमरा X चुना जाता है
नमूना स्थान Sx = {(X,b1),(X,b2) ,(X,g1),(X,g2)}
स्थिति 2: कक्ष Y का चयन किया गया है
नमूना स्थान Sy ={(Y,b3),(Y,g3),(Y,g4),(Y,g5)} समग्र नमूना स्थान
S={(X,b1),(X,b2),(X,g1),(X,g2),(Y,b3),(Y,g3),(Y,g4),(Y ,g5)}

7. निम्नलिखित प्रश्न में प्रत्येक में निर्दिष्ट परीक्षण का प्रतिदर्श समष्‍टि ज्ञात कीजिए। एक पासा लाल रंग का, एक सफेद रंग का और एक अन्य पासा नीले रंग का एक थैले में रखे है। एक पासा यादृच्छया चुना गया और उसे फेंका गया है पासे का रंग और इसके ऊपर के फलक पर प्राप्त संख्या को लिखा गया है। प्रतिदर्श समष्‍टि का वर्णन कीजिए।

हल: मान लीजिए कि पासे को फेंकने पर 1, 2, 3, 4, 5 और 6 संभावित संख्याएँ आती हैं।
और यह भी मान लें कि लाल रंग का मरने वाला ‘R’ है, सफेद रंग का मरने वाला ‘W’ है, नीले रंग का मरने वाला ‘B’ है।
तो, प्रतिदर्श समष्टि की कुल संख्या = (6 × 3) = 18
घटना का प्रतिदर्श समष्टि है
S={(R,1),(R,2),(R,3),(R,4),(R,5),(R,6),(W,1),(W,2),(W,3),(W,4),(W,5),(W,6) (B,1),(B,2),(B,3),(B,4),(B,5),(B,6)}

8. एक परीक्षण में 2 बच्चों वाले परिवारों में से प्रत्येक में लड़के –लड़कियों की संख्याओं को लिखा जाता है।
(i) यदि हमारी रूचि इस बात को जानने में है कि जन्म के क्रम में बच्चा लड़का या लड़की है तो प्रतिदर्श समष्‍टि क्या हागी
(ii) यदि हमारी रूचि किसी परिवार में लड़कियों की संख्या जानने में है प्रतिदर्श समष्‍टि क्या होगी?

हल: मान लीजिए कि लड़का ‘b’ है और लड़की ‘g’ है

(i) नमूना स्थान यदि हम यह जानने में रुचि रखते हैं कि यह उनके जन्म के क्रम में लड़का है या लड़की है। S = {GG, BB, GB, BG}

(ii) प्रतिदर्श समष्टि यदि हम परिवार में लड़कियों की संख्या में रुचि रखते हैं जबकि परिवार में दो बच्चे हैं तो
प्रतिदर्श समष्टि S = {2, 1, 0}

9. एक डिब्बे में 1 लाल और एक जैसी 3 सफेद गेंद रखी गई हैं। दो गेंद उत्तरोत्तर बिना प्रतिस्थापित किए यादृच्छया निकाली जाती है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्‍टि ज्ञात कीजिए।

हल: प्रश्न से यह दिया गया है कि एक डिब्बे में 1 लाल और 3 समान सफेद गेंदें हैं।
मान लीजिए कि लाल गेंद के खींचे जाने की घटना ‘R’ है और सफेद गेंद के खींचे जाने की घटना ‘W’ है।
प्रश्न में दिया गया है कि सफेद गेंदें समान हैं, इसलिए तीन सफेद गेंदों में से किसी एक को निकालने की घटना समान है।
तब, प्रतिदर्श समष्टि की कुल संख्या = (2²– 1) = 3
प्रतिदर्श समष्टि S = {WW, WR, RW}

10. एक परीक्षण में एक सिक्के को उछाला जाता है और यदि उस पर चित्त प्रकट होता है तो उसे पुनः उछाला जाता है। यदि पहली बार उछालने पर पट् प्राप्त होता है तो एक पासा फेंका जाता है। प्रतिदर्श समष्‍टि ज्ञात कीजिए।

