NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) Examples in Hindi

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)

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NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 7 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)

Chapter – 7

निर्देशांक ज्यामिति

Examples

उदाहरण 1 : क्या बिंदु (3, 2), (-2, −3) और (2, 3) एक त्रिभुज बनाते हैं? यदि हाँ, तो बताइए कि किस प्रकार का त्रिभुज बनता है।

हल : आइए PQ, QR और PR ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का प्रयोग करें, जहाँ P(3, 2), Q(−2, −3) और R(2, 3) दिए हुए बिंदु हैं। हमें प्राप्त होता है :

PQ = √(3 +2)² + (2 + 3)² = √5² + 5² = √50 = 7.07 (लगभग)

QR = (−2-2)² + (−3 –3)² = √(−4)² + (6)² = √52 = 7.21 (लगभग)

PR = √(3 – 2)² + (2 – 3)² = √1² + (-1)² = √2 = 1.41 (लगभग)

चूँकि इन तीन दूरियों में से किन्हीं दो का योग तीसरी दूरी से अधिक है, इसलिए इन बिंदुओं P, Q और R से एक त्रिभुज बनता है।

साथ ही, यहाँ PQ² + PR² = QR² है। अतः, पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से, हमें ज्ञात होता है कि ∠P = 90°

इसलिए, PQR एक समकोण त्रिभुज है।

उदाहरण 2 : दर्शाइए कि बिंदु (1, 7), (4, 2), (−1, – 1 ) और (– 4, 4) एक वर्ग के शीर्ष हैं।

हल : मान लीजिए दिए हुए बिंदु A (1, 7), B(4, 2), C(−1, −1) और D(−4, 4) हैं। ABCD को एक वर्ग दर्शाने की एक विधि यह है कि उसका गुणधर्म जैसा कि वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर तथा दोनों विकर्ण बराबर होती हैं, का प्रयोग किया जाए। अब,

AB = √(1 − 4)² + (7 − 2)² · = √9+25 = √34

BC = √(4 + 1)² + (2 + 1)² = √25+9= √34

CD = √(1+4)²+(-1-4)² =√9+25= √34

DA = √(1+4)² + (7-4)² = √25 + 9 = √34

AC = √(1+1)² + (7+1)² = √4+64 = √68

BD = √(4+4)² + (2-4)² = √64 + 4 = √68

यहाँ, AB = BC = CD = DA है और AC = BD है, अर्थात् चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाएँ बराबर हैं और दोनों विकर्ण भी बराबर हैं। अतः चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है।

उदाहरण 3 : आकृति 7.6 किसी कक्षा में रखे डेस्कों (desks) की व्यवस्था दर्शाती है। आशिमा, भारती और कैमिला क्रमश:A(3, 1), B(6, 4) और C(8, 6) पर बैठी हैं। क्या आप सोचते हैं कि वे एक ही सीध (in a line ) में बैठी हैं? सकारण उत्तर दीजिए।

हल : दूरी सूत्र के प्रयोग से, हमें प्राप्त होता है :

AB = √(6-3)² + (4 – 1)² = √9 + 9 = √18 = 3√2

BC = √(8 – 6)² + (6 – 4)² = √4 + 4 = √8 = 2√2

AC = √(8 – 3)² + (6 – 1)² = √25 + 25 = √50 = 5√2

चूँकि AB + BC = 3√2 + 2√2 = 5√2 = AC है, अतः हम कह सकते हैं कि A, B और C संरेखी (collinear) हैं। अर्थात्, वे तीनों एक ही सीध में बैठी हैं।

उदाहरण 4 : x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए, ताकि बिंदु (x, y) बिंदुओं (7, 1) और (3, 5) से समदूरस्थ (equidistant) हो।

हल : मान लीजिए P(x, y) बिंदुओं A(7, 1) और B(3, 5) से समदूरस्थ है।

हमें AP = BP दिया है। अत:, AP² = BP² है।

अर्थात् (x – 7)² + (y – 1)² = (x – 3)² + (y – 5)²

अर्थात्  x² – 14x + 49 + y² – 2y + 1 = x² – 6x + 9 + y² – 10y + 25

अर्थात् x – y = 2

यही x और y में वांछित संबंध है।

उदाहरण 5 : y-अक्ष पर एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं A(6, 5) और B ( – 4, 3) से समदूरस्थ हो।

हल : हम जानते हैं कि y-अक्ष पर स्थित कोई भी बिंदु (0, J) के रूप का होता है। अतः, मान लीजिए कि बिंदु P (O, y) बिंदुओं A और B से समदूरस्थ है। तब,

