NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 10 सरल रेखाएँ (Straight Lines) प्रश्नावली 10.2

June 16, 2022

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 10 सरल रेखाएँ (Straight Lines) प्रश्नावली 10.2

Textbook	NCERT
class	Class – 11th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 10
Chapter Name	सरल रेखाएँ
grade	Class 11th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	last doubt

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 10 सरल रेखाएँ (Straight Lines) प्रश्नावली 10.2

?Chapter – 10?

✍सरल रेखाएँ✍

?प्रश्नावली 10.2?

1. x और y -अक्षो के समीकरण लिखिए।

?‍♂️हल – x-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक 0 है। x-अक्ष का
समीकरण y = 0
है। y-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक 0 है। y-अक्ष का
समीकरण वाई = 0 है।

2. ढाल $\frac{1}{2}$ और बिंदु $(- 4, 3)$ से जाने वाली

?‍♂️हल – दिया गया –
बिंदु (-4, 3) और ढलान, m = 1/2₀, y₀)
के माध्यम से ढलान m वाली रेखा पर स्थित है।, यदि और केवल यदि, इसके निर्देशांक समीकरण y – y₀ = m (x – x₀)
, तो, y – 3 = 1/2 (x – (-4))
y – 3 = 1/2 (x + 4)
2(y – 3) = x + 4
2y – 6 = x + 4
x + 4 – (2y – 6) = 0
x + 4 – 2y + 6 = 0
x – 2y + 10 = 0
का समीकरण रेखा x – 2y + 10 = 0 है।

3. रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए बिंदु $(0, 0)$ से जाने वाली और ढाल m वाली।

?‍♂️हल – दिया गया –
बिंदु (0, 0) और ढलान, m = m₀, y₀
के माध्यम से ढलान m वाली रेखा पर स्थित है, यदि और केवल यदि इसके निर्देशांक समीकरण y – y₀ = m (x – x₀)
तो, y – 0 = m (x – 0)
y = mx
y – mx = 0
रेखा का समीकरण y – mx है = 0.

4. बिंदु $(2, 2 \sqrt{3})$ से जंव वाली और x -अक्ष से $75^{\circ}$ के कोण पर झुकी हुई।

?‍♂️हल – दिया गया: बिंदु (2, 2√3) और θ = 75°
रेखा का समीकरण: (y – y₁) = m (x – x₁)
जहाँ, m = रेखा का ढलान = tan θ और (x₁, y₁) वे बिंदु हैं जिनसे होकर रेखा गुजरती है
m = tan 75°
75° = 45° + 30°
सूत्र लागू करने पर:

हम जानते हैं कि बिंदु (x, y) निश्चित बिंदु (x₁, y₁) के माध्यम से ढलान m वाली रेखा पर स्थित है , यदि और केवल यदि, इसके निर्देशांक समीकरण y – y₁ = m (x – x₁) को संतुष्ट करते हैं।
फिर, y – 2√3 = (2 + √3) (x – 2)
y – 2√3 = 2 x – 4 + √3 x – 2 √3
y = 2 x – 4 + √3 x
(2 + 3) x – y – 4 = 0
रेखा का समीकरण (2 + 3) x – y – 4 = 0 है।

5. मूल बिंदु के ऊपर y -अक्ष को 2 इकाई कि दुरी पर प्रतिछेद करने तथा ढाल -2 वाली

?‍♂️हल – दिया गया –
ढलान, m = -2
हम जानते हैं कि यदि ढलान m वाली रेखा L, x-अवरोधन d बनाती है, तो L का समीकरण
y = m(x – d) होता है।
यदि दूरी मूल के बाईं ओर 3 इकाई है तो d = -3
तो, y = (-2) (x – (-3))
y = (-2) (x + 3)
y = -2x – 6
2x + y + 6 = 0
रेखा का समीकरण 2x + y + 6 = 0 है।

