NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 11 – शंकु परिच्छेद (conic-sections) प्रश्नावली 11.4

June 14, 2022

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 11 – शंकु परिच्छेद (conic-sections) प्रश्नावली 11.4

Textbook	NCERT
Class	Class 11th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 11
Chapter Name	शंकु परिच्छेद (conic-sections)
Mathematics	Class 11th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	Last Doubt

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 11 – शंकु परिच्छेद (conic-sections) प्रश्नावली 11.4

?Chapter – 11?

✍शंकु परिच्छेद ✍

?प्रश्नावली 11.4?

आतिपरवलयों के शीर्षों , नाभियों के निर्देशांक,उत्केंद्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए :

1. x²/16−y²/9=1

हल: ^दियागया है:समीकरण
x^2/16– y 2/9=¹या x^2/42–^y2/32⁼¹है
।²= 1,
हमें a = 4 और b = 3 मिलता है,
यह ज्ञात है कि, a²+ b²= c²
तो,
c²= 42 + 32
= 25
c = 5
फिर,
foci के निर्देशांक हैं ( ± 5, 0)।
शीर्षों के निर्देशांक (±4, 0) हैं।
विलक्षणता, ई = सी/ए = 5/4
लेटस रेक्टम की लंबाई = 2b ² /a = (2 × 32)/4 = (2×9)/4 = 18/4 = 9/2

2. y²/9−x²/27=1

हल: दिया
है: समीकरण y 2/9^–x^2/27= 1 या y2/32 – x2/272 = 1
है। इस समीकरण की हाइपरबोला के मानक समीकरण से तुलना करने पर y²/a²^–x²^/b²= 1,
हमें a = 3 और b = √27 मिलता है,
यह ज्ञात है कि, a²+ b²= c²
तो,
c²= 32 + (√27)²
= 9 + 27
c²= 36
c =
= 6
तब,नाभियों
के निर्देशांक (0, 6) और (0, -6) हैं।
शीर्षों के निर्देशांक (0, 3) और (0, – 3) हैं।
उत्केंद्रता, ई = सी/ए = 6/3 = 2 लेटस
रेक्टम की लंबाई = 2 बी ² / ए = (2 × 27)/3 = (54)/3 = 18

3. 9y²/−4x²/=36

हल: दिया
गया है: समीकरण 9y²– 4x²= 36 या y²/4 – x2/9⁼1 या y^2/22= 1^है²
के मानक समीकरण से तुलना करने पर/ए²– एक्स²/ बी²= 1,
हमें ए = 2 और बी = 3 मिलता है,
यह ज्ञात है कि, ए²+ बी²= सी²
तो,
सी²= 4 + 9
सी²= 13
सी = 13
तब,
नाभियों के निर्देशांक (0, 13) और (0, -√13) हैं।
शीर्षों के निर्देशांक (0, 2) और (0, – 2) हैं।
सनकीपन, ई = सी/ए = √13/2 लेटस रेक्टम
की लंबाई = 2 बी ² / ए = (2 × 32)/2 = (2 × 9)/2 = 18/2 = 9

4. 16x² – 9y² = 576

हल: दिया
गया है: समीकरण 16x²– 9y²= 576
है, आइए हम पूरे समीकरण को 576 से विभाजित करें, हमें
16×2/576 – 9y²/576 = 576/576
x^2/36– y^2/64= 1^{प्राप्त}
।²/a²– y²/b²= 1के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर
हमें a = 6 और b = 8 प्राप्त होता है,
यह ज्ञात है कि, a²+ b²= c²
तो,
c²= 36 + 64
सी²= 100
सी = 10
फिर,
नाभियों के निर्देशांक (10, 0) और (-10, 0) हैं।
शीर्षों के निर्देशांक (6, 0) और (-6, 0) हैं।
उत्केंद्रता, ई = सी/ए = 10/6 = 5/3 लेटस रेक्टम
की लंबाई = 2 बी ² / ए = (2 × 82)/6 = (2×64)/6 = 64/3

5. 5y² – 9x² = 36

हल: दिया
गया है: समीकरण 5y²– 9x²= 36
है, आइए हम पूरे समीकरण को 36 से विभाजित करें, हमें
5y^–9x2/36 = 36/36
y²^36/5) – x²/4 = 1²/a²– x²/b²= 1
के मानक समीकरण के साथ इस समीकरण की तुलना करने पर
हमें a = 6/√5 और b = 2 प्राप्त होता है,
यह ज्ञात है कि, a²+ b²= सी²
तो,
सी²= 36/5 + 4
सी² = 56/5
सी = √(56/5)
= 2√14/√5
फिर, नाभियों
के निर्देशांक (0, 2√14/√5) और (0, – 2√14/√5) हैं।
शीर्षों के निर्देशांक (0, 6/√5) और (0, -6/√5) हैं।
सनकीपन, ई = सी/ए = (2√14/√5) / (6/√5) = √14/3 लेटस रेक्टम
की लंबाई = 2 बी ² / ए = (2 × 22)/6/√5 = ( 2×4)/6/√5 = 4√5/3