हल: मान लीजिए कि पासे को फेंकने पर 1, 2, 3, 4, 5 और 6 संभावित परिणाम हैं।
चूँकि कोई भी सिक्का चित (H) या पट (T) को मोड़ सकता है, संभावित परिणाम हैं।
आइए हम लेते हैं,
केस 1: हेड का सामना करना पड़ता है
नमूना स्थान S₁ = {HT, HH}
केस 2: पूंछ का सामना करना पड़ता है
नमूना स्थान S₂ = {(T,1), (T,2), (T,3), (T,4), (T,5), (T,6)}
फिर,
समग्र प्रतिदर्श समष्टि
S = {(HT), (HH), (T1), (T2), (T3), (T4) , (T5), (T6)}

11. मान लीजिए कि बब्बों के एक ढेर में से 3 बल्ब यादृच्छया निकाले जाते हैं। प्रत्येक बल्ब को जांचा जाता है और उसे खराब (D) या ठीक (N) में वर्गीकृत करते हैं। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्‍टि ज्ञात कीजिए।

हल: प्रश्न में
‘D’ का अर्थ है बल्ब के खराब होने की घटना और ‘N’ का अर्थ है गैर-दोषपूर्ण बल्ब की घटना।
फिर,
प्रतिदर्श समष्टि की कुल संख्या = 2 × 2 × 2 = 8
इस प्रकार, प्रतिदर्श समष्टि S = {DDD, DDN, DND, NDD, DNN, NDN, NND, NNN}

12. एक सिक्का उछाला जाता हैं यदि परिणाम चित्त हो तो एक पासा फेंका जाता है। यदि पासे पर एक सम संख्या प्रकट होती है तो पासे को पुनः फेंका जाता है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्‍टि ज्ञात कीजिए।

हल: चूँकि कोई भी सिक्का चित (H) या पट (T) को मोड़ सकता है, संभावित परिणाम हैं।
मान लीजिए कि पासे को फेंकने पर 1, 2, 3, 4, 5 और 6 संभावित परिणाम हैं।
समस्या को 3 मामलों में विभाजित करके हल किया जा सकता है
केस 1: परिणाम शीर्ष है और पासे पर संबंधित संख्या विषम संख्या दिखाती
है नमूना स्थान की कुल संख्या = (1 × 3) = 3
नमूना स्थान SHO = {(H,1 ), (H,3), (H,5)}
स्थिति 2: परिणाम शीर्ष है और पासे पर संबंधित संख्या सम संख्या दर्शाती
है प्रतिदर्श समष्टि की कुल संख्या = (1 × 3 × 6) = 18
SHE={(H,2,1),(H,2,2),(H,2,3),(H,2,4),(H,2,5),(H,2,6),(H,4,1),(H,4,2),(H,4,3),(H,2,4),(H, 4,5),(H,4,6), (H,6,1),(H,6,2),(H,6,3),(H,6,4),(H,6,5),(H,6,6)}
केस 3: परिणाम टेल है
नमूना स्थान की कुल संख्या = 1
नमूना स्थान ST = {(T)}
समग्र नमूना स्थान
S = {(H,1),(H,3),(H,5), (H,2,1),(H,2,2),(H,2,3),(H,2,4),(H,2,5),(H,2,6),(H,4,1),(H,4,2),(H,4,3),(H,2,4),(H,4,5),
(H,4,6), (H,6,1),(H,6,2),(H,6,3),(H,6,4),(H,6,5),(H,6,6),(T)}

13. कागज की चार पर्चियों पर संख्याएं 1,2,3,4 अलग-अलग लिखी गई हैं। इन पर्चियों को एक डिब्बे में रख कर भली –भांति मिलाया गया है। एक व्यक्‍ति डिब्बे में से दो पर्चियां एक के बाद दूसरी बिना प्रतिस्थापित किए निकालता है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्‍टि ज्ञात कीजिए।

हल: प्रश्न से यह दिया गया है कि चार पर्ची पर लिखी गई संख्याएं 1, 2, 3, 4 हैं।
जब दो पर्चियों को बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाता है तो पहली घटना के 4 संभावित परिणाम होते हैं और दूसरी घटना के 3 संभावित परिणाम होते हैं क्योंकि 1 पर्ची पहले ही चुनी जा चुकी होती है।
इसलिए, संभावित परिणामों की कुल संख्या = (4 × 3) = 12
अतः प्रतिदर्श समष्टि,
S={(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2, 3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)}

