NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 10 सरल रेखाएँ (Straight Lines) विविध प्रश्नावली

June 16, 2022

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 10 सरल रेखाएँ (Straight Lines) विविध प्रश्नावली

Textbook	NCERT
class	Class – 11th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 10
Chapter Name	सरल रेखाएँ
grade	Class 11th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	last doubt

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 10 सरल रेखाएँ (Straight Lines) विविध प्रश्नावली

?Chapter – 10?

✍सरल रेखाएँ✍

?विविध प्रश्नावली?

1. k के मान ज्ञात कीजिए जबकि रेखा (k – 3) x – (4 – k² ) y + k² – 7k + 6 = 0 है

(ए) X-अक्ष के समानांतर,

(बी) Y-अक्ष के समानांतर,

(सी) मूल के माध्यम से गुजर रहा है।

?‍♂️हल – यह दिया गया है कि
(k – 3) x – (4 –k²) y +k²– 7k + 6 = 0 … (1)
(a) यहाँ यदि रेखा x-अक्ष के समानांतर है
रेखा का ढाल = x-अक्ष का ढाल
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है
(4 –k²) y = (k – 3) x +k²– 7k + 6 = 0
हम पाते हैं

आगे की गणना के द्वारा
k – 3 = 0
k = 3
इसलिए, यदि दी गई रेखा x-अक्ष के समानांतर है, तो k का मान 3 है।
(b) यहाँ यदि रेखा y-अक्ष के समानांतर है, तो यह है लंबवत और ढलान अपरिभाषित होगा।
अतः दी गई रेखा का ढाल

k ² = 4
k = ± 2
इसलिए, यदि दी गई रेखा y-अक्ष के समानांतर है, तो k का मान ± 2 है।
(c) यहां यदि रेखा (0, 0) से होकर गुजर रही है जो मूल बिंदु है रेखा के दिए गए समीकरण को संतुष्ट करता है।
(k – 3) (0) – (4 – k ² ) (0) +k ² – 7k + 6 = 0
आगे की गणना द्वारा
k ² – 7k + 6 = 0
पदों को अलग करना
k ² – 6k – k + 6 = 0
हमें
(k – 6) (k – 1) = 0
k = 1 या 6 प्राप्त
होता है। इसलिए, यदि दी गई रेखा मूल बिंदु से होकर जा रही है, तो k का मान या तो 1 या 6 होता है।

2. $θ$ और p के मान ज्ञात कीजिए यदि समीकरण x cos + y sin θ = p रेखा √3x + y + 2 = 0 का लंब रूप है।

?‍♂️हल –

3. उन रेखाओ के समीकरण ज्ञात कीजिए जिनके अक्षो से कटे अंत,खंडो का योग और गुणनफल क्रमशः 1 और -6 है ।

समाधान – a और b अक्षों पर दी गई रेखाओं द्वारा काटे गए अंतःखंडों पर विचार करें।
a + b = 1 …… (1)
ab = – 6 …….. (2)
दोनों समीकरणों को हल करने पर हमें
a = 3 और b = -2 या a = – 2 और b = 3
होता है। उस रेखा का जिसका अंतःखंड a और b अक्षों पर है

स्थिति I – a = 3 और b = – 2
अतः रेखा का समीकरण है – 2x + 3y + 6 = 0, अर्थात 2x – 3y = 6.
स्थिति II – a = -2 और b = 3
तो समीकरण का समीकरण रेखा 3x – 2y + 6 = 0 है, अर्थात -3x + 2y = 6
इसलिए, रेखाओं के अभीष्ट समीकरण 2x – 3y = 6 और -3x + 2y = 6 हैं।

4. y -अक्ष पर कोण से बिंदु ऐसे है, जिनकी रेखा x/3 + y/4 = 1 से दूरी 4 इकाई है।

?‍♂️हल – (0,b) को y-अक्ष पर एक बिंदु मानें जिसकी रेखा x/3 + y/4 = 1 से दूरी 4 इकाई है।
इसे 4x + 3y – 12 = 0 …… के रूप में लिखा जा सकता है। (1)
समीकरण (1) की रेखा Ax + By + C = 0 के सामान्य समीकरण से तुलना करने पर, हम
A = 4, B = 3 और C = – 12
हैं, हम जानते हैं कि रेखा Ax की लंबवत दूरी (d) + By + C = 0 से (x₁, y₁) को इस प्रकार लिखा जाता है

