NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 10 सरल रेखाएँ (Straight Lines) प्रश्नावली 10.1

June 16, 2022

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 10 सरल रेखाएँ (Straight Lines) प्रश्नावली 10.1

Textbook	NCERT
class	Class – 11th
Subject	(गणित) Mathematics
Chapter	Chapter – 10
Chapter Name	सरल रेखाएँ
grade	Class 11th गणित Question & Answer
Medium	Hindi
Source	last doubt

NCERT Solutions Class 11th Maths Chapter – 10 सरल रेखाएँ (Straight Lines) प्रश्नावली 10.1

?Chapter – 10?

✍सरल रेखाएँ✍

?प्रश्नावली 10.1?

1. करतीय तल में एक चतुर्भुज खीचिए जिसके शीर्ष $(- 4, 5), (0, 7), (5, - 5)$ और $(- 4, - 2)$ है। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – मान लीजिए ABCD दिया गया चतुर्भुज है जिसके शीर्ष A (-4,5), B (0,7), C (5.-5) और D (-4,-2) हैं।
अब हम कार्तीय तल पर बिंदुओं को AB, BC, CD, AD को मिला कर आलेखित करते हैं जो हमें अभीष्ट चतुर्भुज देता है।

क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए विकर्ण AC
खींचिए तो, क्षेत्रफल (ABCD) = क्षेत्रफल (∆ABC) + क्षेत्रफल (∆ADC)
तो, शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल (x ₁ , y ₁ ), (x ₂ , y ₂ ) और ( x ₃ ,y ₃ )
ABC के हैं = ½ [x ₁ (y ₂ – y ₃ ) + x ₂ (y ₃ – y ₁ ) + x ₃ (y ₁ – y ₂ )]
= ½ [-4 ( 7 + 5) + 0 (-5 – 5) + 5 (5 – 7)] इकाई ²
= ½ [-4 (12) + 5 (-2)] इकाई ²
= ½ (58) इकाई ²
= 29 इकाई ²
ACD = ½ [x ₁ (y ₂ – y ₃ ) + x ₂ (y ₃ – y ₁ ) + x ₃ (y ₁ – y ₂ )]
= ½ [-4 (-5 + 2) + 5 के होते हैं। (-2 – 5) + (-4) (5 – (-5))] इकाई ²
= ½ [-4 (-3) + 5 (-7) – 4 (10)] इकाई ²
= ½ (-63 ) ) इकाई ²
= -63/2 इकाई ²
चूँकि क्षेत्रफल ऋणात्मक क्षेत्र नहीं हो सकता है ACD = 63/2 इकाई ²
क्षेत्रफल (ABCD) = 29 + 63/2
= 121/2 इकाई ²

2. 2a भुजा के समबाहु त्रिभुज का आधार y -अक्ष के अनुदिश एक प्रकार है कि आधार का मध्य बिंदु मूल बिंदु पर है । त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल –

आइए मान लें कि ABC दिया गया समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा 2a है।
जहाँ, AB = BC = AC = 2a
उपरोक्त आकृति में, यह मानकर कि आधार BC x अक्ष पर इस प्रकार स्थित है कि BC का मध्य-बिंदु मूल बिंदु पर है अर्थात BO = OC = a, जहाँ O मूल बिंदु है।
बिंदु C के निर्देशांक (0, a) हैं और B के निर्देशांक (0,-a) हैं
क्योंकि एक समबाहु के शीर्ष को उसकी विपरीत भुजा के मध्य-बिंदु से मिलाने वाली रेखा लंबवत होती है। पाइथागोरस प्रमेय (AC) ² = OA ² + OC ² (2a) ² = a ² + OC ² 4a ² – a ² = OC ²
लागू करने पर शीर्ष A, y-अक्ष पर स्थित है।

3a ² = OC ²
OC =√3a
बिंदु C के निर्देशांक = ± 3a, 0
दिए गए समबाहु त्रिभुज के शीर्ष (0, a), (0, a), (√3a, 0)
या ( 0, a), (0, -a) और (-√3a, 0)

3. $P (x_{1}, y_{1})$ और $Q (x_{2}, y_{2})$ के बिच किदूरि ज्ञात कीजिए जब (i ) PQ ,y -अक्ष के समान्तर है, (ii ) PQ ,x -अक्ष के समान्तर है।

?‍♂️हल – दिया गया है –
बिंदु P (x₁, y₁) और Q(x₂, y₂)
(i) जब PQ y अक्ष के समानांतर है तो x₁ = x₂
तो, P और Q के बीच की दूरी है के द्वारा दिया गया

