NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 10 सरल रेखाएँ (Straight Lines) प्रश्नावली 10.3

June 16, 2022

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 10 सरल रेखाएँ (Straight Lines) प्रश्नावली 10.3

Textbook	NCERT
class	Class – 11th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 10
Chapter Name	सरल रेखाएँ
grade	Class 11th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	last doubt

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 10 सरल रेखाएँ (Straight Lines) प्रश्नावली 10.3

?Chapter – 10?

✍सरल रेखाएँ✍

?प्रश्नावली 10.3?

1. निम्नलिखित समीकरणों को ढाल-अंत,खंड रु में रूपांतरित कीजिए और उनके ढाल तथा y -अंत,खंड ज्ञात कीजिए।
(i) x + 7y = 0

(ii) 6x + 3y – 5 = 0

(iii) y = 0

?‍♂️हल – (i) x + 7y = 0
दिया गया है –
समीकरण x + 7y = 0
ढाल है – अवरोधन रूप ‘y = mx + c’ के रूप में दर्शाया गया है, जहाँ m ढलान है और c y है अंतःखंड
इसलिए, उपरोक्त समीकरण को
y = -1/7x + 0
है। उपरोक्त समीकरण y = mx + c के रूप में है, जहाँ m = -1/7 और c = 0 है।

(ii) 6x + 3y – 5 = 0
दिया
गया है – समीकरण 6x + 3y – 5 = 0
है ढलान – अवरोधन रूप ‘y = mx + c’ के रूप में दर्शाया गया है, जहाँ m ढलान है और c y अवरोधन है
अतः, उपरोक्त समीकरण को
3y = -6x + 5
y = -6/3x + 5/3
= -2x + 5/3 के रूप में व्यक्त किया जा सकता
है। उपरोक्त समीकरण y = mx + c के रूप का है, जहाँ m = – 2 और सी = 5/3।

(iii) y = 0
दिया
गया है – समीकरण y = 0
ढलान है – अवरोधन रूप ‘y = mx + c’ द्वारा दिया गया है, जहाँ m ढलान है और c y अवरोधन
y = 0 × x + 0
उपरोक्त समीकरण y = mx + c के रूप का है, जहाँ m = 0 और c = 0 है।

2.निम्नलिखित समीकरणों को अंत,खंडो रूप में रूपांतरित कीजी और अक्षो पर इनके द्वारे काटे गए अंक,खंड ज्ञात कीजिए।

(i) 3x + 2y – 12 = 0

(ii) 4x – 3y = 6

(iii) 3y + 2 = 0

?‍♂️हल – (i) 3x + 2y – 12 = 0
दिया
गया – समीकरण 3x + 2y – 12 = 0 है
। अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण x/a + y/b = 1 द्वारा दिया जाता है, जहां ‘a’ और ‘बी’ क्रमशः x-अक्ष और y-अक्ष पर अंतःखंड हैं।
तो, 3x + 2y = 12
अब हम दोनों पक्षों को 12 से विभाजित करते हैं, हमें
3x/12 + 2y/12 = 12/12
x/4 + y/6 = 1
मिलता है। उपरोक्त समीकरण x/a + के रूप का है। y/b = 1, जहाँ a = 4, b = 6
x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन 4 है
, y-अक्ष पर प्रतिच्छेद 6 है।

(ii) 4x – 3y = 6
दिया
गया है – समीकरण 4x – 3y = 6
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण x/a + y/b = 1 द्वारा दिया गया है, जहां ‘a’ और ‘b’ x अक्ष पर अंतःखंड हैं। और y – अक्ष क्रमशः।
तो, 4x – 3y = 6
अब हम दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करते हैं, हमें
4x/6 – 3y/6 = 6/6
2x/3 – y/2 = 1
x/(3/2) + y/(- 2) = 1
∴ उपरोक्त समीकरण x/a + y/b = 1 के रूप का है, जहां a = 3/2, b = -2
x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन 3/2
है y-अक्ष पर प्रतिच्छेद -2 है

(iii) 3y + 2 = 0
दिया गया है –
समीकरण 3y + 2 = 0
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण x/a + y/b = 1 द्वारा दिया गया है, जहां ‘a’ और ‘b’ x अक्ष पर अंतःखंड हैं। और y – अक्ष क्रमशः।
तो, 3y = -2
अब, हम दोनों पक्षों को -2 से विभाजित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं
3y/-2 = -2/-2
3y/-2 = 1
y/(-2/3) = 1
उपरोक्त समीकरण है x/a + y/b = 1 के रूप में, जहाँ a = 0, b = -2/3
x-अक्ष पर प्रतिच्छेद 0 है ,
y-अक्ष पर प्रतिच्छेद -2/3 है