6. मूल बिंदु से ऊपर y -अक्ष को 2 इकाई कि दुरी पर प्रतिछेद करंव वाली और x -कि धन दिशा के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाने वाली

?‍♂️हल – दिया गया है: θ = 30°
हम जानते हैं कि ढलान, m = tan θ
m = tan30° = (1/√3)
हम जानते हैं कि ढलान m और y वाली रेखा पर बिंदु (x, y)- अंतःखंड c रेखा पर स्थित है यदि और केवल यदि y = mx + c है।
यदि दूरी मूल बिंदु से 2 इकाई ऊपर है, तो c = +2
तो, y = (1/√3)x + 2
y = (x + 2√3) / √3 √3
y = x + 2√3
x – √ 3 y + 2√3 = 0
∴ रेखा का समीकरण x – √3 y + 2√3 = 0 है।

7. बिन्दुओ $(- 1, 1)$ और $(2, - 4)$ से जाते हुए रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – दिया हुआ –
अंक (-1, 1) और (2, -4)
हम जानते हैं कि बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण किसके द्वारा दिया जाता है

y – 1 = -5/3 (x + 1)
3 (y – 1) = (-5) (x + 1)
3y – 3 = -5x – 5
3y – 3 + 5x + 5 = 0
5x + 3y + 2 = 0
रेखा का समीकरण 5x + 3y + 2 = 0 है।

8. उन रेखा का समीकरण ज्ञात कीजै जिसकी मूल बिंदु से लंबिक दुरी 5 इकाई और लंब, धन x -अक्ष से $30^{\circ}$ का कोण बनाती है।

?‍♂️हल – दिया गया है: p = 5 और ω = 30°
हम जानते हैं कि मूल बिंदु और कोण ω से सामान्य दूरी p वाली रेखा का समीकरण x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ सामान्य बनाता है, x cos द्वारा दिया जाता है + y पाप ω = पी।
समीकरण में मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
x cos30° + y sin30° = 5
x(√3/2) + y( 1/2 ) = 5
3 x + y = 5(2) = 10
3 x + y – 10 = 0
रेखा का समीकरण 3 x + y – 10 = 0 है।

9. $Δ P Q R$ के शीर्ष $P (2, 1), Q (- 2, 3)$ और $R (4, 5)$ है शीर्ष R से जाने वाली मध्यिका का समीकरण ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – दिया गया –
ΔPQR के शीर्ष अर्थात P (2, 1), Q (-2, 3) और R (4, 5)
मान लीजिए कि RL शीर्ष R की माध्यिका है।
इसलिए, L, PQ का मध्यबिंदु है।
हम जानते हैं कि मध्यबिंदु सूत्र द्वारा दिया जाता है

हम जानते हैं कि बिंदुओं (x₁, y₁) और (x ₂ , y ₂ ) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण किसके द्वारा दिया जाता है

y – 5 = -3/-4 (x-4)
(-4) (y – 5) = (-3) (x – 4)
-4y + 20 = -3x + 12
-4y + 20 + 3x – 12 = 0
3x – 4y + 8 = 0
शीर्ष R से होकर जाने वाली माध्यिका का समीकरण 3x – 4y + 8 = 0 है।

10. $(- 3, 5)$ से होकर जंव वाली और बिंदु $(2, 5)$ और $(- 3, 6)$ से जाने वाली रेखा पर लंब रेकः का समीकरण ज्ञात कीजिए

?‍♂️हल – दिया गया –
अंक (2, 5) और (-3, 6) हैं।
हम जानते हैं कि ढलान, m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)
= (6 – 5)/(-3 – 2)
= 1/-5 = -1/5
हम जानते हैं कि दो गैर -ऊर्ध्वाधर रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत होती हैं यदि और केवल तभी जब उनकी ढलान एक-दूसरे के ऋणात्मक व्युत्क्रम हों।
तब, m = (-1/m)
= -1/(-1/5)
= 5₀, y₀)
के माध्यम से ढलान m वाली रेखा पर स्थित है।, यदि और केवल यदि, इसके निर्देशांक समीकरण y – y₀ = m (x – x₀)
, तो, y – 5 = 5(x – (-3))
y – 5 = 5x + 15
5x + 15 – y + 5 = 0
5x – y + 20 = 0
रेखा का समीकरण 5x – y + 20 = 0 है