= | y ₂ – y ₁ |

(ii) जब PQ x-अक्ष के समानांतर है तो y ₁ = y ₂
तो, P और Q के बीच की दूरी = द्वारा दी गई है

= |x ₂ – x ₁ |

4. x -अक्ष पर एक बिंदु ज्ञात कीजिए जो $(7, 6)$ और $(3, 4)$ बिन्दुओ से समान दुरी पर है।

?‍♂️हल – मान लीजिए (a, 0) x-अक्ष पर वह बिंदु है जो बिंदु (7, 6) और (3, 4) से समान दूरी पर है।
इसलिए,

अब, हम दोनों पक्षों पर वर्ग बनाते हैं,
a ² – 14a + 85 = a ² – 6a + 25
-8a = -60
a = 60/8
= 15/2
∴ आवश्यक बिंदु है (15/2, 0 )

5. रेखा कि ढाल ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु और $P (0, - 4)$ तथा $B (8, 0)$ बिन्दुओ को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य से जाती है।

?‍♂️हल – बिंदु P (0, – 4) और B (8, 0) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक हैं (0+8)/2, (-4+0)/ 2 = (4, -2) (x₁, y₁)और (x₂, y₂)
से गुजरने वाली रेखा गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा का ढलान ‘m’₂ – y₁) द्वारा दिया जाता है)/(x₂ – x₁) जहां, x x₁(0, 0) और (4, -2) से गुजरने वाली रेखा का ढलान (-2 0)/(4-0) = -1/ है 2अभीष्ट ढाल -1/2 है।

6. पाइथागोरस प्रमेय के प्रयोग बिना दिखलाइए कि बिंदु $(4, 4), (3, 5)$ और $(- 1, - 1)$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष है।

?‍♂️हल – दिए गए त्रिभुज के शीर्ष (4, 4), (3, 5) और (-1, -1) हैं। _{बिंदु (x 1}, y₁) और(x₂, y₂)
से गुजरने वाली रेखा का ढलान (m)m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁) जहाँ, x x₁अतः, रेखा AB (m₁) का ढलान = (5-4)/(3-4) = 1/-1 = -1रेखा BC का ढलान (m₂) = (-1-5)/(-1-3) = -6/-4 = 3/2₃का ढलान= (4+1)/(4+1) = 5/5 = 1यह देखा गया है कि, m₁.m

₃ = -1.1 = -1
इसलिए, रेखाएँ AB और CA एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
दिया गया त्रिभुज A (4, 4) पर
समकोण है और समकोण के शीर्ष (4, 4) हैं, ( 3, 5) और (-1, -1)

7. उस रेखा की प्रवणता ज्ञात कजिए जो y -अक्ष कि धन दिशा से वामावर्त मापा गया $30^{\circ}$ का कोण बनाती है ।

?‍♂️हल – हम जानते हैं कि, यदि कोई रेखा y-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ 30° का कोण बनाती है, तो घड़ी-विरोधी मापी जाती है, तो x-अक्ष की धनात्मक दिशा वाली रेखा द्वारा बनाया गया कोण विरोधी को मापता है -घड़ी के अनुसार 90° + 30° = 120°
दी गई रेखा का ढाल tan 120° = tan (180° – 60°)
= – tan 60°
= -√3 है

8.x का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिंदु $(x, - 1), (2, 1)$ और ( $4, 5)$ सरख है ।

?‍♂️हल – यदि बिंदु (x, – 1), (2, 1) और (4, 5) संरेख हैं, तो AB का ढाल = BC का ढाल
तब, (1+1)/(2-x) = (5-1)/(4-2)
2/(2-x) = 4/2
2/(2-x) = 2
2 = 2(2-x)
2 = 4 – 2x
2x = 4 – 2
2x = 2
x = 2/2
= 1
x का अभीष्ट मान 1 है।

9. दुरी सूत्र का प्रयोग किए बिना दिखलाइए कि बिंदु $(- 2, - 1), (4, 0) (3, 3)$ और $(- 3, 2)$ एक समान्तर चतुर्भज के शीर्ष है

?‍♂️हल –

मान लीजिए दिए गए बिंदु A (-2, -1), B (4, 0), C ( 3, 3) और D ( -3, 2)
हैं तो अब, AB का ढलान = (0+1)/( 4+2) = 1/6
सीडी का ढलान = (3-2)/(3+3) = 1/6
इसलिए, एबी का ढलान = सीडी का ढलान
एबी ∥ सीडी
अब,
बीसी का ढलान = (3 -0)/(3-4) = 3/-1 = -3
AD का ढलान = (2+1)/(-3+2) = 3/-1 = -3
इसलिए, BC का ढलान = का ढलान AD
BC AD
इस प्रकार सम्मुख भुजाओं का युग्म समांतर चतुर्भुज है, अतः
हम कह सकते हैं कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
अत: दिए गए शीर्ष, A (-2, -1), B (4, 0), C(3, 3) और D(-3, 2) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।