3. निम्नलिखित समीकरण को लंब रूप में रूपांतरित कीजिए। उनकी मूल बिंदु से लंबिक दूरियां ज्ञात कीजिए।

(i) x – 3y + 8 = 0

(ii) – 2 = 0

(iii) x – y = 4

?‍♂️हल – (i) x – 3y + 8 = 0–
समीकरण x – √3y + 8 = 0
सामान्य रूप में रेखा का समीकरण x cos + y sin θ = p द्वारा दिया जाता है जहाँ ‘θ ‘ लंब और धनात्मक x अक्ष के बीच का कोण है और ‘p’ मूल बिंदु से लंबवत दूरी है।
तो अब, x – √3y + 8 = 0
x – √3y = -8
दोनों पक्षों को √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2
x/2 -3y/2 = -8/2
(-1/2)x + √3/2y = 4
यह इस प्रकार है: x cos 120o + y sin 120o = 4
उपरोक्त समीकरण x cos के रूप का है + y sin θ = p, जहाँ θ = 120° और p = 4.
मूल बिन्दु से रेखा की लम्बवत दूरी = 4
लम्ब और धनात्मक x-अक्ष के बीच का कोण = 120°

(ii) y – 2 = 0
दिया
गया है – समीकरण y – 2 = 0
सामान्य रूप में रेखा का समीकरण x cos + y sin θ = p द्वारा दिया गया है जहां ‘θ’ लंबवत और सकारात्मक x अक्ष के बीच का कोण है और ‘p’ मूल बिन्दु से लंबवत दूरी है।
तो अब, 0 × x + 1 × y = 2
दोनों पक्षों को √(0 ² + 1 ² ) = √1 = 1
0 (x) + 1 (y) = 2 से विभाजित
करें यह इस प्रकार है: x cos 90o + y sin 90o = 2
उपरोक्त समीकरण x cos + y sin θ = p के रूप का है, जहाँ = 90° और p = 2.
मूल से रेखा की लम्बवत दूरी = 2
लंबवत और धनात्मक x-अक्ष के बीच का कोण = 90°

(iii) x – y = 4
दिया
गया है – समीकरण x – y + 4 = 0
सामान्य रूप में रेखा का समीकरण x cos + y sin θ = p द्वारा दिया गया है जहां ‘θ’ लंबवत और सकारात्मक x के बीच का कोण है अक्ष और ‘p’ मूल बिन्दु से लंबवत दूरी है।
तो अब, x – y = 4
दोनों पक्षों को √(1 ² + 1 ² ) = (1+1) = √2
x/√2 – y/√2 = 4/√2
(1/√2 ) से विभाजित करें। )x + (-1/√2)y = 2√2
यह इस रूप में है: x cos 315o + y sin 315o = 2√2
∴ उपरोक्त समीकरण x cos + y sin θ = p के रूप का है, जहां = 315° और p = 2√2।
मूल बिंदु से रेखा की लंबवत दूरी = 2√2
लंबवत और धनात्मक x-अक्ष के बीच का कोण = 315°

4.बिंदु $(- 1, 1)$ की रेखा $12 (x + 6) = 5 (y - 2)$ से दुरी ज्ञात कीजिए।।

?‍♂️हल – दिया गया –
रेखा का समीकरण 12(x + 6) = 5(y – 2) है।
12x + 72 = 5y – 10
12x – 5y + 82 = 0 … (1)
अब, समीकरण (1) की तुलना रेखा Ax + By + C = 0 के सामान्य समीकरण से करें, जहाँ A = 12, B = -5, और C = 82₁, y₁
से एक रेखा Ax + By + C = 0 की लंबवत दूरी (d)द्वारा दी गई है

दूरी 5 यूनिट है।

5. x -अक्ष पर बिन्दुओ को ज्ञात कीजिए जिनकी रेखा $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$ से दूरियाँ 4 इकाई है।

