NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter 12- Introduction to Three Dimensional Geometry (त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय) प्रश्नावली 12.2

June 15, 2022

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter 12- Introduction to Three Dimensional Geometry (त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय) प्रश्नावली 12.2

Textbook	NCERT
Class	Class 11th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 12
Chapter Name	त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय (Introduction to Three Dimensional Geometry)
Mathematics	Class 11th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter 12- Introduction to Three Dimensional Geometry (त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय) प्रश्नावली 12.2

?Chapter – 12?

✍त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय✍

?प्रश्नावली 12.2?

1.निम्नलिखित बिंदु-युग्मों के बिीच की दूरी ज्ञात कीजिएः
(i)(2,3,5)और (4,3,1)
(ii) (-3,7,2) और (2,4,-1)
(iii) (-1,3,-4) और (1,-3,4)
(iv) (2,-1,3) और (-2,1,3)

हल:
(i) (2, 3, 5) और (4, 3, 1)
मान लीजिए कि P (2, 3, 5) है और Q (4, 3, 1)
है, सूत्र का उपयोग करके
दूरी PQ = [ (x₂– x₁)²+ (y₂– y₁)²+ (z₂– z₁)²]
तो यहाँ,
x₁ = 2, y₁ = 3, z₁ = 5
x₂ = 4, y₂ = 3, z₂ = 1
दूरी PQ = [(4 – 2)² + (3 – 3)² + (1 – 5)2]
= √[(2)² + 02 + (-4) ² ]
= √[4 + 0 + 16]
= 20
= 2√5
आवश्यक दूरी 2√5 इकाई है।

(ii) (-3, 7, 2) और (2, 4, -1)
मान लीजिए कि P (-3, 7, 2) है और Q (2, 4, -1)
है, सूत्र का उपयोग करके
दूरी PQ = [(x₂ – x₁ )² + (y₂ – y₁ )² + (z₂ – z₁ )² ]
तो यहाँ,
x₁ = – 3, y₁ = 7, z₁ = 2
x₂ = 2, y₂ = 4, z₂ = – 1
दूरी PQ = √[(2 – (-3))² + (4 – 7)² + (-1 – 2)² ]
= √[(5)² + (-3) ² + (-3) ² ]
= √ [25 + 9 + 9]
= √43
∴ आवश्यक दूरी √43 इकाई है।

(iii) (-1, 3, – 4) और (1, -3, 4) मान लीजिए कि P (-1, 3, – 4) है और Q
(1, – 3, 4)
है।
PQ = √[(x₂ – x₁ ) 2 + (y₂ – y₁ ) 2 + (z₂ – z₁ )² ]
तो यहाँ,
x₁ = – 1, y₁ = 3, z₁ = – 4
x₂ = 1, y₂ = – 3, z₂ = 4
दूरी PQ = [(1 – (-1))² + (-3 – 3)² + (4 – (-4))² ]
= [(2)² + (-6)² + (8) ² ]
= √[4 + 36 + 64]
= √104
= 2√26
∴ आवश्यक दूरी 2√26 इकाई है।

(iv) (2, -1, 3) और (-2, 1, 3)
मान लें कि P (2, – 1, 3) और Q (-2, 1, 3)
है, सूत्र का उपयोग करके,
दूरी PQ = [(x₂ – x₁ ) 2 + (y₂ – y₁ )² + (z₂ – z₁ )² ]
तो यहाँ,
x₁ = 2, y₁ = – 1, z₁ = 3
x₂ = – 2, y₂ = 1, z₂ = 3
दूरी PQ = [(-2 – 2)² + (1 – (-1))² + (3 – 3)² ]
= √[(-4)² + (2)² + (0) ² ]
= √ [16 + 4 + 0]
=
√20 = 2√5
आवश्यक दूरी 2√5 इकाई है।

