NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) Examples in Hindi Medium

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles)

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) Examples in Hindi Medium इस अध्याय में हम Class 10th Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles) उदाहरण को हल करेंगे।

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus Chapter – 6 त्रिभुज (Triangles)

Chapter – 6

त्रिभुज

Examples

प्रमेय 6.1 : यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

उपपत्ति: हमें एक त्रिभुज ABC दिया है, जिसमें भुजा BC के समांतर खींची गई एक रेखा अन्य दो भुजाओं AB और AC को क्रमश: D और E पर काटती हैं (देखिए आकृति 6.10)।

हमें सिद्ध करना है कि AD/DB = AE/EC
आइए B और E तथा C और D को मिलाएँ और फिर DM ⊥ AC एवं EN ⊥ AB खीचें।

अब, ΔADE का क्षेत्रफल (=1/2 आधार x ऊँचाई) = 1/2 AD × EN
कक्षा IX से याद कीजिए कि ADE के क्षेत्रफल को ar (ADE) से व्यक्त किया जाता है।

अतः ar(ADE) = 1/2 AD × EN
इसी प्रकार ar (BDE) = 1/2 DB × EN,
ar (ADE) = 1/2 AE × DM तथा ar (DEC) = 1/2 EC × DM

अतः ar(ADE)/ar(BDE) = 1/2 AD × EN / 1/2 DB × EN = AD/DB ……..(1)
तथा ar(ADE)/ar(DEC) = 1/2 AE × DM / 1/2 EC × DM = AE/EC …….(2)

ध्यान दीजिए कि ΔBDE और ΔDEC एक ही आधार DE तथा समांतर रेखाओं BC और DE के बीच बने दो त्रिभुज हैं।
अतः ar(BDE) = ar(DEC) ……….(3)

इसलिए (1), (2) और (3), से हमें प्राप्त होता है:
AD/DB = AE/EC

उदाहरण 1 : यदि कोई रेखा एक AABC की भुजाओं AB और AC को क्रमश: D और E पर प्रतिच्छेद करे तथा भुजा BC के समांतर हो, तो सिद्ध कीजिए कि AD/AB = AE/AC होगा (देखिए आकृति 6.13)।

हल : DE || BC             (दिया है)
अतः AD/DB = AE/EC    (प्रमेय 6.1)

अर्थात् DB/AD = EC/AE
या DB/AD + 1 = EC/AE + 1
या AB/AD = AC/AE

अतः AD/AB = AE/AC

उदाहरण 2: ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है। असमांतर भुजाओं AD और BC पर क्रमश: बिंदु E और F इस प्रकार स्थित हैं कि EF भुजा AB के समांतर है (देखिए आकृति 6.14)। दर्शाइएक कि AE/ED = BF/FC है।

हल : आइए A और C को मिलाएँ जो EF को G पर प्रतिच्छेद करे (देखिए आकृति 6.15)।
AB || DC और EF || AB (दिया है)
इसलिए EF || DC (एक ही रेखा के समांतर रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं)

अब ΔADC में,
EG || DC (क्योंकि EF || DC)
अत: AE/ED = AG/DC (प्रमेय 6.1) ………(1)

इसी प्रकार, ΔCAB में
CG/AG = CF/BF
अर्थात् AG/GC = BF/FC    ………(2)

अत: (1) और (2) से
AE/ED = BF/FC

उदाहरण 3: आकृति 6.16 में PS/SQ = PT/TR है तथा ∠PST = ∠PRQ है। सिद्ध कीजिए कि APQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

हल: यह दिया है कि, PS/SQ = PT/TR
अतः ST || QR (प्रमेय 6.2)

इसलिए ∠PST = ∠PQR (संगत कोण) ……….(1)
साथ ही यह दिया है कि
∠PST = ∠PRQ                         ……….(2)

अतः ∠PRQ = ∠PQR [(1) और (2) से]
इसलिए PQ = PR (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ)
अर्थात् ΔPQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

उदाहरण 4: आकृति 6.29 में, यदि PQ || RS है, तो सिद्ध कीजिए कि ΔPOQ ~ ΔSOR है।

हल :       PQ || RS          (दिया है)
अतः        ∠P = ∠S           (एकांतर कोण)
और        ∠Q= ∠R            (एकांतर कोण)
साथ ही    ∠POQ = ∠SOR   (शीर्षाभिमुख कोण)
इसलिए    ΔPOQ ~ ΔSOR   (AAA समरूपता कसौटी)

उदाहरण 5: आकृति 6.30 में ∠P ज्ञात कीजिए ।

हल : ΔAbC और ΔPQR में,
AB/RQ = 3.8/7.6 1/2, BC/QP = 6/12 =1/2 और CA/PR = 3√3/6√3 = 1/2

