NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 14 – गणितीय विवेचन (Mathematical Reasoning) विविध प्रश्नावली

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 14 – गणितीय विवेचन (Mathematical Reasoning) विविध प्रश्नावली

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 14 – गणितीय विवेचन (Mathematical Reasoning) विविध प्रश्नावली

? Chapter – 14?

✍गणितीय विवेचन✍

?विविध प्रश्नावली?

1. निम्नलिखित कथनों के निषेधन लिखिए
(i) प्रत्येक धन वास्तविक संख्या x के लिए संख्या x−1 भी धन संख्या है।
(ii) सभी बिल्‍लियां खरोचती हैं।
(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए तो x >1 या x < 1
(iv) एक ऐसी संख्या x का अस्‍तित्व है कि 0 < x < 1

हल: (i) कथन p का निषेधन नीचे दिया गया
है, एक धनात्मक वास्तविक संख्या x मौजूद है, जैसे कि x – 1 धनात्मक नहीं है।

(ii) कथन q का निषेधन नीचे दिया गया
है एक बिल्ली मौजूद है जो खरोंच नहीं करती है।

(iii) कथन r का निषेधन नीचे दिया गया
है एक वास्तविक संख्या x मौजूद है, जैसे कि न तो x > 1 और न ही x <1

(iv) कथन s का निषेधन नीचे दिया गया
है, कोई संख्या x मौजूद नहीं है, जैसे कि 0 < x < 1

2. निम्नलिखित सप्रतिबंध कथनों (अंतर्भाव) में से प्रत्येक का विलोम तथा प्रतिधनात्मक कथन लिखिए
(i) एक धन पूर्णांक अभाज्य संख्या है केवल यदि 1 और पूर्णांक स्वयं के अतिरिक्त उसक कोई अन्य भाजक नहीं है।
(ii) मैं समुद्र तट पर जाता हूं कभी धूप वाला दिन होता है।
(iii) यदि बाहर गरम है तो आपको प्यास लगती है।

हल: (i) कथन p को ‘ यदितब’ के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता
है
1 और स्वयं के अलावा कोई भाजक नहीं है, तो यह अभाज्य है।
कथन का प्रतिधनात्मक नीचे दिया गया है
यदि एक धनात्मक पूर्णांक में 1 और स्वयं के अलावा अन्य भाजक हैं, तो यह अभाज्य नहीं है।

(ii) दिए गए कथन को इस प्रकार लिखा जा सकता है
यदि धूप का दिन है, तो मैं समुद्र तट पर जाता हूँ।
कथन का विलोम नीचे दिया गया है
यदि मैं किसी समुद्र तट पर जाता हूँ, तो वह धूप वाला दिन होता है।
बयान का विपरीत सकारात्मक नीचे दिया गया है
यदि मैं समुद्र तट पर नहीं जाता हूं, तो यह धूप का दिन नहीं है।

(iii) कथन r का विलोम नीचे दिया गया है
यदि आपको प्यास लगती है, तो बाहर गर्मी होती है।
कथन r का प्रतिधनात्मक नीचे दिया गया है
यदि आपको प्यास नहीं लगती है, तो यह बाहर गर्म नहीं है।

3. निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक को यदि p तो q के रूप में लिखि।ए।
(i) सर्वर पर लाग आन करने के लिए पासवर्ड का होना आवश्यक है।
(ii) जब कभी वर्षा होती है यातायात में अवरोध उत्पन्न होता है।
(iii) आप वेबसाइट में प्रवेश कर सकते है केवल यदि अपने निर्धारित शुल्क का भुगतान किया हो।

हल: (i) ‘(if then)’ फॉर्म में स्टेटमेंट p इस प्रकार है
यदि आप सर्वर पर लॉग ऑन करते हैं, तो आपके पास एक पासवर्ड होता है।

(ii) ‘अगर तब’ के रूप में कथन q इस प्रकार है
यदि बारिश होती है, तो ट्रैफिक जाम होता है।

(iii) ‘यदि तब’ के रूप में विवरण r इस प्रकार है
यदि आप वेबसाइट तक पहुँच सकते हैं, तो आप सदस्यता शुल्क का भुगतान करते हैं।

4. निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक को p यदि और केवल यदि q के रूप में पुनः लिखिए
(i) यदि आप दूरदर्शन देखाते हैं तो आपका मन मुक्त होता है तथा यदि आपका मन मुक्त है तो आप दूरदर्शन देखते हैं।
(ii) आपके द्वारा A ग्रेड प्राप्त करने के लिए यह अनिवार्य और पर्याप्त है कि आप ग्रहकार्य नियमित रूप से करते हैं।
(iii) यदि एक चतुर्भुज समान कोणिक है तो वह एक आयत होता है तथा यदि एक चतुर्भुज आयत है तो वह समान कोणिक होता है।

हल: (i) आप टेलीविजन देखते हैं यदि और केवल यदि आपका दिमाग खाली है
(ii) यदि आप नियमित रूप से सभी होमवर्क करते हैं तो आपको ए ग्रेड मिलता है
(iii) एक चतुर्भुज समभुज है यदि केवल एक आयत है

5. नीचे दो कथन दिए है
p : 25 संख्या 5 का एक गुणज है।
q : 25 संख्या 8 का एक गुणज है।
उपरोक्त कथनों का संयोज और तथा या द्वारा संयोजक करके मिश्र कथन लिखिए। दोनों दशाओं में प्राप्त कथनों की वैधता जांचिए।

हल: ‘And’ वाला यौगिक कथन इस प्रकार है
25 5 और 8 का गुणज है
यह असत्य कथन है क्योंकि 25 8 का गुणज नहीं है

‘या’ के साथ यौगिक कथन इस प्रकार है
25 5 या 8 का गुणज है
यह सत्य कथन है क्योंकि 25 8 का गुणज नहीं है बल्कि 5 का गुणज है

6. नीचे लिखे कथनों की वैधता की जांच उनके सामने लिखित विधि द्वारा कीजिए।
(i) p एक अपरिमेय संख्या और एक परिमेय संख्या का योगफल अपरिमेय होता है (विरोधोक्‍ति विधि)
(ii) q: यदि n एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि n > 3, तो n² > 9 विरोधोक्ति विधि

हल: (i) दिया गया कथन इस प्रकार है
p: एक अपरिमेय संख्या और एक परिमेय संख्या का योग अपरिमेय होता है।
आइए मान लें कि कथन p गलत है। अर्थात्
एक अपरिमेय संख्या और एक परिमेय संख्या का योग परिमेय होता है।
अत,

जहाँ a अपरिमेय है और b, c, d, e पूर्णांक हैं।
d/e – b/c = a
लेकिन यहाँ d/e – b/c एक परिमेय संख्या है और √a एक अपरिमेय संख्या
है यह एक विरोधाभास है। अत: हमारा अनुमान मिथ्या है।
एक अपरिमेय संख्या और एक परिमेय संख्या का योग परिमेय होता है।
अत: दिया गया कथन सत्य है।

(ii) दिया गया कथन q इस प्रकार है
यदि n > 3 वाली एक वास्तविक संख्या है, तो n ²> 9
मान लीजिए कि n > 3 वाली एक वास्तविक संख्या है, लेकिन n ²> 9 सत्य नहीं है
अर्थात n ²< 9
अतः, n > 3 और n एक वास्तविक संख्या है
, दोनों पक्षों को वर्ग करने पर, हमें
n ² > (3) ²
प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि n ²> 9 जो एक विरोधाभास है, क्योंकि हमने यह मान लिया है कि n ²< 9
इसलिए , दिया गया कथन सत्य है अर्थात, यदि n > 3 वाली एक वास्तविक संख्या है, तो n ²> 9

7. निम्नलिखित कथन को पांच भिन्न-भिन्न तरीकों से इस प्रकार व्यक्त कीजिए कि उनके अर्थ समान हों,
q यदि एक त्रिभुज समान कोणिक है तो वह एक अधिक कोण त्रिभुज है।

हल: दिए गए कथन को पांच अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है, नीचे दिया गया है

(i) एक त्रिभुज समकोणिक होता है जिसका अर्थ है कि यह एक अधिक कोण वाला त्रिभुज है

(ii) एक त्रिभुज केवल तभी समकोणिक होता है जब त्रिभुज एक अधिक कोण वाला त्रिभुज हो

(iii) एक त्रिभुज के समकोणिक होने के लिए, यह आवश्यक है कि त्रिभुज एक अधिक कोण वाला त्रिभुज हो

(iv) एक त्रिभुज के अधिक कोण वाला त्रिभुज होने के लिए, यह पर्याप्त है कि त्रिभुज समकोणिक हो।

(v) यदि कोई त्रिभुज अधिक कोण वाला त्रिभुज नहीं है, तो त्रिभुज समकोणिक नहीं है।