2. दर्शाइए कि बिंदु (-2,3,5),(1,2,3) और (7,0,-1) संरेख हैं।

हल: यदि तीन बिंदु संरेख हैं, तो वे एक रेखा पर स्थित हैं।
सबसे पहले हम 3 बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करते हैं
अर्थात PQ, QR और PR
PQ
P (-2, 3, 5) और Q ≡ (1, 2, 3)
सूत्र का उपयोग करके,
दूरी PQ = √[(x₂ – x₁)²+ (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²]
तो यहाँ,
x₁ = – 2, y₁ = 3, z₁ = 5
x₂ = 1, y₂ = 2, जेड₂ = 3
दूरी PQ = √[(1 – (-2)) ² + (2 – 3) ² + (3 – 5) ² ]
= √[(3) ² + (-1) ² + (-2) ² ]
= √[9 + 1 + 4]
= √14
क्यूआर
क्यू (1, 2, 3) और आर ≡ (7, 0, – 1) की गणना
सूत्र का उपयोग करके,
दूरी क्यूआर = √[(x ₂ – x ₁ ) ² + (y ₂ – y ₁ ) ² + (z ₂ – z ₁ ) ² ]
तो यहाँ,
x ₁ = 1, y ₁ = 2, z ₁ = 3
x₂ = 7, y ₂ = 0, z ₂ = – 1
दूरी QR = [(7 – 1) ² + (0 – 2) ² + (-1 – 3) ² ]
= [(6) ² + ( -2) ² + (-4) ² ]
= √ [36 + 4 + 16]
= √56
= 2√14
पीआर
पी ≡ (-2, 3, 5) और आर ≡ (7, 0, – 1) की गणना
सूत्र का उपयोग करके,
दूरी PR = [(x ₂ – x ₁ ) ² + (y ₂ – y ₁ ) ² + (z ₂ – z ₁ ) ² ]
तो यहाँ,
x ₁ = – 2, y ₁ = 3, z ₁ = 5
x ₂ = 7, y ₂ = 0, z ₂ = – 1
दूरी PR = [(7 – (-2)) ² + (0 – 3) ² + (-1 – 5) ² ]
= √[(9) ² + (-3) ² + (-6) ² ]
= √[81 + 9 + 36]
= √126
= 3√14
इस प्रकार, PQ = 14, QR = 2√14 और PR = 3√14
अतः, PQ + QR = √14 + 2√14
= 3√14
= PR
बिंदु P, Q और R संरेख हैं।

3. निम्नलिखित को सत्यापित कीजिएः
(i) $(0, 7, - 10), (1, 6, - 6)$ और (4,9,-6) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
(ii) (0,7,10),(-1,6,6) और (-4,9,6) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं
(iii) (-1,2,1),(1,-2,5),(4,-7,8) और (2-3,4) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।

हल:
(i) (0, 7, -10), (1, 6, – 6) और (4, 9, – 6) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
आइए मान लें कि बिंदु
P(0, 7, -10), Q(1, 6, – 6) और R(4, 9, – 6)
यदि कोई 2 भुजाएँ समान हैं, तो यह एक समद्विबाहु त्रिभुज होगा
। सबसे पहले हम PQ, QR की दूरी की गणना करते हैं
PQ
P ≡ (0, 7, – 10) और Q (1, 6, – 6)
सूत्र का उपयोग करके,
दूरी PQ = √[(x₂ – x₁)²+ (y₂– y₁)²+ (z₂– z₁)²]
तो यहाँ,
x₁ = 0, y₁ = 7, z ₁ = – 10
x ₂ = 1, y ₂ = 6, z ₂ = – 6
दूरी PQ = √[(1 – 0) ² + (6 – 7) ² + (-6 – (-10) ) ² ]
= √[(1) ² + (-1) ² + (4) ² ]
= √[1 + 1 + 16]
= √18
क्यूआर
क्यू (1, 6, – 6) और आर ≡ की गणना ( 4, 9, – 6)
सूत्र का उपयोग करके,
दूरी QR = [(x ₂ – x ₁ ) ² + (y ₂ – y ₁ ) ² + (z ₂ – z ₁ )² ]
तो यहाँ,
x ₁ = 1, y ₁ = 6, z ₁ = – 6
x ₂ = 4, y ₂ = 9, z ₂ = – 6
दूरी QR = [(4 – 1) ² + (9 – 6) ² + (-6 – (-6)) ² ]
= √[(3) ² + (3) ² + (-6+6) ² ]
= √[9 + 9 + 0]
= √18
इसलिए, PQ = QR
18 = 18
2 भुजाएँ बराबर हैं
PQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(ii) (0, 7, 10), (-1, 6, 6) और (-4, 9, 6) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं। मान लीजिए
कि बिंदुP
(0, 7, 10), Q(-1, 6, 6) और R(-4, 9, 6)
हैं।, 7, 10) और Q ≡ (-1, 6, 6)सूत्र का उपयोग करकेदूरी PQ = √[(x₂ – x₁ )² + (y₂ – y₁ )² + (z₂ – z₁ )² ]तो यहाँ,x₁ = 0, y₁ = 7, z₁ = 10x₂ = -1, y₂
= 6, z ₂ = 6
दूरी PQ = [(-1 – 0) ² + (6 – 7) ² + (6 – 10) ² ]
= √[(-1) ² + (-1) ² + ( -4) ² ]
= √[1 + 1 + 16]
= √18
क्यूआर
क्यू (1, 6, – 6) और आर ≡ (4, 9, – 6) की गणना
सूत्र का उपयोग करके,
दूरी क्यूआर = √[ (x ₂ – x ₁ ) ² + (y ₂ – y ₁ ) ² + (z ₂ – z ₁ ) ² ]
तो यहाँ,
x ₁ = 1, y ₁ = 6, z ₁ = – 6
x ₂ = 4, y ₂ = 9, z ₂ = – 6
दूरी QR = [(4 – 1) ² + (9 – 6) ² + (-6 – (-6) ) ² ]
= √[(3) ² + (3) ² + (-6+6) ² ]
= √[9 + 9 + 0]
= √18
पीआर
पी ≡ (0, 7, 10) और आर की गणना (-4, 9, 6)
सूत्र का प्रयोग करके
दूरी PR = [(x ₂ – x ₁ ) ² + (y ₂ – y ₁ ) ² + (z ₂ – z ₁ )² ]
तो यहाँ,
x ₁ = 0, y ₁ = 7, z ₁ = 10
x ₂ = – 4, y ₂ = 9, z ₂ = 6
दूरी PR = [(-4 – 0) ² + (9 – 7) ² + (6 – 10) ² ]
= √[(-4) ² + (2) ² + (-4) ² ]
= √[16 + 4 + 16]
= √36
अब,
PQ2 + QR2 = 18 + 18
= 36
= PR2
पाइथागोरस प्रमेय के
विलोम का उपयोग करके, दिए गए शीर्ष P, Q और R, Q पर एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