क्रॉस गुणा द्वारा
20 = |3b – 12|
हमें मिला
20 = ± (3b – 12)
यहां 20 = (3b – 12) या 20 = – (3b – 12)
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं
3b = 20 + 12 या 3b = -20 + 12
हमें मिलता है,
b = 32/3 या b = -8/3 इसलिए, आवश्यक बिंदु (0, 32/3) और (0, -8/3) हैं।

5.मूल बिंदु से बिन्दुओ $(\cos θ, \sin θ)$ और $(\cos ϕ, \sin ϕ)$ को मिलाने वलै रेखा कि लंबिक दुरी ज्ञात कीजिए

?‍♂️हल –

6. रेखाओ x – 7y + 5 = 0 और 3x + y = 0 $3 x + y = 0$ के प्रतिच्छेद बिंदु से खींची गई और y -अक्ष के समांतर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – यहाँ y-अक्ष के समांतर किसी रेखा का समीकरण
x = a …… के रूप का होता है। (1)
दो दी गई रेखाएँ हैं
x – 7y + 5 = 0 …… (2)
3x + y = 0 …… (3)
समीकरणों को हल करने से (2) और (3) हम
x = -5/22 और y =15/22
(-5/22, 15/22) रेखाओं (2) और (3) का प्रतिच्छेदन बिंदु है
यदि रेखा x = a बिंदु से होकर गुजरती है (-5/22, 15/22) तो हमें प्राप्त होता है a = -5/22
अत: रेखा का अभीष्ट समीकरण x = -5/22 है।

7. रेखा x/4 + y/6 = 1 पर लंब इस बिंदु से खींची गारी रेखा का। समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ यह रेखा y -अक्ष से मिलती है।

?‍♂️हल – यह दिया गया है कि
x/4 + y/6 = 1हम
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं
3x + 2y – 12 = 0
तो हमें
y = -3/2 x + 6 जो रूप का है y = mx + c
यहां दी गई रेखा का ढलान = -3/2
तो दी गई रेखा के लंबवत रेखा का ढलान = -1/ (-3/2) = 2/3
माना जाता है कि y-अक्ष को प्रतिच्छेद करती है ( 0, y)
के समीकरण में x को शून्य के रूप में रखने पर दी गई रेखा
y/6 = 1
y = 6
दी गई रेखाअक्ष को (0, 6) पर प्रतिच्छेद करतीहै।
2/3 का ढलान और बिंदु (0, 6) से होकर गुजरता है
(y – 6) = 2/3 (x – 0)
आगे की गणनासे
3y – 18 = 2x
तो हमें
2x – 3y + 18 = 0
अत: रेखा का अभीष्ट समीकरण 2x – 3y + 18 = 0 है।

8. रेखाओं y – x = 0, x + y = 0 और x – k = 0 से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – यह दिया गया है कि
y – x = 0 …… (1)
x + y = 0 …… (2)
x – k = 0 ……। (3)
यहाँ रेखा (1) और (2) का प्रतिच्छेद बिंदु
x = 0 है और y = 0
रेखाएँ (2) और (3)
x = k है और y = – k
रेखाएँ (3) और (1)
x = k और y = k

तो दी गई तीन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्ष (0, 0), (k, -k) और (k, k)हैं। यहाँ त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष हैं (x₁, y₁), (x₂, y₂) और (x₃, y₃)½ (y₂ – y₃)
तो दी गई तीन रेखाओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल
= ½ |0 (-k – k) + k (k – 0) + k (0 + k)| वर्ग इकाई
आगे की गणना से
= ½ |k² + k² | वर्ग इकाई
तो हमें प्राप्त होता है
= ½ |2k ² |
= k ² वर्ग इकाई

9. p का मान ज्ञात कीजिए जिससे तीन रेखाएँ 3x + y – 2 = 0, px + 2y – 3 = 0 और 2x – y – 3 = 0 एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करे।

?‍♂️हल – यह दिया गया है कि
3x + y – 2 = 0 …… (1)
px + 2y – 3 = 0 ….. (2)
2x – y – 3 = 0 …… (3)
समीकरणों को हल करके ( 1) और (3) हमें
x = 1 और y = -1
है यहाँ तीन रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु (1) और (3) भी रेखा (2)
p (1) + 2 (-1) – 3 = 0
आगे की गणना से
p – 2 – 3 = 0
तो हमें
p = 5
होता है, इसलिए p का अपेक्षित मान 5 है।

10. यदि तीन रेखाएँ जिनके समीकरण y = m ₁ x + c ₁ , y = m ₂ x + c ₂ और y = m ₃ x + c ₃ संगमि है तो दिखाइए कि m₁ (c₂ – c₃) + m₂ (c₃ – c₁) + m₃ (c₁ – c₂) = 0.