?‍♂️हल – दिया हुआ –
रेखा का समीकरण x/3 + y/4 = 1
4x + 3y = 12
4x + 3y – 12 = 0…. (1)
अब, समीकरण (1) की तुलना लाइन एक्स + बाय + सी = 0 के सामान्य समीकरण के साथ करें, जहाँ ए = 4, बी = 3, और सी = -12
(a, 0) x पर बिंदु हो- अक्ष, जिसकी दी गई रेखा से दूरी 4 इकाई है। अतः, एक बिंदु (x₁ , y₁)
से एक रेखा Ax + By + C = 0 की लंबवत दूरी (d) निम्नद्वारा दी गई है

|4a – 12| = 4 × 5
± (4a – 12) = 20
4a – 12 = 20 या – (4a – 12) = 20
4a = 20 + 12 या 4a = -20 + 12
a = 32/4 या a = -8/4
a = 8 या a = -2
x-अक्ष पर आवश्यक बिंदु (-2, 0) और (8, 0) हैं।

6. समांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए –

(i) 15x + 8y – 34 = 0 और 15x + 8y + 31 = 0

(ii) l (x + y) + p = 0 और l (x + y) – r = 0

?‍♂️हल – (i) 15x + 8y – 34 = 0 और 15x + 8y + 31 = 0

दिया
गया है – समानांतर रेखाएँ 15x + 8y – 34 = 0 और 15x + 8y + 31 = 0 हैं।
सूत्र का उपयोग करके, समानांतर रेखाओं Ax + By + C₁ = 0 और Ax + By + C₂
के बीच की दूरी (d) = 0 द्वारा दिया गया है

समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी 65/17 है
(ii) l(x + y) + p = 0 और l (x + y) – r = 0

दिया
गया है – समांतर रेखाएँ हैं l (x + y) + p = 0 और l (x + y) – r = 0.
lx + ly + p = 0 और lx + ly – r = 0
सूत्र का उपयोग करके,
दूरी (डी) समानांतर रेखाओं के बीच Ax + By + C₁ = 0 और Ax + By + C₂ = 0 द्वारा दिया गया है

∴ समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी है |p+r|/l √ 2

7. रेखा $3 x - 4 y + 2 = 0$ के समांतर और बिंदु $(- 2, 3)$ से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ।

?‍♂️हल – दिया
है – रेखा 3x – 4y + 2 = 0 है
तो, y = 3x/4 + 2/4
= 3x/4 + ½
जो y = mx + c के रूप में है, जहां m ढलान है दी गई लाइन का।
दी गई रेखा का ढाल 3/4 है
। हम जानते हैं कि समांतर रेखा का ढाल समान होता है।
दूसरी रेखा का ढलान = m = 3/4₁, y₁)
से गुजरने वाली रेखा का समीकरण
y – y1 = m (x – x₁)
ढलान वाली रेखा का समीकरण 3/4 और (-2, 3) से गुजरना
y – 3 = (x – (-2))
4y – 3 × 4 = 3x + 3 × 2
3x – 4y = 18
है। समीकरण 3x – 4y = 18 है

8. रेखा $x - 7 + 5 = 0$ पर लंब और x -अंत,खंड 3 वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – दिया
रेखा का समीकरण x – 7y + 5 = 0 है
तो, y = 1/7x + 5/7 [जो कि y = mx + c के रूप का है, जहाँ m दिए गए का ढलान है रेखा।]
दी गई रेखा का ढलान 1/7 है
ढलान वाली रेखा के लंबवत रेखा का ढलान m -1/m
है 1/7 की ढलान वाली रेखा के लंबवत रेखा का ढलान -1/(1/ 7) = -7
अतः, ढलान -7 और x अंतःखंड 3 वाली रेखा का समीकरण y = m(x – d)
y = -7 (x – 3)
y = -7x + 21
7x + y = 21
∴ समीकरण 7x + y = 21 . है

9. रेखाओं √3x + y = 1 और x + √3y = 1 के बीच के कोण ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – दिया गया –
रेखाएँ 3x + y = 1 और x + √3y = 1 हैं
तो, y = -√3x + 1 … (1) और
y = -1/√3x + 1/√3 … . (2)
रेखा (1) का ढलान m1 = -√3 है, जबकि रेखा (2) का ढलान m₂ = -1/√3
है मान लीजिए दो रेखाओं के बीच का कोण है
तो,