अर्थात् AB/RQ = BC/QP = CA/PR
इसलिए ΔABC ~ ΔRQP (SSS समरूपता)
इसलिए ∠C = ∠P (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)

परंतु ∠C = 180° ∠A – ∠B (त्रिभुज का कोण योग गुणधर्म)
180° – 80° – 60° = 40°
अतः ∠P = 40°

उदाहरण 6: आकृति 6.31 में, OA . OB = OC . OD है। दर्शाइए कि ∠A = ∠C और ∠B = ∠D है।

हल : OA . OB = OC . OD (दिया है)

अतः OA/OC = OD/OB ………….(1)

साथ ही, हमें प्राप्त है: ∠AOD = ∠COB (शीर्षाभिमुख कोण) ……(2)
अत: (1) और (2) से ΔAOD ~ ΔCOB (SAS समरूपता कसौटी)
इसलिए ∠A = ∠C और ∠D = ∠B (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)

उदाहरण 7: 90 cm की लंबाई वाली एक लड़की बल्ब लगे एक खंभे के आधार से परे 1.2 m/s की चाल से चल रही है। यदि बल्ब भूमि से 3.6cm की ऊँचाई पर है, तो 4 सेकंड बाद उस लड़की की छाया की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल: मान लीजिए AB बल्ब लगे खंभे को तथा CD लड़की द्वारा खंभे के आधार से परे 4 सेकंड चलने के बाद उसकी स्थिति को प्रकट करते हैं (देखिए आकृति 6.32)।

आकृति से आप देख सकते हैं कि DE लड़की की छाया की लंबाई है। मान लीजिए DE, x m है।

अब, BD = 1.2 m × 4 = 4.8 m

ध्यान दीजिए कि ABE और CDE में,

∠B = ∠D (प्रत्येक 90° का है, क्योंकि बल्ब लगा खंभा और लड़की दोनों ही भूमि से ऊर्ध्वाधर खड़े हैं)
तथा ∠E = ∠E (समान कोण)

अतः ΔABE ~ ΔCDE (AA समरूपता कसौटी)
इसलिए BE/DE = AB/CD (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएं)

अर्थात् 4.8 + x/x = 3.6/0.9 (90 cm = 90/100 m = 0.9m)
अर्थात् 4.8 + x = 4x
अर्थात् 3x = 4.8
अर्थात् x = 1.6
अतः 4 सेकंड चलने के बाद लड़की की छाया की लंबाई 1.6m है।

उदाहरण 8: आकृति 6.33 में CM और RN क्रमशः ΔABC और ΔPQR की माध्यिकाएँ हैं। यदि ΔABC ~ ΔPQR है तो सिद्ध कीजिए कि
(i) ΔAMC ~ ΔPNR
(ii) CM/RN = AB/PQ
(iii) ΔCMB ~ ΔRNQ

हल : (i) ΔABC ~ ΔPQR (दिया है)
अतः AB/PQ = BC/QR = CA/RP ………(1)
तथा ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q और ∠C = ∠R ..(2)
परंतु AB = 2 AM और PQ = 2 PN (क्योंकि CM और RN माध्यिकाएँ हैं)

इसलिए (1) से 2 AM/2PM = CA/RP
अर्थात् AM/PN = CA/RP ……….(3)
साथ ही ∠MAC = ∠NPR [(2) से] …….(4)
इसलिए (3) और (4) से,
ΔAMC ~ ΔPNR (SAS समरूपता) ……….(5)

(ii) (5) से CM/RN = CA/RP ……….(6)
परंतु CA/RP =AB/PQ [(1) से] ……..(7)
अतः CM/RN = AB/PQ [(6) और (7) से] ……….(8)

(iii) पुनः AB/PQ = BC/QR [(1) से]
अतः CM/RN = BC/QR [(8) से] …………(9)
साथ ही CM/RN = AB/PQ = 2BM/2QN
अर्थात् CM/RN = BM/QN …………(10)
अर्थात् CM/RN = BC/QR = BM/QN [(9) और (10) से]
अतः ΔCMB ~ ΔRNQ (SSS समरूपता)

• Exercises – 6.1
• Exercises – 6.2
• Exercises – 6.3

NCERT Solutions Class 10th Maths New Syllabus All Chapter

• अध्याय – 1 वास्तविक संख्याएँ
• अध्याय – 2 बहुपद
• अध्याय – 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
• अध्याय – 4 द्विघात समीकरण
• अध्याय – 5 समांतर श्रेढ़ियाँ
• अध्याय – 6 त्रिभुज
• अध्याय – 7 निर्देशांक ज्यामिति
• अध्याय – 8 त्रिकोणमिति का परिचय
• अध्याय – 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
• अध्याय – 10 वृत्त
• अध्याय – 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
• अध्याय – 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
• अध्याय – 13 सांख्यिकी
• अध्याय – 14 प्रायिकता

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