?‍♂️हल – यह दिया गया है कि
y = m₁x + c₁ ….. (1)
y = m₂x + c₂ ….. (2)
y = m₃x + c₃ ….. (3 )
समीकरण (1) को (2) से घटाने पर हमें
0 = (m₂ – m₁) x + (c₂ – c₁)
(m₁ – m₂) x = c₂ – c₁
प्राप्त होता है

सामान्य पदों को निकालना
m₁ (c₂ – c₃) + m₂ (c₃ – c₁) + m₃ (c₁ – c₂) = 0
इसलिए, m₁ (c₂ – c₃) + m₂ (c₃ – c₁) + m₃ (c₁ – c₂) = 0.

11. बिंदु (3, 2) से जानेवाली उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x-2y = 3 से 45° का कोण बनाती है।

?‍♂️हल – m1 को आवश्यक रेखा का ढलान
इसे y = 1/2 x – 3/2 के रूप में लिखा जा सकता है
जो कि y = mx + c
में है तो दी गई रेखा का ढलान m2 = 1/ 2
हम जानते हैं कि अभीष्ट रेखा और रेखा x – 2y = 3 के बीच का कोण 45o है
यदि रेखा l1 और l2 के बीच का न्यून कोण है जिसकी ढलान m1 और m2 है

इसे 2 + m₁ = 1 – 2m ₁ या 2 + m₁ = – 1 + 2m₁
m₁ = – 1/3 या m₁ = 3
स्थिति I – m ₁ = 3 के रूप में लिखा जा सकता है ।
यहाँ रेखा का समीकरण है। (3, 2) से गुजरना और ढलान 3 होना
y – 2 = 3 (x – 3)
है, आगे की गणना से
y – 2 = 3x – 9
तो हमें
3x – y = 7
केस II – m1 = -1/3 मिलता है।
यहाँ (3, 2) से गुजरने वाली और ढलान -1/3 वाली रेखा का समीकरण y
y – 2 = – 1/3 (x – 3 ) है । + 3y = 9
आगे की गणना द्वारा
3y – 6 = – x + 3
तो हमें मिलता है
x + 3y = 9
अत: रेखाओं के समीकरण 3x – y = 7 और x + 3y = 9 हैं।

12. रेखाओं 4x + 7y – 3 = 0 और 2x – 3y + 1 = 0 के प्रतिच्छेद बिंदु से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो अक्षो से समान अंत,खंड बनाती है

?‍♂️हल – अक्षों पर समान अंतःखंड वाली रेखा के समीकरण पर विचार करें जैसे
x/a + y/a =1
के रूप में लिखा जा सकता है
x + y = a …..(1)
समीकरण को हल करके 4x + 7y – 3 = 0 और 2x – 3y + 1 = 0 हमें मिलता है
x = 1/13 और y = 5/13
(1/13, 5/13) दो दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु हैहम जानते हैं कि समीकरण (1) गुजरता है बिंदु के माध्यम से (1/13, 5/13)
1/13 + 5/13 =a
a= 6/13
तो समीकरण (1) से गुजरता है (1/13, 5/13)
1/13 + 5/13 = a
हमें
a = 6/13
यहाँ समीकरण (1) है,
x + y = 6/13
13x + 13y = 6
अतः रेखा का वांछित समीकरण 13x + 13y = 6 है।

13. रेखा $\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$ पर लंब इस बिंदु से खींची गारी रेखा का। समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ यह रेखा y -अक्ष से मिलती है।

?‍♂️हल – y = m₁ x को मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा के समीकरण के रूप में

14. (-1, 1) और (5, 7) को मिलाने वाली रेखाखण्ड को रेखा x + y = 4 किस अनुपात में विभाजित करती है ?