θ = 30°
दी गई रेखाओं के बीच का कोण या तो 30° या 180°- 30° = 150° . होता है

10. बिन्दुओ $(h, 3)$ और $(4, 1)$ से जाने वाली रेखा, $7 x - 9 y - 19 = 0$ को समकोण पर प्रतिच्छेद करती है। h का मान ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – माना (h, 3) और (4, 1) से गुजरने वाली रेखा का ढलान m1 हो
तो, m1 = (1-3)/(4-h) = -2/(4-h)
मान लीजिए कि रेखा 7x – 9y – 19 = 0 का ढलान m₂
7x – 9y – 19 = 0
तो, y = 7/9x – 19/9
m₂= 7/9
क्योंकि दी गई रेखाएं लंबवत हैं
m₁× m₂= -1
-2/(4-h) × 7/9 = -1
-14/(36-9h) = -1
-14 = -1 × (36 – 9h)
36 – 9h = 14
9h = 36 – 14
h = 22/9
h का मान 22/9 . है

11. सिद्ध कीजिए कि बिंदु (x₁ , y₁) से जाने वाली और रेखा Ax + By + C = 0 के समांतर रेखा का समीकरण A (x – x₁) + B (y – y₁) = 0 है।

?‍♂️हल – मान लीजिए रेखा Ax + By + C = 0 का ढलान m
Ax + By + C = 0 है
तो, y = -A/Bx – C/B
m = -A/Bसमीकरण
का उपयोग करके₁, y₁
से गुजरने वाली रेखा काऔर ढलान m = -A/B है
y – y₁ = m (x – x₁)
y – y₁= -A/B (x – x₁)
B (y – y₁) = -A (x – x₁)
∴ A(x – x₁) + B(y – y₁) = 0
तो, बिंदु से जाने वाली रेखा (x₁, y₁) और इसके समानांतर रेखा Ax + By + C = 0 A है (x – x₁) + बी (y – y₁) = 0
इसलिए सिद्ध हुआ।

12. बिंदु $(2, 3)$ से जाने वाली दो रेखाएँ परस्पर $60^{\circ}$ के कोण पर प्रतिच्छेद करती है । यदि एक रेखा की ढाल 2 है तो दूसरी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – दिया गया है: m₁ = 2
मान लीजिए कि पहली पंक्ति का ढाल m1
है और दूसरी रेखा का ढाल m2 है।
दोनों रेखाओं के बीच का कोण 60° है।
इसलिए,

13. बन्दुओ $(3, 4)$ और $(- 1, 2)$ को मिलाने वाली रेखाखण्ड के लंब समद्विभाजक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – दिया गया –
एक रेखाखंड का दायां समद्विभाजक रेखाखंड को 90° पर समद्विभाजित करता है।
रेखाखंड AB के अंत-बिंदु A (3, 4) और B (-1, 2) के रूप में दिए गए हैं।
माना AB का मध्य-बिंदु (x, y)
x = (3-1)/2= 2/2 = 1
y = (4+2)/2 = 6/2 = 3
(x, y) = (1 , 3)
माना रेखा AB का ढलान m₁
m₁= (2 – 4)/(-1 – 3)
= -2/(-4)
= 1/2
हो और AB पर लंबवत रेखा का ढलान हो m₂
m₂= -1/(1/2)
= -2
(1, 3) से गुजरने वाली और -2 की ढलान वाली रेखा का समीकरण है
(y – 3) = -2 (x – 1)
y – 3 = – 2x + 2
2x + y = 5
रेखा का अभीष्ट समीकरण 2x + y = 5 . है

14. बिंदु $(- 1, 3)$ से रेखा $3 x - 4 y - 16 = 0$ पर डाले गए लंबपाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – आइए (-1, 3) से रेखा 3x – 4y – 16 = 0 तक के लंब के पाद के निर्देशांकों पर विचार करें (a, b)
अतः, मिलाने वाली रेखा का ढलान मान लें (-1, 3) और (a, b) m₁
m₁= (b-3)/(a+1)
हो और रेखा 3x – 4y – 16 = 0 का ढलान m₂
y = 3/4x – 4
m₂= 3/4
चूंकि ये दो रेखाएँ लंबवत हैं, m₁ × m₂ = -1
(b-3)/(a+1) × (3/4) = -1
(3b-9)/ (4a+4) = -1
3b – 9 = -4a – 4
4a + 3b = 5 …….(1)
बिंदु (a, b) रेखा 3x – 4y = 16
3a – 4b = 16 …… पर स्थित है। .(2)
समीकरण (1) और (2) को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं
a = 68/25 और b = -49/25
लंब के पाद के निर्देशांक हैं (68/25, -49/25)

