NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 15 – सांख्यिकी प्रश्नावली 15.2

June 14, 2022

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter-15-सांख्यिकी प्रश्नावली 15.2

Textbook	NCERT
Class	Class 11th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 15
Chapter Name	सांख्यिकी (Statistics)
Mathematics	Class 11th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter-15-सांख्यिकी प्रश्नावली 15.2

? Chapter – 15?

✍सांख्यिकी✍

? प्रश्नावली 15.2?

1. प्रश्न के आँकड़ों के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए।

6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12

?‍♂️हल: माध्य x̅ = ∑x_i/n

= 6+7+10+12+13+4+8+12/8

= 72/8

= 9

x_i	x_i– x̅	(x_i– x̅)²
6	− 3	9
7	− 2	4
10	1	1
12	3	9
13	4	16
4	− 5	25
8	− 1	1
12	3	9
		74

प्रसरण = ∑ (x_i– x̅ )² / n

= 74/8

= 9.25

2. प्रथम n प्राकृत संख्याएँ

?‍♂️हल: पहली n प्राकृत संख्याएँ: 1, 2, 3, ….., n

माध्य x̅ = 1+2+3+….+ 1/n × n(n+1)/2

= n+1/2 ….{पहली प्राकृत संख्याओं का योगn(n+1)/2}

∑x²_i= 1²+2²+3²+….+n²

= n ( n + 1) (2n + 1)/6

प्रसरण = ∑ (x_i– x̅ )² / n = 1/n²[ n ∑x²_i– (∑x_i)²

= 1/n[n × n (n + 1) (2n + 1)/6 – n²(n+1)²/4]

= 1/12[2(n+1)(2n+1) – 3(n+1)²]

= n+1/12 [2(2n+1)-3(n+1)]

= n+1/12[4n+2-3n-3]

= (n+1)(n-1)/12

= n²– 1/12

3. तीन के प्रथम 10 गुणज

?‍♂️हल:

प्रथम दस 3 के गुणज: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

x_i	yi = x_i– 15 /3	y²_i
3	− 4	16
6	− 3	9
9	− 2	4
12	− 1	1
15	0	0
18	1	1
21	2	4
24	3	9
27	4	16
30	5	25
योग	5	85

माध्य x̅ = A + ∑y_i/n x h

= 15 + 5/10 × 3

= 15 + 1.5

= 16.5

प्रसरण, σ²= h²/h²[n ∑y²_i– (∑y_i)²]

= 9/100[10×85-25]

= 9/100[850-25]

= 9×825/100

= 7425/100

= 74.25

अतः माध्य = 16.5, प्रसरण = 74.25

4. प्रश्न के आँकड़ों के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए।

x_i	6	10	14	18	24	28	30
f_i	2	4	7	12	8	4	3

?‍♂️हल: आइए दिए गए डेटा की तालिका बनाएं और गणना के बाद अन्य कॉलम जोड़ें।

x_i	f_i	f_ix_i	x_i – x̅	(x_i – x̅)²	f_i(x_i – x̅)²
6	2	12	− 13	169	338
10	4	40	− 9	81	324
14	7	98	− 5	25	175
18	12	216	− 1	1	12
24	8	198	5	25	200
28	4	11	9	81	324
30	3	90	11	121	363
योग	40	760	–	–	1736

माध्य x̅ = 760/40 = 19

प्रसरण σ²= ∑f_i(x_i – x̅)²/N

= 1736/40

= 43.3

अतः माध्य = 19, प्रसरण = 43.4

x_i	92	93	97	98	102	104	109
f_i	3	2	3	2	6	3	3

?‍♂️हल: मान लीजिए कल्पित माध्य A = 98,

∴ y_i = x_i – 98

x_i	f_i	y_i	fy_i	yi²	fy_i²
92	3	− 6	− 18	36	108
93	2	− 5	− 10	25	50
97	3	− 1	− 3	1	3
98	2	0	0	0	0
102	6	4	24	16	96
104	3	6	18	36	108
109	3	11	33	121	363
योग	22	–	44	–	728

माध्य = x̅ = A + ∑y_i/n

= 98 + 44/22

= 98 + 2

= 100

प्रसरण σ²= 1/N²[∑f_iy_i – (∑f_iy_i)²]

= 1/(22)²[22×728 – 44 × 44]

= 1/22[728-88]

= 640/22

= 320/11

= 29.09

6. लघु विधि द्वारा माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

x_i	60	61	62	63	64	65	66	67	68
f_i	2	1	12	29	25	12	10	4	5

?‍♂️हल: मान लीजिए कल्पित माध्य A = 64

तथा y_i = x_i – 64

x_i	f_i	y_i	f_iy_i	y_i²	f_iy_i²
60	2	− 4	− 8	16	32
61	1	− 3	− 3	9	9
62	12	− 2	− 324	4	48
63	29	− 1	− 329	1	29
64	25	0	0	0	0
65	12	1	12	1	12
66	10	2	20	4	40
67	4	3	12	9	36
68	5	4	20	16	80
	100	–	0	60	286

माध्य, x̅ = A + ∑f_iy_i/N

= 64 + 0

= 64

प्रसरण, σ²= 1/N²[∑f_iy_i – (∑f_iy_i)²]

= 1/(100)²[100×286 – 0]

= 286/100

= √2.86

इसलिए, मानक विचलन = √2.886
= 1.691
माध्य = 64 और मानक विचलन = 1.691

प्रश्न 7 और 8 में निम्नलिखित बारंबारता बंटनों का माध्य और प्रसरण ज्ञात कीजिए।

7. प्रश्न में दिए गए बारंबारता बंटन के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए।