(iii) (-1, 2, 1), (1, -2, 5), (4, -7, 8) और (2, -3, 4) समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
मान लीजिए कि बिंदु हैं: A(-1, 2, 1), B(1, –2, 5), C(4, -7, 8) और D(2, -3, 4)
ABCD समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हो सकते हैं केवल तभी जब विपरीत भुजाएँ समान हों।
यानी एबी = सीडी और बीसी = एडी
सबसे पहले हम
एबी
ए ≡ (-1, 2, 1) और बी ≡ (1, – 2, 5)
,
दूरी एबी = √ [(x₂ – x₁ )² + (y₂ – y₁ )² + (z₂ – z₁ )² ]
तो यहाँ,
x₁ = – 1, y₁= 2, z ₁ = 1
x ₂ = 1, y ₂ = – 2, z ₂ = 5
दूरी AB = [(1 – (-1)) ² + (-2 – 2) ² + (5 – 1) ² ]
= [(2) ² + (-4) ² + (4) ² ]
= √[4 + 16 + 16]
= √36
= 6
BC
B (1, – 2, 5) और C की गणना करना (4, – 7, 8)
सूत्र का उपयोग करके,
दूरी BC = [(x ₂ – x ₁ ) ² + (y ₂ – y ₁ ) ² + (z ₂ – z _{1 )}) ² ]
तो यहाँ,
x ₁ = 1, y ₁ = – 2, z ₁ = 5
x ₂ = 4, y ₂ = – 7, z ₂ = 8
दूरी BC = [(4 – 1) ² + (- 7 – (-2)) ² + (8 – 5) ² ]
= √[(3) ² + (-5) ² + (3) ² ]
= √[9 + 25 + 9]
= 43
सीडी
सी की गणना (4, – 7, 8) और D ≡ (2, – 3, 4)
सूत्र का उपयोग करके,
दूरी CD = [(x ₂ – x ₁ ) ² + (y ₂ – y )₁ ) ² + (z ₂ – z ₁ ) ² ]
तो यहाँ,
x ₁ = 4, y ₁ = – 7, z ₁ = 8
x ₂ = 2, y ₂ = – 3, z ₂ = 4
दूरी सीडी = [(2 – 4) ² + (-3 – (-7)) ² + (4 – 8) ² ]
= √ [(-2) ² + (4) ² + (-4) ² ]
= √ [4 + 16 + 16]
= √36
= 6
DA
D (2, – 3, 4) और A ≡ (-1, 2, 1) की गणना
सूत्र का उपयोग करके,
दूरी DA = √[(x₂ – x ₁ ) ² + (y ₂ – y ₁ ) ² + (z ₂ – z ₁ ) ² ]
तो यहाँ,
x ₁ = 2, y ₁ = – 3, z ₁ = 4
x ₂ = -1, y ₂ = 2, z ₂ = 1
दूरी DA = [(-1 – 2) ² + (2 – (-3)) ² + (1 – 4) ² ]
= √[(-3) ² + (5) ² + (-3) ² ]
= √[9 + 25 + 9]
= 43
चूँकि AB = CD और BC = DA (दिया गया है)
अतः, ABCD में सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म बराबर हैं।
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

