NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter 12- Introduction to Three Dimensional Geometry (त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय) विविध प्रश्नावली
| Textbook | NCERT |
| Class | Class 11th |
| Subject | (गणित) Mathematics |
| Chapter | Chapter – 12 |
| Chapter Name | त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय (Introduction to Three Dimensional Geometry) |
| Mathematics | Class 11th गणित Question & Answer |
| Medium | Hindi |
| Source | Last Doubt |
NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter 12- Introduction to Three Dimensional Geometry (त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय) विविध प्रश्नावली
?Chapter – 12?
✍त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय✍
?विविध प्रश्नावली?
1. समांतर चतुर्भुज के तीन शीर्ष A(3,−1,2)B(1,2,4),C(−1,1,2)A(3,-1,2)B(1,2,4),C(-1,1,2) है। चौथे शीर्ष D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल: दिया
गया है: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, जिसके शीर्ष A (3, -1, 2), B (1, 2, -4), C (-1, 1, 2) हैं।
जहाँ, x1 = 3, y1 = -1, z1 = 2;
एक्स2= 1, वाई2= 2, जेड2= -4;
x3= -1, y3= 1, z3 = 2
माना चौथे शीर्ष के निर्देशांक D (x, y, z) हैं।
हम यह भी जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, इसलिए AC और BD के मध्य बिंदु बराबर होते हैं, अर्थात AC का मध्यबिंदु = BD का मध्यबिंदु ……….(1)
अब, मध्यबिंदु सूत्र से, हम जानते हैं कि निर्देशांक दो बिंदुओं P (x 1 , y 1 , z 1 ) और Q (x 2 , y 2 , z 2 ) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु का है [(x 1 +x 2 )/ 2 , (y 1 +y 2 )/ 2 , (z 1 +z 2 )/ 2 ]
तो हमारे पास है,
= (2/2, 0/2, 4/2)
= (1, 0, 2)
1 + x = 2, 2 + y = 0, -4 + z = 4
x = 1, y = -2, z = 8
इसलिए, चौथे शीर्ष के निर्देशांक D (1, -2, 8) हैं।
2. एक त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः A(0,0,6),B(0,4,0),C(6,0,0)A(0,0,6),B(0,4,0),C(6,0,0) हैं। त्रिभुज की माध्यिकाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल: दिया गया है:
त्रिभुज के शीर्ष A (0, 0, 6), B (0, 4, 0) और C (6, 0, 0) हैं।
x1= 0, y1= 0, z1= 6;
एक्स2= 0, वाई2= 4, जेड2= 0;
x3= 6, y3= 0, z3= 0
तो, माना इस त्रिभुज की माध्यिकाएँ क्रमशः A, B और C शीर्षों के संगत AD, BE और CF हैं।
D, E और F क्रमशः भुजाओं BC, AC और AB के मध्यबिंदु हैं। मध्यबिंदु सूत्र से हम जानते हैं कि दो बिंदुओं P (x 1 , y 1 , z 1 ) और Q (x 2 , y 2 , z 2
) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक हैं [(x 1 + x 2 )/ 2 , (y 1 +y 2 )/ 2 , (z 1 +z 2 )/ 2 ]
तो हमारे पास है,
दूरी सूत्र द्वारा, हम जानते हैं कि दो बिंदुओं P (x 1 , y 1 , z 1 ) और Q (x 2 , y 2 , z 2 ) के बीच की दूरी किसके द्वारा दी गई है
दिए गए त्रिभुज की माध्यिकाओं की लंबाइयां 7, 34 और 7 हैं।
3. यदि त्रिभुज PQR का केंद्रक मूल बिंदु है और शीर्ष P(2a,2,6),Q(−4,3b−10)P(2a,2,6),Q(-4,3b,10) और R(8,14,2c)R(8,14,2c) है तो a,b,c का मान ज्ञात कीजिए।
हल: दिया गया:
त्रिभुज के शीर्ष P (2a, 2, 6), Q (-4, 3b, -10) और R (8, 14, 2c) हैं।
जहाँ,
x 1 = 2a, y 1 = 2, z 1 = 6;
x 2 = -4, y 2 = 3b, z 2 = -10;
x 3 = 8, y 3 = 14, z 3 = 2c
हम जानते हैं कि त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक जिनके शीर्ष हैं (x 1 , y 1 , z 1 ), (x 2 , y 2 , z 2 ) और (x 3 , y 3 , z 3 ), हैं [(x 1+x 2 +x 3 )/ 3 , (y 1 +y 2 +y 3 )/ 3 , (z 1 +z 2 +z 3 )/ 3 ]