वर्ग	0 – 30	30 – 60	60 – 90	90 – 120	120 – 150	150 – 180	180 – 210
बारंबारता	2	3	5	10	3	5	2

?‍♂️हल: माना कल्पित माध्य A = 105, वर्ग अंतराल h = 30

y_i = x_i – A / h = x_i – 10 /30

वर्ग	मध्य मूल्य (“x”_”i”)	बारंबारता	y_i	f_iy_i	y_i²	f_iy_i²
0 – 30	1	2	−3	−6	9	18
30 – 60	4	3	−2	−6	4	12
60 – 90	75	5	−1	−5	1	5
90 – 120	105	10	0	0	0	0
120 – 150	135	3	1	3	1	3
150 – 180	165	5	2	10	4	20
180 – 210	195	2	3	6	9	18
योग	–	30	–	2	–	76

माध्य x̅ = A + (∑f_iy_i/N) x h

= 105+2/30×30

= 107

प्रसरण σ²= h²/h²[n ∑f_iy²_i– (∑f_iy_i)²]

= 30×30/30×30[30×76-2²]

= 2280 − 4

= 2276

8. प्रश्न में दिए गए बारंबारता बंटन के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए

वर्ग	0 – 10	10 – 20	20 – 30	30 – 40	40-50
बारंबारता	5	8	15	16	6

?‍♂️हल: माना कल्पित माध्य A = 25, वर्ग अंतराल = 10

y_i = x_i – A / h = x_i – 25 /10

वर्ग	मध्य मूल्य	बारंबारता	y_i	f_iy_i	y_i²	f_iy_i²
0 – 10	5	5	− 2	− 10	4	20
10 – 20	15	8	− 1	− 8	1	8
20 – 30	25	15	0	0	0	0
30 – 40	35	16	1	16	1	16
40 – 50	45	6	2	12	4	24
योग	–	–	–	10	–	68

माध्य x̅ = A + (∑f_iy_i/N) x h

= 25+(10/50)×10

= 25 + 2

= 27

प्रसरण σ²= h²/h²[n ∑f_iy²_i– (∑f_iy_i)²]

= 100/2500[50×68-100]

= 50/25[68-2]

= 2 × 66

= 132

9. शॉर्ट-कट विधि का उपयोग करके माध्य, विचरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए

ऊँचाई (सेमी में)	70 – 75	75 – 80	80 – 85	85 – 90	90 – 95	95 – 100	100 – 105	105 – 110	110 – 115
बच्चों की संख्या	3	4	7	7	15	9	6	6	3

?‍♂️हल:

वर्ग अंतराल	माध्य मूल्य	बारंबारता	y_i	f_iy_i	yiyi2	fifi2
70 – 75	72.5	3	−4	−12	16	48
75 – 80	77.5	4	−3	−12	9	36
80 – 85	82.5	7	−2	−14	4	28
85 – 90	87.5	7	−1	7	1	7
90 – 50	92.5	15	0	0	0	0
95 – 100	97.5	9	1	9	1	9
100 – 105	102.5	6	2	12	4	24
105 – 110	107.5	6	3	18	9	54
110 – 115	112.5	3	4	12	16	48
योग	–	60	–	6	–	254

माध्य, x̅ = A + (∑f_iy_i/N) x h

= 9.25+6/60×5

= 92.5 + 0.5

= 93

प्रसरण, σ²= h²/h²[n ∑f_iy²_i– (∑f_iy_i)²]

= 25/3600[60×254-36]

= 12/144[5×254-3]

= 112[1270-3]

= 1267/12

= 105.58

मानक विचलन, σ = √105.58

= 10.28

10. एक डिज़ाइन में खींचे गए वृत्तों के व्यास (मिमी में) नीचे दिए गए हैं:

व्यास	33 – 36	37 – 40	41 – 44	45 – 48	49 – 52
वृत्तों संख्या	15	17	21	22	25

मानक विचलन और वृत्तों के माध्य व्यास की गणना करें।

[संकेत पहले 32.5-36.5, 36.5-40.5, 40.5-44.5, 44.5 – 48.5, 48.5 – 52.5 के रूप में कक्षाएं बनाकर डेटा को निरंतर बनाएं और फिर आगे बढ़ें।

?‍♂️हल: दिए हुए असतत आँकड़ों को सतत बारंबारता बंटन में बदलने के लिए अंतराल इस प्रकार हैं।

32.5 – 36.5, 36.5 – 40.5, 40.50 – 44.5, 44.5 – 48.5, 48.5 – 52.5

माना A = 42.5, h = 4,

y_i = x_i – 42.5 /4

वर्ग अंतराल	माध्य मूल्य	बारंबारता	y_i	f_iy_i	y_i²	f_iy_i²
32.5 – 36.5	34.5	15	−2	−30	4	60
36.5 – 40.5	38.5	17	−1	−17	1	17
40.50 – 44.5	42.5	21	0	0	0	0
44.5 – 48.5	42.5	22	1	22	1	22
48.5 – 52.5	50.5	25	2	50	4	100
योग	–	100	–	25	–	199

माध्य, x̅ = A + (∑f_iy_i/N) x h

= 42.5+25100×4

= 42.5 + 1

= 43.5

प्रसरण σ²= h²/h²[n ∑f_iy²_i– (∑f_iy_i)²]

= 16/(100)²[100×199-(25)²]

= 16×25/100×100[4×199-25]

= 1/25[796-25]

= 771/25

= 30.84

∴ मानक विचलन σ = √30.48 = 5.56