15. मूल बिन्दु से रेखा y = mx + c पर डाला गया लंब रेखा से बिंदु (-1, 2) पर मिलता है।m और c के मान ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – दिया
मूल बिन्दु से लम्ब दी गई रेखा को (-1, 2) पर मिलता है।
रेखा का समीकरण है y = mx + c
बिंदुओं (0, 0) और (-1, 2) को मिलाने वाली रेखा दी गई रेखा पर लंबवत होती है।
अतः, (0, 0) और (-1, 2)=
2/(-1) = -2
m है।
m × (-2) = -1
m = 1/2
चूंकि, बिंदु (-1, 2) दी गई रेखा पर स्थित है,
y = mx + c
2 = 1/2 × (-1) + c
c = 2 + 1/2 = 5/2
m और c के मान क्रमशः 1/2 और 5/2 हैं।

16.यदि p और q क्रमश: मूल बिंदु से रेखाओ $x \cos θ - y \sin θ = k \cos 2 θ$ और $x \sec θ + y \cos e c θ = k,$ पर लंब की लम्बाईयाँ है तो सिद्ध कीजिए की $p^{2} + 4 q^{2} = k^{2} .$

?‍♂️हल – दिया गया –
दी गई रेखाओं के समीकरण हैं
x cos – y sin θ = k cos 2θ …………………… (1)
x sec + y cosec θ = k ……………… … (2)₁, y₁
से एक रेखा Ax + By + C = 0 की लंबवत दूरी (d)द्वारा दी गई है

q = k cos sin θ
दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर, हमें
2q = 2k cos θ sin θ = k × 2sin θ cos 2q
= k sin 2θ
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें
4q² = k² sin²2θ …………………(4)
अब जोड़ें (3) और (4) हमें
p² + 4q² = k² cos² 2θ + k² sin² 2θ
p² + 4q² = k² (cos² 2θ + sin² 2θ) [चूंकि, cos² 2θ + sin² 2θ = 1]
∴ p² + 4q² = k²
इसलिए सिद्ध हुआ।

17. शीर्ष A (2, 3), B (4, -1) और C (1, 2) वाले त्रिभुज ABC में शीर्ष A से उसको सम्मुख भुजा पर लंब डाला गया है । लंब की लम्बाई तथा समीकरण ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल –

मान लीजिए AD शीर्ष A से त्रिभुज ABC की ऊंचाई है।
तो, AD BC पर लंबवत है
दिया गया है: शीर्ष
A (2, 3), B (4, -1) और C (1, 2)
माना रेखा BC का ढलान = m ₁
m ₁ = (- 1 – 2)/(4 – 1)
m ₁ = -1
माना रेखा AD का ढलान m ₂
AD, BC पर लंबवत है
m1 × m ₂ = -1
-1 × m ₂ = -1
m ₂ = 1
बिंदु (2, 3) से गुजरने वाली और 1 की ढलान वाली रेखा का समीकरण है
y – 3 = 1 × (x – 2)
y – 3 = x – 2
y – x = 1
ऊंचाई का समीकरण शीर्ष A = y – x = 1 . से
AD की लंबाई = A(2, 3) से BC तक लंब की लंबाई BC
का समीकरण
y + 1 = -1 × (x – 4)
y + 1 = -x + 4
x + y – 3 = 0 …… ……………(1) एक बिंदु (x₁, y₁)
) से एक रेखा एक्स + बाय + सी = 0 की लंबवत दूरी (डी) द्वारा दी गई है

अब समीकरण (1) की तुलना रेखा के सामान्य समीकरण से करें अर्थात, Ax + By + C = 0, हमें प्राप्त होता है

AD की लंबाई =

[जहां, A = 1, B = 1 और C = -3] शीर्ष ए
से ऊंचाई की समीकरण और लंबाई क्रमशः
y – x = 1 और
√2 इकाइयां हैं।

18. यदि p मूल बिंदु से उस रेखा पर डाले लंब की लम्बाई हो जिस पर अक्षो पर कटे अंत,खंड a और b हो, तो दिखाइए कि 1/p² = 1/a² + 1/b²

?‍♂️हल – एक रेखा का समीकरण जिसके अक्षों पर अंतः खंड a और b हैं x/a + y/b = 1
bx + ay = ab
bx + ay – ab = 0 ……………..(1 ) (x₁, y₁)
से एक रेखा Ax + By + C = 0 की लंबवत दूरी (d)द्वारा दी गई है

अब दोनों तरफ वर्गाकार हो जाता है