6. 49y²/−16x²/=784

हल: दिया
गया है: समीकरण 49y²– 16x²= 784
है। आइए हम पूरे समीकरण को 784 से विभाजित करें, हमें
49y 2/784- 16x^2/784= 784/784
y^2/16– x^2/49= 1^{मिलता}²/a²– x²/b²= 1
के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर
हमें a = 4 और b = 7 मिलता है,
यह ज्ञात है कि, a²+ b²= c²
तो,
c²= 16 + 49
सी²= 65
सी = √65
फिर,
नाभियों के निर्देशांक (0, 65) और (0, -√65) हैं।
शीर्षों के निर्देशांक (0, 4) और (0, -4) हैं।
उत्केंद्रता, e = c/a = √65/4 लेटस रेक्टम
की लंबाई = 2b ² /a = (2 × 72)/4 = (2×49)/4 = 49/2
प्रत्येक अभ्यास 7 से 15 में, ज्ञात कीजिए दी गई शर्तों को संतुष्ट करने वाले अतिपरवलय के समीकरण

7. शीर्ष $(\pm 2, 0)$ नाभियाँ $(\pm 3, 0)$

हल: दिया है:
शीर्ष (±2, 0) और नाभियाँ (±3, 0)
यहाँ, शीर्ष x-अक्ष पर हैं।
अत: अतिपरवलय का समीकरण x²/a²– y²/b²= 1
(±2, 0) हैं, इसलिए, a = 2
चूँकि, नाभियाँ (±3,) हैं 0), तो, c = 3
यह ज्ञात है कि, a²+ b²= c²
तो, 22 + b²= 32
b²= 9 – 4 = 5
अतिपरवलय का समीकरण x²/4 – y^2/5= 1

8. शीर्ष $(0, \pm 5)$ नाभियाँ $(0, \pm 8)$

हल: दिया है:
शीर्ष (0, ± 5) और नाभियाँ (0, ± 8)
यहाँ शीर्ष y-अक्ष पर हैं।
अत: अतिपरवलय का समीकरण y²/a²– x²/b²= 1
(0, ±5) हैं, इसलिए, a = 5
चूँकि, नाभियाँ (0, ±) हैं 8), इसलिए, c = 8
यह ज्ञात है कि, a²+ b²= c²
तो, 52 + b²= 82
b²= 64 – 25 = 39
अतिपरवलय का समीकरण y 2/25^–x^2/39= 1

9. शीर्ष (0, ± 3), नाभियाँ (0, ± 5)

हल: दिया है:
शीर्ष (0, ± 3) और नाभियाँ (0, ± 5)
यहाँ, शीर्ष y-अक्ष पर हैं।
अत: अतिपरवलय का समीकरण y²/a²– x²/b²= 1
(0, ±3) हैं, इसलिए, a = 3
चूँकि, नाभियाँ (0, ±) हैं 5), इसलिए, c = 5
यह ज्ञात है कि, a²+ b²= c²
तो, 32 + b²= 52
b²= 25 – 9 = 16
अतिपरवलय का समीकरण y 2/9^–x^2/16= 1

10. नाभियाँ $(\pm 5, 0)$ अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई 8 है |

हल: दिया है:
Foci (±5, 0) और अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई 8 है।
यहां, नाभियां x-अक्ष पर हैं।
अतिपरवलय का समीकरण x²/a²– y²/b²= 1
के रूप का होता है क्योंकि, नाभियाँ (±5, 0) हैं, इसलिए, c = 5
चूँकि अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई 8 है,
2a = 8
a = 8/2
= 4
यह ज्ञात है कि, a²+ b²= c²
4²+ b²= 52
b²= 25 – 16
= 9
अतिपरवलय का समीकरण x 2/16^है– वाई 2/9⁼1

11. नाभियाँ $(0, \pm 13)$ , संयुग्मी अक्ष की लम्बाई 24 है |

हल: दिया है:
Foci (0, ±13) और संयुग्मी अक्ष की लंबाई 24 है।
यहाँ, नाभियाँ y-अक्ष पर हैं।
अतिपरवलय का समीकरण y²/a²– x²/b²= 1
के रूप का होता है क्योंकि, नाभियाँ (0, ±13) हैं, इसलिए, c = 13
चूँकि, संयुग्म अक्ष की लंबाई 24 है,
2b = 24
b = 24/2
= 12
यह ज्ञात है कि, a²+ b²= c²
a²+ 122 = 132
a²= 169 – 144
= 25
अतिपरवलय का समीकरण y 2/25^–x2/144 =¹