14. एक परीक्षण में एक पासा फेंका जाता है और यदि पासे पर प्राप्त संख्या सम है तो एक सिक्का एक बार उछाला जाता है। यदि पासे पर प्राप्त संख्या विषम है तो सिक्के को दो बार उछालते हैं। प्रतिदर्श समष्‍टि लिखिए।

हल: चूँकि कोई भी सिक्का चित (H) या पट (T) को मोड़ सकता है, संभावित परिणाम हैं।
मान लीजिए कि पासे को फेंकने पर 1, 2, 3, 4, 5 और 6 संभावित परिणाम हैं।
निम्नलिखित समस्या को दो स्थितियों में विभाजित किया जा सकता है:

(i) पासे पर संख्या सम होती है।
नमूना स्थान SE={(2,H),(4,H),(6,H),(2,T),(4,T),(6,T)}

(ii) पासे पर संख्या विषम है और सिक्के को दो बार उछाला जाता है।
नमूना स्थान

S_o  = {(1,H,H), (3,H,H), (5,H,H), (1,H,T), (3,H,T), (5,H,T), (1,T,H), (3,T,H), (5,T,H), (1,T,T), (3,T,T), (5,T,T)}
इसलिए, समस्या के लिए समग्र नमूना स्थान = S_E + S_o
S = {(2,H), (4,H), (6,H), (2,T), (4,T), (6,T), (1,H,H), (3,H,H), (5,H,H), (1,H,T), (3,H,T), (5,H,T), (1,T,H), (3,T,H), (5,T,H), (1,T,T), (3,T,T), (5,T,T)}

15. एक सिक्का उछाला गया। यदि उस पर पट् प्रकट होता है एक डिब्बे में से जिसमें 2 लाल और 3 काली गेंदें रखी हैं एक गेंद निकालते हैं। यदि सिक्के पर चित्त प्रकट होता है तो एक पास फेंका जाता है इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्‍टि लिखिए।

हल: चूँकि कोई भी सिक्का चित (H) या पट (T) को मोड़ सकता है, संभावित परिणाम हैं।
मान लें कि R¹, R² लाल गेंद खींची जाने वाली घटना को दर्शाता है और B₁, B₂, B₃ काली गेंद खींची जाने वाली घटनाओं को दर्शाता है।
मान लीजिए कि पासे को फेंकने पर 1, 2, 3, 4, 5 और 6 संभावित परिणाम हैं।
(i) सिक्का पूंछ दिखाता है।
अतः, प्रतिदर्श समष्टि S_T = {(TR₁), (TR₂), (TB₁), (TB₂), (TB₃)}

(ii) सिक्का सिर दिखाता है।
अतः, प्रतिदर्श समष्टि SH = {(H,1), (H,2), (H,3), (H,4), (H,5), (H,6)}
इसलिए, समग्र प्रतिदर्श समष्टि समस्या के लिए = ST + SH
S = {( T,R₁), (T,R₂), (T,B₁), (T,B₂), (T,B₃), (H,1), (H,2), (H,3), (H,4), (H,5), (H,6)}

16. एक पासा को बार-बार तब तक फेंका जाता है तब तक उस पर 6 प्रकट न हो जाए। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्‍टि क्या है?

हल:  मान लीजिए कि पासे को फेंकने पर 1, 2, 3, 4, 5 और 6 संभावित परिणाम हैं।
प्रश्न में दी गई शर्त के अनुसार, एक पासे को बार-बार तब तक फेंका जाता है जब तक कि एक छक्का न आ जाए।
यदि पहले थ्रो के लिए छक्का आ सकता है या दूसरे थ्रो पर छक्का आ सकता है तो यह प्रक्रिया तब तक चलती रहेगी जब तक कि छक्का नहीं आ जाता।
नमूना स्थान जब 6 पहले फेंक पर आता है S₁ = {6}
नमूना स्थान जब 6 दूसरी फेंक पर आता है S₂ = {(1,6), (2,6), (3,6), (4, 6), (5,6)}
यह घटना अनंत काल तक चल सकती है।
अतः, प्रतिदर्श समष्टि अनंत रूप से परिभाषित है
S = {(6), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (1,1, 6), (1,2,6)……}