11. एक रेखा $(1, 0)$ तथा $(2, 3)$ बिन्दुओ को मिलाने वाली रेखा खंड पर लंब है तथा उसको $1 : n$ के अनुपात में विभाजित करती यह। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – हम जानते हैं कि बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड कोआंतरिक रूप से m: n के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक हैं

हम जानते हैं कि ढलान, m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)
= (3 – 0)/(2 – 1)
= 3/1
= 3
हम जानते हैं कि दो गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाएं लंबवत हैं एक दूसरे के लिए अगर और केवल अगर उनके ढलान एक दूसरे के नकारात्मक पारस्परिक हैं।
फिर, m = (-1/m) = -1/3 हम जानते हैं कि बिंदु (x, y) निश्चित बिंदु (x ₀ , y ₀) के माध्यम से ढलान m वाली रेखा पर स्थित है , यदि और केवल यदि, इसका निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं y – y ₀ = m (x – x ₀ )
यहाँ, बिंदु है

3((1 + n) y – 3) = (-(1 + n) x + 2 + n)
3(1 + n) y – 9 = – (1 + n) x + 2 + n
(1 + n ) ) x + 3(1 + n) y – n – 9 – 2 = 0
(1 + n) x + 3(1 + n) y – n – 11 = 0
रेखा का समीकरण है (1 + n) x + 3(1 + n) y – n – 11 = 0.

12. एक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशकों से समान अंत: खंड काटती है और बिंदु $(2, 3)$ से जाती है

?‍♂️हल – दिया गया है: रेखा निर्देशांक अक्षों पर समान अंतःखंडों को काटती है अर्थात a = b।
हम जानते हैं कि रेखा का समीकरण क्रमशः x और y-अक्ष पर a और b को प्रतिच्छेदित करता है, जो कि
x/a + y/b = 1
है तो, x/a + y/a = 1
x + y = a… ( 1)
दिया गया है: बिंदु (2, 3)
2 + 3 = a
a = 5
(1) में ‘a’ का स्थानापन्न मान, हमें
x + y = 5
x + y – 5 = 0
है। रेखा का समीकरण है एक्स + वाई – 5 = 0।

13. बिंदु $(2, 2)$ से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके द्वारा अक्षो से कटे अंत,खंडो का योग 9 है।

?‍♂️हल – हम जानते हैं कि x और y-अक्ष पर अंतःखंड a और b बनाने वाली रेखा का समीकरण क्रमशः x/a + y/b = 1 है। … (1)
दिया गया है: अंतःखंडों का योग = 9
a + b = 9
b = 9 – a
अब, उपरोक्त समीकरण में b का स्थानापन्न मान, हमें
x/a + y/(9 – a) = 1
होता है: रेखा बिंदु (2, 2) से होकर गुजरती है,
अतः, 2/a + 2/(9 – a) = 1
[2(9 – a) + 2a] / a(9 – a) = 1
[18 – 2a + 2a] / a(9 – a) = 1
18/a(9 – a) = 1
18 = a (9 – a)
18 = 9a – a²
a² – 9a + 18 = 0
गुणनखंड करने पर, हमें²
है a² – 3a – 6a + 18 = 0
a (a – 3) – 6 (a – 3) = 0
(a – 3) (a – 6) = 0
a = 3 या a = 6
आइए हम (1),
स्थिति 1 (a = 3) में स्थानापन्न करें:
फिर b = 9 – 3 = 6
x/3 + y/6 = 1
2x + y = 6
2x + y – 6 = 0
स्थिति 2 (a = 6):
तब b = 9 – 6 = 3
x/6 + y/3 = 1
x + 2y = 6
x + 2y – 6 = 0
रेखा का समीकरण 2x + y है – 6 = 0 या x + 2y – 6 = 0।