तो, त्रिभुज PQR के केन्द्रक के निर्देशांक हैं
2a + 4 = 0, 3b + 16 = 0, 2c – 4 = 0
a = -2, b = -16/3, c = 2
a, b और c के मान हैं a = -2, b = – 16/3, सी = 2
4. y -अक्ष पर स्तिथ उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिये जिसकी बिंदु P(3,-2,5) से दुरी 52–√52 है|
हल: मान लीजिए कि y-अक्ष पर स्थित बिंदु A (0, y, 0) है।
फिर, यह दिया गया है कि बिंदु A (0, y, 0) और P (3, -2, 5) के बीच की दूरी 5√2 है।
अब, दूरी सूत्र का उपयोग करके,
हम जानते हैं कि दो बिंदुओं P (x1, y1, z1) और Q (x2, y2, z2) के बीच की
दूरी PQ की दूरी = √[(x2 – x1)2+(y2 – y1)2+ (z2– z1)2]
अतः बिन्दु A (0, y, 0) और P (3, -2, 5) के बीच की
दूरी AP की दूरी =[(x2 – x1)2+ (y2– y1 ) 2 + (जेड 2 – जेड 1 ) 2 ]
= √ [(3-0) 2 + (-2-वाई) 2 + (5-0) 2 ]
= [32 + (2-वाई) 2 + 52]
= √[(-2-y) 2 + 9 + 25]
5√2 = √[(-2-y) 2 + 34]
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं
(-2 -y) 2 + 34 = 25 × 2
(-2 -y) 2 = 50 – 34
4 + y 2 + (2 × -2 × -y) = 16
y 2 + 4y + 4 -16 = 0
y 2 + 4y – 12 = 0
y 2 + 6y – 2y – 12 = 0
y (y + 6) – 2 (y + 6) = 0
(y + 6) (y – 2 ) = 0
y = -6, y = 2
बिंदु (0, 2, 0) और (0, -6, 0) y-अक्ष पर आवश्यक बिंदु हैं।
5. P(2,−3,4)P(2,-3,4) और Q(8,0,10)Q(8,0,10) को मिलाने वाली रेखाखंड पर स्थित एक बिंदु RR का x निर्देशांक 4 है। बिंदु RR के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल: दिया गया है:
बिंदुओं P (2, -3, 4) और Q (8, 0, 10) के निर्देशांक।
एक्स1= 2, वाई1= -3, जेड1= 4;
x2= 8, y2= 0, z2= 10
मान लीजिए कि अभीष्ट बिंदु के निर्देशांक (4, y, z) हैं।
तो अब, बिंदु R (4, y, z) बिंदु P (2, -3, 4) और Q (8, 0, 10) को मिलाने वाले रेखा खंड को k: 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
सेक्शन फॉर्मूला का उपयोग करके ,
हम जानते हैं कि बिंदु R के निर्देशांक जो दो बिंदुओं P (x 1 , y 1 , z 1 ) और Q (x 2 , y 2 , z 2 ) को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से m: n के अनुपात में विभाजित करते हैं, दिए गए हैं :
तो, बिंदु R के निर्देशांक द्वारा दिए गए हैं
तो हमारे पास
8k + 2 = 4 (k + 1)
8k + 2 = 4k + 4
8k – 4k = 4 – 2
4k = 2
k = 2/4
= 1/2
अब हम उन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं, जो हमें प्राप्त होते हैं
= 6
अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक हैं (4, -2, 6)।
6. यदि बिंदु A और B क्रमशः (3,4,5) तथा (-1,3,-7) हैं।चर बिंदु P द्वारा निर्मित समुच्चय से संबधित समीकरण ज्ञात कीजिए जहां PA2+PB2=k2जहां k अचर है।
हल: दिया है:
बिंदु A (3, 4, 5) और B (-1, 3, -7)
x1 = 3, y1 = 4, z1 = 5;
x2 = -1, y2 = 3, z2 = -7;
PA2 + PB2 = k2 ………. (1)
मान लीजिए बिंदु P (x, y, z) है।
अब दूरी सूत्र का उपयोग करके,
हम जानते हैं कि दो बिंदुओं P (x1, y1, z1) और Q (x2, y2, z2) के बीच की दूरी किसके द्वारा दी गई है
इसलिए,
और
अब, इन मानों को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास
[(3 – x) 2 + (4 – y) 2 + (5 – z) 2 ] + [(-1 – x) 2 + (3 – y) 2 है। + (-7 – z) 2 ] = k2
[(9 + x 2 – 6x) + (16 + y 2 – 8y) + (25 + z 2 – 10 2 )] + [(1 + x 2 + 2x) + (9 + y 2 – 6y) + (49 + z 2 + 14 2 )] = k2
9 + x 2 – 6x + 16 + y 2 – 8y + 25 + z 2 – 10z + 1 + x 2 + 2x + 9 + y 2 – 6y + 49 + z2 + 14z = k2
2x 2 + 2y 2 + 2z 2 – 4x – 14y + 4z + 109 = k2
2x 2 + 2y 2 + 2z 2 – 4x – 14y + 4z = k2 – 109
2 (x 2 + y 2 + z 2 – 2x – 7y + 2z) = k2 – 109
(x 2 + y 2 + z 2 – 2x – 7y + 2z) = (k2 – 109)/2
इसलिए, अभीष्ट समीकरण है (x 2 + y 2 + z 2 – 2x – 7y + 2z) = (k2 – 109)/2