10.x -अक्ष और $(3, - 1)$ और $(4, - 2)$ बिन्दुओ को मिलाने वाली रेखा के बिच का कोण ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – बिंदुओं (3, -1) और (4, -2) को मिलाने वाली रेखा का ढलान
m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁) द्वारा दिया जाता है, जहां x x₁
मीटर = (-2 -(-1))/(4-3)
= (-2+1)/(4-3)
= -1/1
= -1
बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा के झुकाव का कोण ( 3, -1) और (4, -2) द्वारा दिया गया है
tan θ = -1
θ = (90° + 45°) = 135°
x-अक्ष और बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा के बीच का कोण (3, – 1) और (4, -2) 135° है।

11. एक रेखा कि ढाल दूसरी रेखा कि ढाल का दुगुना है । यदि दोनों के बिच के कोण की स्पर्शज्या $\frac{1}{3}$ है तो रेखाओ की ढाल ज्ञात कीजिए।

?‍♂️हल – आइए हम ‘m₁ ‘ और ‘m’ को दो दी गई रेखाओं का ढलान इस प्रकार मानें कि m₁ = 2m
हम जानते हैं कि यदि रेखा l1 और l2 के बीच का कोण है, जिसका ढलान m1 और m₂, फिर

1+2m ² = -3m
2m ² +1 +3m = 0
2m (m+1) + 1(m+1) = 0
(2m+1) (m+1)= 0
m = -1 या -1/ 2
यदि m = -1 है, तो रेखाओं का ढलान -1 और -2 है
यदि m = -1/2 है, तो रेखाओं का ढलान -1/2 और -1
स्थिति 2 है:

2m² – 3m + 1 = 0
2m² – 2m – m + 1 = 0
2m (m – 1) – 1(m – 1) = 0
m = 1 या 1/2
यदि m = 1, है, तो इसका ढलान रेखाएँ 1 और 2 हैं
यदि m = 1/2 है, तो रेखाओं का ढाल 1/2 और 1
है रेखाओं का ढाल [-1 और -2] या [-1/2 और -1] या [ 1 और 2] या [1/2 और 1]

12. एक रेखा $(x_{1}, y_{1})$ और (h,k) से जाती है यदि रेखा की ढाल m है तो दिखाइए $k - y_{1} = m (h - x_{1}) .$

?‍♂️हल – दिया गया है: रेखा का ढलान ‘m’₁, y₁) और (h, k)
से गुजरने वाली रेखा का ढलान₁)/(h – x₁) है
अतः,
(k – y₁)/(h – x₁) = m
(k – y₁) = m (h – x₁)
इसलिए सिद्ध हुआ।

13. यदि तीन बिंदु $(h, 0), (a, b)$ और $(0, k)$ एक रेखा पर है जो दिखाइए कि $\frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1 .$

?‍♂️हल – मान लीजिए कि दिए गए बिंदु A (h, 0), B (a, b) और C (0, k) एक रेखा पर स्थित हैं
, तो AB का ढलान = BC का ढलान
(b – 0) /(a – h) = (k – b)/(0 – a)
आइए हम प्राप्त करें को सरल करें,
-ab = (kb) (ah)
-ab = ka- kh -ab +bh
ka +bh = kh
दोनों को विभाजित kh से भुजाएँ प्राप्त होती हैं,
ka/kh + bh/kh = kh/kh
a/h + b/k = 1
इसलिए सिद्ध हुआ।

14. जनसँख्या और वर्ष के निम्नलिखित लेखाचित्र पर विचार कीजिए रेखा AB कि ढाल ज्ञात कीजिए और इसके प्रयाग से बताइए कि वर्ष 2010 में जनसँख्या कितनी होगी ?

?‍♂️हल – हम जानते हैं कि, रेखा AB बिंदु A (1985, 92) और B (1995, 97) से होकर गुजरती है,
इसका ढलान (97 – 92)/(1995 – 1985) = 5/10 = 1 होगा /2
मान लीजिए कि वर्ष 2010 में ‘y’ जनसंख्या है। फिर, दिए गए ग्राफ के अनुसार, AB को बिंदु C (2010, y) से गुजरना होगा,
तो अब, AB का ढलान = BC का ढलान

15/2 = वाई – 97

वाई = 7.5 + 97 = 104.5

रेखा AB का ढाल 1/2 है, जबकि वर्ष 2010 में जनसंख्या 104.5 करोड़ होगी।