14. बिंदु $(0, 2)$ से जाने वाली और धन x -अक्ष से $\frac{2 π}{3}$ के कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। इसके समान्तर और y -अक्ष को मूल बिंदु से 2 इकाई निचे कि दुरी पर प्रतिच्छेद करती हुई रेखा का समीकरण भी ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – दिया गया –
बिंदु (0, 2) और θ = 2π/3
हम जानते हैं कि m = tan θ
m = tan (2π/3) = -√3
हम जानते हैं कि बिंदु (x, y) पर स्थित है₀, y₀के माध्यम से ढलान m वाली रेखा, यदि और केवल यदि, इसके निर्देशांक समीकरण y – y₀ = m (x – x₀)
y – 2 = -√3 (x – 0)
y – 2 = -√3 x √3
x + y – 2 = 0
दिया गया है, उपरोक्त प्राप्त समीकरण के समानांतर रेखा का समीकरण मूल बिंदु से 2 इकाई की दूरी पर y-अक्ष को पार करता है।
तो, बिंदु = (0, -2) और m = -√3
बिंदु ढलान से समीकरण बनाते हैं,
y – (-2) = -√3 (x – 0)
y + 2 = -√3 x √3
x + वाई + 2 = 0
रेखा का समीकरण √3 x + y – 2 = 0 है और इसके समांतर रेखा 3 x + y + 2 = 0 है।

15. मूल बिंदु से किसी रेखा पर डाला गया लंब रेखा से बिंदु $(- 2, 9)$ पर मिलता है, रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – दिया गया –
अंक मूल हैं (0, 0) और (-2, 9)।
हम जानते हैं कि ढलान, m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)
= (9 – 0)/(-2-0)
= -9/2
हम जानते हैं कि दो गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाएं लंबवत हैं एक दूसरे के लिए अगर और केवल अगर उनके ढलान एक दूसरे के नकारात्मक पारस्परिक हैं।
m = (-1/m) = -1/(-9/2) = 2/9₀, y₀)
के माध्यम से ढलान m वाली रेखा पर स्थित है।, यदि और केवल यदि, इसके निर्देशांक समीकरण y – y₀ = m (x – x₀)
y – 9 = (2/9) (x – (-2))
9 (y – 9) = 2(x)+ 2)
9y – 81 = 2x + 4
2x + 4 – 9y + 81 = 0
2x – 9y + 85 = 0
रेखा का समीकरण 2x – 9y + 85 = 0 है।

16. ताँबे कि चढ़ कि लम्बाई L (सेमी में) सेल्सियस ताप C का रैखिक फलन है । एक प्रयोग में यदि $L = 124 \cdot 942$ जब $C = 20$ और $L = 125 \cdot 134$ जब $C = 110$ हो, तो L को C के पदों में व्यक्त कीजिए

?‍♂️हल – मान लीजिए ‘L’ X-अक्ष पर और ‘C’ Y-अक्ष पर है, हमारे पास XY-तल में दो बिंदु (124.942, 20) और (125.134, 110) हैं। हम जानते हैं कि बिंदुओं (x₁, y₁)और (x₂, y₂)
से गुजरने वाली रेखा का समीकरण किसकेद्वारा दिया जाता है

17. किसी दूध भंडार का स्वामी प्रति सप्ताह 980 लीटर दूध 14 रु प्रति लीटर के भाव से और 1220 लीटर दूध 16 रु प्रति लीटर के भाव से बेच सकता है। विक्रय मूल्य तथा मांग के मध्य के समबन्ध को रैखिक मानते हुए ज्ञात कीजिए कि प्रति सप्ताह वह कितन दूध 17 रु प्रति लीटर के भाव से बेच सकता है