?‍♂️हल –

क्रॉस गुणा द्वारा
– k + 5 = 1 + k
हमें
2k = 4
k = 2 मिलता
है इसलिए, बिंदुओं (-1, 1) और (5, 7) को मिलाने वाली रेखा को रेखा x + y = 4 से विभाजित किया जाता है। अनुपात 1:2।

15.बिंदु (1, 2) से रेखा 4x + 7y + 5 = 0 कि $4 x + 7 y + 5 = 0$ $(1, 2)$ 2x – y = 0 के अनुदिश, दुरी ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – यह दिया गया है कि
2x – y = 0 ….. (1)
4x + 7y + 5 = 0 …… (2)
यहाँ A (1, 2) रेखा पर एक बिंदु है (1)
B पर विचार करेंरेखाओं (1) और (2) के प्रतिच्छेदन बिंदु के रूप में

समीकरण (1) और (2) को हल करने पर हमें x = -5/18 और y = – 5/9 प्राप्त
होता है। अतः बिंदु B के निर्देशांक हैं (-5/18, -5/9)
दूरी सूत्र से A के बीच की दूरी और बी

16. बिंदु $(- 1, 2)$ में खींची जा सकने वाली उस रेखा कि दिशा ज्ञात कीजिए जिसका रेखा $x + y = 4$ से प्रतिच्छेद बिंदु दिए बिंदु से 3 इकाई कि दुरी पर है।

?‍♂️हल – y = mx + c को बिंदु (-1, 2) से गुजरने वाली रेखा के रूप में
इसलिए हमें
2 = m (-1) + c
है, आगे की गणना से
2 = -m + c
c = m + 2
y = mx + m + 2 ……
पर दी गई रेखा
x + y = 4 …… है। (2)
दोनों समीकरणों को हल करने पर हमें प्राप्त होता है

क्रॉस गुणा
1 + m² = m² + 1 + 2 मीटर
तो हमें 2 मीटर =
0
मीटर = 0 मिलता
है इसलिए, आवश्यक रेखा का ढलान शून्य होना चाहिए यानी रेखा x-अक्ष के समानांतर होनी चाहिए।

17. समकोण त्रिभुज के कर्ण के अंत बिंदु $(1, 3)$ और $(- 4, 1)$ है । त्रिभुज के पाद ( समकोणीय भुजाओं ) के समीकरण ज्ञात कीजिए जो अक्षो के समान्तर है।

?‍♂️हल – ABC को समकोण त्रिभुज मानें जहाँ C = 90o
यहाँ अनंत ऐसी रेखाएँ मौजूद हैं।
m AC का ढलान है
इसलिए BC का ढलान = -1/m
AC का समीकरण –
y – 3 = m (x – 1)
क्रॉस गुणा द्वारा
x – 1 = 1/m (y – 3)
का समीकरण BC –
y- 1 = – 1/m (x + 4)
क्रॉस गुणन द्वारा
x + 4 = – m (y – 1)
m के मानों पर विचार करने पर हमें प्राप्त होता है
यदि m = 0,
तो हमें
y – 3 = 0, x + 4= 0
यदि m = ,
तो हमें
x – 1 = 0, y – 1 = 0 प्राप्त होता है, तो हमें x = 1, y = 1 प्राप्त होता है।

18. किसी बिंदु के लिए रेखा का दर्पण मानते हुए बुंडू (3, 8) का रेखा x + 3y = 7 में प्रतिबिम्ब ज्ञात कीजिए

?‍♂️हल – यह दिया गया है कि
x + 3y = 7 ….. (1)
बिंदु A (3, 8) की छवि के रूप में B (a, b) पर विचार करें,
इसलिए रेखा (1) AB का लंबवत समद्विभाजक है।

और अधिक सरलीकरण करने पर
a + 3b = – 13 ….. (3)
समीकरण (2) और (3) को हल करने पर हमें
a = – 1 और b = – 4 प्राप्त
होता है, इसलिए दी गई रेखा के संबंध में दिए गए बिंदु की छवि (-1, -4) है।

19. यदि रेखाएँ y = 3x + 1 और 2y = x + 3 रेखा y = mx + 4 पर समान रूप से आनत हो तो m का मान ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – यह दिया गया है कि
y = 3x + 1 …… (1)
2y = x + 3 …… (2)
y = mx + 4 …… (3)
यहाँ रेखा की ढलान
(1), m₁ = 3
रेखा (2), m₂ = ½
रेखा (3), m₃ = m
हम जानते हैं कि रेखाएँ (1) और (2) समान रूप से रेखा (3) की ओर झुकी हुई हैं, जिसका अर्थ है कि रेखाओं के बीच का कोण (1) और (3) रेखाओं (2) और (3) के बीच के कोण के बराबर है।

आगे की गणना पर
– m² + m + 6 = 1 + m – 6m²
तो हमें
5m² + 5 = 0
समीकरण को 5
m² + 1 = 0
m = -1 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो वास्तविक नहीं है।
इसलिए यह मामला संभव नहीं है।
यदि