या (6 – 0)² + (5 – y)² = (– 4 – 0)² + (3 – y)²

36 + 25 + y² – 10y = 16 + 9 + y² – 6y

या 4y = 36 या y = 9

अतः, वांछित बिंदु (0, 9) है।

आइए अपने हल की जाँच करें: AP = √(6-0)²+(5-9)² = √36+16 = √52

BP = √(4-0)² +(3-9)² = √16+36 = √52

उदाहरण 6 : उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं ( 4, – 3) और (8, 5) को जोड़ने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से 3:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

हल : मान लीजिए P(x, y) वांछित बिंदु है। विभाजन सूत्र का प्रयोग करने पर हमें

x = 3(8) + 1(4)/3+1 = 7, y = 3(5)+1(-3)/3+1 = 3

प्राप्त होता है। अत: (7, 3) ही वांछित बिंदु है।

उदाहरण 7 : बिंदु (-4, 6), बिंदुओं A ( – 6, 10) और B ( 3, – 8 ) को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है?

हल : मान लीजिए (−4, 6) रेखाखंड AB को आंतरिक रूप से m₁: m₂ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र के प्रयोग से, हमें प्राप्त होता है: (-4, 6) = {3m₁ – 6m₂/m₁ +m₂ – 8m₁ +10m_²/m₁ + m₂}

याद कीजिए कि यदि (x, y) = (a, b) हो, तो x = a और y = b होता है। अतः – 4 = 3m₁-6m₂/m₁ + m₂ और 6 = – 8m₁ + 10m₂/m₁+m₂ है।

अब – 4m, = 3m₁ – 6m₂/m₁ +m₂ से प्राप्त होता है:

– 4m₁-4m₂ = 3m₁ – 6m₂

अर्थात्  7m₁ = 2m₂

या  m₁:m₂ = 2: 7

आपको इसकी जाँच कर लेनी चाहिए कि यह अनुपात y-निर्देशांक को भी संतुष्ट करता है।

अब – 8m₁ +10m₂/m₁ + m₂ = – 8 m₁/m₂ + 10/ m₁/m₂ +1 (m₂ से ऊपर नीचे भाग देने पर)

– 8 x 2/7 + 10/2/7 +1 = 6

अत: बिंदु (-4, 6), बिंदुओं A (- 6, 10) और B ( 3, – 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को 2: 7 के अनुपात में विभाजित करता है।

उदाहरण 8 : बिंदुओं A ( 2 – 2) और B ( – 7, 4) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम – त्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल : मान लीजिए रेखाखंड AB को सम – त्रिभाजित करने वाले बिंदु P और Q हैं, अर्थात् AP = PQ = QB है (देखिए आकृति 7.11)।

अत:, P रेखाखंड AB को आंतरिक रूप से 1: 2 के अनुपात में विभाजित करता है। अतः, P के निर्देशांक सूत्र द्वारा, निम्नलिखित हैं:

{1(-7)+2(2)/1+2, 1(4) + 2(-2)/1+2} अर्थात् (-1, 0)

अब, Q रेखाखंड AB को आंतरिक रूप से 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। अतः Q के निर्देशांक हैं: 2(-7)+1(2)/2+1,

{2(4) +1(−2)\2+1} अर्थात् (– 4, 2)

अतः, बिंदुओं A और B को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम – त्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक (-1, 0) और (-4, 2) हैं।

उदाहरण 9 : बिंदुओं ( 5, 6) और (-1, 4) को जोड़ने वाले रेखाखंड को y – अक्ष किस अनुपात में विभाजित करती है ? इस प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए ।

हल : मान लीजिए वांछित अनुपात k : 1 है। तब, विभाजन सूत्र द्वारा, उस रेखाखंड को k : 1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक हैं {- k+5/k +1, -4k-6/k +1}

यह बिंदु y-अक्ष पर स्थित है और हम जानते हैं कि y-अक्ष पर भुज 0 होता है।

अतः -k+5/k +1 = 0 इसलिए k = 5 है।

अर्थात् वांछित अनुपात 5 : 1 है । k का मान 5 रखने पर हमें प्रतिच्छेद बिंदु {0,13/3} प्राप्त होता है।

उदाहरण 10 : यदि बिंदु A (6,1), B(8, 2), C (9, 4) और D (p, 3) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष इसी क्रम में हों, तो p का मान ज्ञात कीजिए ।

हल : हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं। अतः, विकर्ण AC के मध्य बिंदु के निर्देशांक – विकर्ण BD के मध्य-बिंदु के निर्देशांक

अर्थात् {6+9/2 1+4/2} = {8+P/2, 2+3/2}

या {15/2, 5/2} = {8+P/2, 5/2}

अतः 15/2 = 8+P/2

या P = 7

• Exercise 7.1
• Exercise 7.2

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus (2023-2024) All Chapter in Hindi Medium

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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