?‍♂️हल – बिक्री मूल्य और मांग के बीच संबंध को रैखिक मानते हुए।
आइए मान लें कि एक्स-अक्ष के साथ प्रति लीटर बिक्री मूल्य और वाई-अक्ष के साथ मांग, हमारे पास एक्सवाई-प्लेन में दो बिंदु (14, 980) और (16, 1220) हैं। _{हम जानते हैं कि बिंदुओं (x1, y1)}और (x₂, y₂)
से गुजरने वाली रेखा का समीकरण किसकेद्वारा दिया जाता है

y – 980 = 120 (x – 14)
y = 120 (x – 14) + 980
जब x = 17 रुपये प्रति लीटर,
y = 120 (17 – 14) + 980
y = 120 (3) + 980
y = 360 + 980 = 1340
मालिक 1340 लीटर साप्ताहिक रुपये में बेच सकता है। 17/लीटर।

18.अक्षो के बिच रेखाख़ण्ड का मध्य बिंदु P (a, b) है। दिखाइए कि रेखा का समीकरण x/a + y/b = 2 . है

?‍♂️हल – मान लीजिए AB एक रेखाखंड है जिसका मध्यबिंदु P (a, b) है।
माना A और B के निर्देशांक क्रमशः (0, y) और (x, 0) हैं।

a (y – 2b) = -bx
ay – 2ab = -bx
bx + ay = 2ab
दोनों पक्षों को ab से विभाजित करें, फिर

इसलिए साबित हुआ।

19. अक्षो के बिच रेखाखण्ड को बिंदु $R (h, k) 1 : 2$ के अनुपात में विभक्त करता है । रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।।

?‍♂️हल – मान लें कि AB एक ऐसा रेखाखंड है कि r (h, k) इसे 1: 2 के अनुपात में विभाजित करता है।
तो A और B के निर्देशांक (0, y) और (x, 0) होंगे। क्रमश।

हम जानते हैं कि रेखा खंड को विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को आंतरिक रूप से m: n के अनुपात में मिलाते हैं

h = 2x/3 और k = y/3
x = 3h/2 और y = 3k
∴ A = (0, 3k) और B = (3h/2, 0)
हम जानते हैं कि बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण (x₁, y₁) और (x₂, y₂) द्वारा दिया गया है

3h(y – 3k) = -6kx
3hy – 9hk = -6kx
6kx + 3hy = 9hk
आइए हम दोनों पक्षों को 9hk से विभाजित करें, हमें मिलता है,
2x/3h + y/3k = 1
रेखा का समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है 2x/3h + y/3k = 1

20. रेखा के समीकरण कि संकल्पना का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि तीन बिंदु $(3, 0), (- 2, - 2)$ और $(8, 2)$ सरीखा है।

?‍♂️हल – प्रश्न के अनुसार,
यदि हमें यह सिद्ध करना है कि दिए गए तीन बिंदु (3, 0), (-2, – 2) और (8, 2) संरेख हैं, तो हमें यह भी सिद्ध करना होगा कि बिंदुओं (3, 0) और (-2, – 2) से गुजरने वाली रेखा भी बिंदु (8, 2) से होकर गुजरती है।
सूत्र का उपयोग करके (x₁, y₁) और (x₂, y₂)
से गुजरने वाली रेखा का समीकरण किसकेद्वारा दिया जाता है

-5y = -2 (x – 3)
-5y = -2x + 6
2x – 5y = 6
यदि 2x – 5y = 6 (8, 2) से होकर गुजरता है, तो
2x – 5y = 2(8) – 5(2)
= 16 – 10
= 6
= RHS
बिंदुओं (3, 0) और (-2, – 2) से गुजरने वाली रेखा भी बिंदु (8, 2) से होकर गुजरती है।
इसलिए साबित हुआ। दिए गए तीन बिंदु संरेख हैं।