4. ऐसे बिंदुओं के समुच्यय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (1,2,3) और (3,2,-1) से समदूरस्थ हैं।

हल:
मान लीजिए कि A (1, 2, 3) और B (3, 2, -1)
बिंदु P (x, y, z)
क्योंकि यह दिया गया है कि बिंदु P(x, y, z) इससे समान दूरी पर है। बिंदु A(1, 2, 3) और B(3, 2, – 1)
यानी PA = PB
सबसे पहले आइए हम
PA
P (x, y, z) और A (1, 2, 3)
करकेसूत्र,
दूरी PA = [(x₂– x₁)²+ (y₂– y₁)²+ (z₂– z₁)²]
तो यहां,
x₁= x, y₁= y, z₁= जेड
एक्स₂= 1, वाई₂ = 2, z ₂ = 3
दूरी PA = [(1 – x) ² + (2 – y) ² + (3 – z) ² ]
PB
P (x, y, z) और B ≡ (3 , 2, – 1)
सूत्र का उपयोग करके,
दूरी PB = [(x ₂ – x ₁ ) ² + (y ₂ – y ₁ ) ² + (z ₂ – z ₁ ) ² ]
तो यहाँ,
x ₁ = x , y ₁ = y, z ₁ = z
x ₂ = 3, y ₂ = 2, z ₂ = – 1
दूरी PB = [(3 – x) ² + (2 – y) ² + (-1 – z) ² ]
चूँकि PA = PB
वर्ग दोनों तरफ से हमें
PA2 = PB2
(1 – x) ² + ( 2 – y) ² + (3 – z) ² = (3 – x) ² + (2 – y) ² + (-1 – z) ²
(1 + x ₂ – 2x) + (4 + y ₂ – 4y ) + (9 + z ₂ – 6z)
(9 + x ₂ – 6x) + (4 + y ₂ – 4y) + (1 + z ₂ + 2z)
– 2x – 4y – 6z + 14 = – 6x – 4y + 2z + 14
4x – 8z = 0
x – 2z = 0
अभीष्ट समीकरण x – 2z = 0 . है

5. बिंदुओं P से बने समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी बिंदुओं $A (4, 0, 0)$ और $B (- 4, 0, 0)$ से दूरियों का योगफल 10 है।

हल:
मान लीजिए A (4, 0, 0) और B (-4, 0, 0)
बिंदु P के निर्देशांक हैं (x, y, z)
PA
P (x, y, z) और A की4, 0, 0)
सूत्र का उपयोग करके,
दूरी PA = [(x₂– x₁)²+ (y₂– y₁)²+ (z₂– z₁)²]
तो यहाँ,
x₁= x , y₁= y, z₁= z
x₂= 4, y₂= 0, z₂= 0
दूरी PA = [(4- x)²+ (0 – y)²+ (0 – z) ² ]
PB
P (x, y, z) और B ≡ (-4, 0, 0) की गणना
सूत्र का उपयोग करके,
दूरी PB = [(x ₂ – x ₁ ) ² + ( y ₂ – y ₁ ) ² + (z ₂ – z ₁ ) ² ]
तो यहाँ,
x ₁ = x, y ₁ = y, z ₁ = z
x ₂ = – 4, y ₂ = 0, z ₂ = 0
दूरी PB = [(-4- x) ² + (0 – y) ² + (0 – z) ² ]
अब यह दिया गया है कि:
PA + PB = 10
PA = 10 – PB
दोनों तरफ वर्ग, हमें
PA2 = (10 – PB) ²
PA2 = 100 + PB2 – 20 PB
(4 – x) ² + (0 – y) ² + (0 – z) ²
100 + (-4 – x) ² + (0 – y) ² + (0 – z) ² – 20 PB
(16 + x ₂ – 8x) + (y ₂ ) + (z ₂ )
100 + (16 + x ₂ + 8x) + (y ₂ ) + (z ₂ ) – 20 PB
20 PB = 16x + 100
5 PB = (4x + 25)
दोनों पक्षों पर फिर से वर्ग, हम प्राप्त करते हैं
25 PB2 = 16×2 + 200x + 625
25 [(- 4 – x) ² + (0 – y) ² + (0 – z) ² ] = 16×2 + 200x + 625
25 [x ² + y ² + z ² + 8x + 16] = 16×2 + 200x + 625
25x ² + 25y ² + 25z ² + 200x + 400 = 16x ² + 200x + 625
9x ² + 25y ² + 25z ² – 225 = 0
आवश्यक समीकरण 9x ² + 25y ² + 25z ² – 225 = 0 है।