20. यदि एक चर बिंदु P (x, y) की रेखाओं x + y – 5 = 0 और 3x – 2y + 7 = 0 के लंबिक डिरियो का योग सदैव 10 रहे तो दर्शाइए कि P अनिवार्य रूप से एक रेखा पर गमन करता है।

?‍♂️हल –

इसी तरह हम (x + y – 5) और (3x – 2y + 7) के किसी भी चिन्ह के लिए रेखा का समीकरण प्राप्त कर सकते हैं
, इसलिए बिंदु P को एक रेखा पर चलना चाहिए।

21. समांतर राखाओ 9x + 6y – 7 = 0 और 3x + 2y + 6 = 0 से समदूरस्थ रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल –

यहाँ
9h + 6k – 7 = 3 (3h + 2k + 6) या 9h + 6k – 7 = – 3 (3h + 2k + 6)
9h + 6k – 7 = 3 (3h + 2k + 6) संभव नहीं है क्योंकि
9h + 6k – 7 = 3 (3h + 2k + 6)
आगे की गणना से
– 7 = 18 (जो गलत है)
हम जानते हैं कि
9h + 6k – 7 = -3 (3h + 2k + 6)
गुणा करके
9h + 6k – 7 = -9h – 6k – 18
हमें
18h + 12k + 11 = 0 मिलता
है इसलिए, रेखा का अभीष्ट समीकरण 18x + 12y + 11 = 0 है।

22. बिंदु (1, 2)से होकर जाने वाली एक प्रकाश किरण x-अक्ष बिंदु A से प्रवर्तित होती है और परावर्तित किरण बिन्दु (5, 3) से होकर जाती है। A के निर्दशांक ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल –

बिंदु A के निर्देशांकों पर विचार करें (a, 0)
एक रेखा (AL) की रचना करें जो x-अक्ष के लंबवत हो।
यहाँ आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर है
BAL = ∠CAL =
∠CAX =
यह OAB = 180° – (θ + 2Φ
) = 180° – [θ + 2(90° – )]
आगे की गणना करने पर
= 180° – θ – 180° + 2θ
=
तो हमें
BAX = 180° –

क्रॉस गुणा
3a – 3 = 10 – 2a
से हमें
a = 13/5 प्राप्त होता है
इसलिए, बिंदु A के निर्देशांक (13/5, 0) हैं।

23. दिखाइए कि $(\sqrt{a^{2} - b^{2}}, 0)$ और $(- \sqrt{a^{2} - b^{2}}, 0)$ बिन्दुओ से रेखा $\frac{x}{a} \cos θ + \frac{y}{b} \sin θ = 1$ पर खींचे गए लम्बो कि लम्बाइयों का गुणनफल $b^{2}$ है

?‍♂️हल – दिया जाता है कि

इसे हम bx cos + high sin θ – ab = 0 ….. (1) के रूप में लिख सकते हैं ।

24. सएक व्यक्ति समीकरण $2 x - 3 y + 4 = 0$ और $3 x + 4 y - 5 = 0$ से निरूपित सरल रेखीय पाथो के संदी बिंदु पर खड़ा है और समीकरण $6 x - 7 y + 8 = 0$ से निरूपित पथ पर न्यूनतम समय में पहुंचना कहता है । उसके द्वारा अनुसरित पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – यह दिया गया है कि
2x – 3y + 4 = 0 …… (1)
3x + 4y – 5 = 0 ……। (2)
6x – 7y + 8 = 0 …….. (3)
यहाँ व्यक्ति रेखाओं (1) और (2) द्वारा दर्शाए गए रास्तों के जंक्शन पर खड़ा है।
समीकरण (1) और (2) को हल करने पर हमें
x = – 1/17 और y =
22/17 मिलता है, इसलिए व्यक्ति बिंदु (-1/17, 22/17) पर खड़ा है।
हम जानते हैं कि व्यक्ति कम से कम समय में पथ (3) पर पहुंच सकता है यदि वह बिंदु (-1/17, 22/17) से लंब रेखा के साथ (3) तक चलता है।
यहां रेखा का ढलान (3) = 6/ 7
हमें रेखा के लंबवत रेखा का ढलान (3) = -1/ (6/7) = – 7/6
प्राप्त होता है। -7/6 को के रूप में लिखा जाता है

आगे की गणना से
6 (17y – 22) = – 7 (17x + 1)
गुणा
102y – 132 = – 119x – 7
हम प्राप्त करते हैं
1119x + 102y = 125
इसलिए, व्यक्ति को जिस पथ का अनुसरण करना चाहिए वह 119x + 102y = 125 है।