12. नाभियाँ $(\pm 3 \sqrt{5}, 0)$ नाभिलंब अक्ष की लंबाई 8 है |

हल: दिया है:
Foci (± 3√5, 0) और लेटस रेक्टम की लंबाई 8 है।
यहां, foci x-अक्ष पर हैं।
अतिपरवलय का समीकरण x²/a²– y²/b²= 1
के रूप का होता है क्योंकि, नाभियाँ (± 3√5, 0) हैं, इसलिए, c = ± 3√5 लेटस रेक्टम
की लंबाई 8 है
2b²/a = 8
2b²= 8a
b²= 8a/2
= 4a
यह ज्ञात है कि, a²+ b²= c²
a² + 4a = 45
a²+ 4a – 45 = 0
a²+ 9a – 5ए – 45 = 0
(ए + 9) (ए -5) = 0
ए = -9 या 5
चूंकि, ए गैर-ऋणात्मक है, ए = 5
इसलिए, बी ² = 4 ए
= 4 × 5
= 20
अतिपरवलय का समीकरण x ² है /25 – वाई ² /20 = 1

13. नाभियाँ $(\pm 4, 0)$ नाभिलंब अक्ष की लंबाई 12 है |

हल: दिया है:
Foci (± 4, 0) और लेटस रेक्टम लंबाई 12 है।
यहां, foci x-अक्ष पर हैं।
अतिपरवलय का समीकरण x²/a²– y²/b²= 1
के रूप का होता है क्योंकि, नाभियाँ (± 4, 0) हैं, इसलिए, c = 4
लेटस रेक्टम की लंबाई 12
2b²/a = है 12
2b²= 12a
b²= 12a/2
= 6a
यह ज्ञात है कि, a²+ b²= c²
a²+ 6a = 16
a²+ 6a – 16 = 0
a²+ 8a – 2a – 16 = 0
(ए + 8) (ए – 2) = 0
ए = -8 या 2
चूंकि, ए गैर-ऋणात्मक है, ए = 2
इसलिए, बी ² = 6 ए
= 6 × 2
= 12
अतिपरवलय का समीकरण x ² है /4 – वाई ² /12 = 1

14. शीर्ष $(\pm 7, 0) e = \frac{4}{3}$

हल: दिया गया है:
शीर्ष (±7, 0) और e = 4/3
यहाँ, शीर्ष x-अक्ष पर हैं
अतिपरवलय का समीकरण x²/a²– y²/b²= 1
क्योंकि , शीर्ष (± 7, 0) हैं, इसलिए, a = 7
यह दिया गया है कि e = 4/3
c/a = 4/3
3c = 4a
a के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें
3c = 4(7)
c= 28/3
यह ज्ञात है कि, a²+ b²= c²
72 + b²= (28/3)2
b²= 784/9 – 49
= (784 – 441)/9
=
343/9 अतिपरवलय का समीकरण x . है^2/49 – 9y 2/343 = ¹

15. नाभियाँ $(0, \pm \sqrt{10})$ है तथा (2,3) से होकर जाता है |

हल: दिया है:
Foci (0, ±√10) और (2, 3) से गुजरते हुए,
यहां नाभियां y-अक्ष पर हैं।
अतिपरवलय का समीकरण y²/a²– x²/b²= 1
के रूप का होता है क्योंकि, नाभियाँ (±√10, 0) हैं, इसलिए, c = 10
यह ज्ञात है कि, a²+ b²= c²
b²= 10 – a²………….. (1)
यह दिया गया है कि अतिपरवलय बिंदु (2, 3) से होकर गुजरता है,
इसलिए, 9/a²– 4/b²= 1 … (2 )
समीकरणों (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं,
9/a²– 4/(10-a²) = 1
9(10 – ए ² ) – 4ए ² = ए ² (10 -ए ² )
90 – 9ए ² – 4ए ² = 10ए ² – ⁴
ए ⁴ – 23ए ² + 90 = 0
ए ⁴ – 18ए ² – 5a ² + 90 = 0
a ² (a ² -18) -5(a ² -18) = 0
(a ² – 18) (a ² -5) = 0
a ² = 18 या 5
अतिपरवलय में, c > a यानी, सी ² > ए ²
तो, ए² = 5
बी ² = 10 – ए ²
= 10 – 5
= 5
अतिपरवलय का समीकरण y 2/5 ^– x ^2/5 = 1 है